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第13章 軸對(duì)稱 測(cè)試卷（1） 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如圖是經(jīng)過軸對(duì)稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　?。? A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 4．正方形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 5．正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3，依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 7．觀察下列圖形，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 8．剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 9．以下圖形中對(duì)稱軸的數(shù)量小于3的是（　　） A． B． C． D． 10．下列圖案中，軸對(duì)稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 11．下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 12．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 13．下列圖案是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 14．如圖，直角坐標(biāo)系中的五角星關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)∠B=90°時(shí)，如圖1，測(cè)得AC=2，當(dāng)∠B=60°時(shí)，如圖2，AC=（　?。? A． B．2 C． D．2 16．P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是（　　） A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 17．如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長(zhǎng)為（　　） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 　 二、填空題 19．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是　　cm． 20．如圖，有一個(gè)英語(yǔ)單詞，四個(gè)字母都關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谠嚲砩涎a(bǔ)全字母，在答題卡上寫出這個(gè)單詞所指的物品　?。? 21．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按所選做的第一題計(jì)分． A．一個(gè)正五邊形的對(duì)稱軸共有　　條． B．用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：+3tan56°≈　?。ńY(jié)果精確到0.01） 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　?。? 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　度． 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是　?。? 25．如圖，點(diǎn)B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點(diǎn)O，B1，A1按逆時(shí)針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B2是△OB1A1的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點(diǎn)O，B2，A2按逆時(shí)針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是　?。? 26．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為　?。? 27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在第一象限且AB⊥BO，點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上．若點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線OM對(duì)稱，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（　　，　?。? 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是　?。? 　 三、解答題 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長(zhǎng)． 30．如圖，O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)． （1）請(qǐng)指出當(dāng)∠ABC在什么角度時(shí)，會(huì)使得PR的長(zