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23.1 平均數(shù)與加權平均數(shù)（2） 教學目標 【知識與能力】 1.理解加權平均數(shù)的意義,了解“權”的含義. 2.會計算一組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù). 3.能說出算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別,并能利用它們解決一些現(xiàn)實問題. 【過程與方法】 1.在實際問題情境中理解加權平均數(shù)的意義,體會數(shù)學與生活之間的密切聯(lián)系. 2.通過利用平均數(shù)解決實際問題,發(fā)展數(shù)學應用能力. 3.通過探索算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別,發(fā)展求同和求異思維. 【情感態(tài)度價值觀】 1.通過解決實際問題,體會數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系,了解數(shù)學的價值,增進對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心. 2.通過小組合作活動,培養(yǎng)學生的合作意識,激發(fā)學生學習興趣,體驗成功的快樂. 教學重難點 【教學重點】 加權平均數(shù)的計算及算術平均數(shù)與加權平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系. 【教學難點】 探索算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別. 課前準備 多媒體課件. 教學過程 一、新課導入： 導入一: 復習提問: 1.什么叫算術平均數(shù)? 2.如何求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)? 3.當一組數(shù)據(jù)中同一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)多次時常采用什么簡便方法計算? 【師生活動】　學生思考回答,教師點評. 導入二: 【課件展示】　在一次數(shù)學考試中,八年級(1)班和(2)班的考生人數(shù)和平均成績如下表: 班級 1班 2班 人數(shù) 46 54 平均成績/分 86 80 　　【問題】 1.表格中“86分”所反映的實際意義是什么? 2.求這兩個班的平均成績. 【師生活動】　學生思考后小組合作交流,小組代表發(fā)言,教師展示學生可能出現(xiàn)的兩種解法,引導學生對比、思考,得出正確的解法,教師導出新課. [設計意圖]　通過復習算術平均數(shù)的概念,做好新舊知識的銜接,以貼近學生實際生活的實例導入新課,滲透“權”的意義,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學與生活之間的密切聯(lián)系,邁上從“算術平均數(shù)”到“加權平均數(shù)”的一個臺階,讓學生順利完成新知識的構建,為本節(jié)課的學習做好鋪墊. 二、新知構建： 　　[過渡語]　上節(jié)課我們學習了算術平均數(shù),這節(jié)課我們繼續(xù)探究一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時,怎樣計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). 共同探究　加權平均數(shù)的概念 【課件展示】　假期里,小紅和小惠結伴去買菜,三次購買的西紅柿價格和數(shù)量如下表: 單價/(元/千克) 4 3 2 合計 小紅購買的數(shù)量/kg 1 2 3 6 小惠購買的數(shù)量/kg 2 2 2 6 　　從平均價格看,誰買的西紅柿要便宜些? 思路一 【師生活動】　學生思考后小組合作交流解題思路,獨立完成解答過程,小組代表展示,教師點評. 【課件展示】 解:x小紅=4×1+3×2+2×31+2+3=166≈2.67(元/千克), x小惠=4×2+3×2+2×22+2+2=186=3(元/千克). 從平均價格看,小紅買的西紅柿要便宜些. 追加提問: 1.有的同學認為每次購買單價相同,購買總量也相同,平均價格應該也一樣,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克).這樣解答是否正確?為什么? 2.有的學生是這樣思考的:購買的總量雖然相同,但小紅花了16元,小惠花了18元,所以平均價格不一樣,小紅買的西紅柿要便宜些.這樣的想法正確嗎?為什么? 3.如果小紅三次購買的數(shù)量分別為2,1,3,小惠三次購買的數(shù)量分別為1,3,2,她們購買的西紅柿的平均價格分別是多少? 4.通過上面的計算,小紅和小惠每次購買西紅柿的數(shù)量不同,所求的平均數(shù)是否相同? 【師生活動】　學生思考、計算、回答,教師點評,引導出“權”的概念. 思路二 【課件展示】　思考小亮和小明的下列說法,你認為他們誰說得對?為什么? 小亮的說法:每次購買單價相同,購買總量也相同,平均價格應該也一樣,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克). 小明的說法:購買的總量雖然相同,但小紅花了16元,小惠花了18元,所以平均價格不一樣,小紅買的西紅柿要便宜些. 【師生活動】　小組內合作交流,判斷兩個人的說法誰正確,教師對學生的回答進行點評,并引導學生通過計算平均數(shù)比較誰買的西紅柿更便宜,學生獨立完成計算平均數(shù)的過程,教師點評. 【課件展示】　小紅購買不同單價的西紅柿的數(shù)量不同,所以平均價格不是三個單價的平均數(shù).實際上,平均價格是總花費金額與購買總量的比,因此,x小紅=4×1+3×2+2×31+2+3=166≈2.67(元/千克),x小惠=4×2+3×2+2×22+2+2=186=3(元/千克). 從平均價格看,小紅買的西紅柿要便宜些. 追加思考: 1.如果小紅三次購買的數(shù)量分別為2,1,3,小惠三次購買的數(shù)量分別為1,3,2,她們購買的西紅柿的平均價格分別是多少? 2.通過上面的計算,小紅和小惠每次購買西紅柿的數(shù)量不同,所求的平均數(shù)是否相同? 【師生活動】　學生思考、計算、回答,教師點評,引導出“權”的概念. [設計意圖]　通過解決生活實際問題,引導學生思考重要性的差異對平均數(shù)的影響,為加權平均數(shù)概念的形成做好鋪墊,在探究過程中,充分發(fā)揮學生的主觀能動性,讓學生積極思考,合作交流,在數(shù)學活動中逐步形成概念. 形成概念 　　[過渡語]　通過上邊計算平均數(shù)的方法,我們可以歸納加權平均數(shù)的概念. 【課件展示】　已知n個數(shù)x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn為一組正數(shù),則把x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做n個數(shù)x1,x2,…,xn的加權平均數(shù),w1,w2,…,wn分別叫做這n個數(shù)的權重,簡稱為權. 教師提問: 1.在“共同探究”中,加權平均數(shù)是多少?哪些數(shù)是權? (小紅購買的西紅柿平均價格約為2.67元/千克,它是數(shù)4,3,2的加權平均數(shù),三個數(shù)的權分別為1,2,3) 2.你能舉出用加權平均數(shù)計算平均數(shù)的生活實例嗎? 【師生活動】　學生小組合作交流,創(chuàng)設不同的求平均數(shù)的生活情境,小組代表展示問題后,其他學生完成解答,教師進行點評,以鼓勵學生的參與為主. [設計意圖]　教師設計開放性題目,學生通過合作交流,共同創(chuàng)設問題情境,體會“權”對平均數(shù)的影響,加深學生對加權平均數(shù)的理解,提高學生的發(fā)散性思維,達到學生數(shù)學能力的提升. 例題講解 【課件展示】 　(教材7頁例1)某學校為了鼓勵學生積極參加體育鍛煉,規(guī)定體育科目學期成績滿分100分,其中平時表現(xiàn)(早操、課外體育活動)、期中考試和期末考試成績按比例3∶2∶5計入學期總成績.甲、乙兩名同學的各項成績如下: 學生 平時表現(xiàn)/分 期中考試/分 期末考試/分 甲 95 90 85 乙 80 95 88 　　分別計算甲、乙的學期總成績. 【師生活動】　學生獨立完成后,小組內交流答案,小組代表板書解答過程,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的展示進行點評. 【課件展示】 解:三項成績按3∶2∶5的比例確定,就是分別用3,2,5作為三項成績的權,用加權平均數(shù)作為學期總成績. 甲的學期總成績?yōu)?5×3+90×2+85×53+2+5=89(分), 乙的學期總成績?yōu)?0×3+95×2+88×53+2+5=87(分). 【思考】 1.分配的“權”不同,甲、乙二人的總成績是否發(fā)生變化? 2.算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系是什么? 【師生活動】　學生小組合作交流,教師對有困難的學生進行引導思考,對學生的回答進行點評并補充完整. 【課件展示】 算術平均數(shù)與加權平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系: 區(qū)別:由于權的不同導致結果不同,所以權的差異對結果有影響. 聯(lián)系:算術平均數(shù)是加權平均數(shù)各項的權都相等的一種特殊情況. [設計意圖]　通過計算加權平均數(shù)解決實際問題,讓學生再次體會到“權”的重要性,發(fā)展數(shù)學應用能力,培養(yǎng)學生歸納總結能力. 做一做 【課件展示】　某電視節(jié)目主持人大賽要進行專業(yè)素質、綜合素質、外語水平和臨場應變能力四項測試,各項測試均采用10分制,兩名選手的各項測試成績如下表所示: 測試 項目 專業(yè) 素質 綜合 素質 外語 水平 臨場應 變能力 測試成 績/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 　　(1)如果按四項測試成績的算術平均數(shù)排名次,名次是怎樣的? (2)如果規(guī)定按專業(yè)素質、綜合素質、外語水平和臨場應變能力四項測試的成績各占60%,20%,10%,10%計算總成績,名次有什么變化? 【師生活動】　學生獨立完成后,小組內交流答案,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,小組代表板書解答過程,教師點評. (板書) 解:(1)甲、乙各項成績的算術平均數(shù)分別為: x甲=9.0+8.5+7.5+8.84=8.45(分), x乙=8.0+9.2+8.4+9.04=8.65(分). 比較算術平均數(shù),乙排名第一,甲排名第二. (2)甲、乙的加權平均成績分別為: x甲=9.0×60%+8.5×20%+7.5×10%+8.8×10%=8.73(分), x乙=8.0×60%+9.2×20%+8.4×10%+9.0×10%=8.38(分). 比較加權平均數(shù),甲排名第一,乙排名第二. 提問: 1.按照算術平均數(shù)和加權平均數(shù)的計算方法分別求平均數(shù),對排名有影響嗎? 2.按算術平均數(shù)排名和加權平均數(shù)排名有什么區(qū)別? 【師生活動】　學生思考回答,教師點評并補充,讓學生理解權的意義. 歸納: 按測試成績的算術平均數(shù)排名次,實際上是將四項測試成績同等看待.而按加權平均數(shù)排名次,則是對每項成績分配不同的權,體現(xiàn)每項成績的重要程度不同.如專業(yè)素質成績的權重為60%,說明專業(yè)素質對主持人最重要.當各數(shù)據(jù)的重要程度不同時,一般采用加權平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表值. [設計意圖]　通過做一做,進一步理解加權平均數(shù)的意義,體會權的重要性,加深對加權平均數(shù)和算術平均數(shù)的區(qū)別的理解和掌握,提高學生應用意識. [知識拓展]　 1.數(shù)據(jù)中的“權”反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”,其表現(xiàn)形式有:數(shù)據(jù)所占的百分比、各個數(shù)據(jù)所占的比值,數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).權越大,該數(shù)據(jù)所占的比重越大,反之則越小. 2.算術平均數(shù)是加權平均數(shù)的一種特例.加權平均數(shù)的實質是考慮不同權重的平均數(shù),當加權平均數(shù)的各項權相同時,就變成了算術平均數(shù). 三、課堂小結 1.加權平均數(shù)的概念. 2.權的意義:權代表重要程度. 3.算術平均數(shù)與加權平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系. 4.計算加權平均數(shù). 5.加權平均數(shù)在實際問題中的應用. - 5 -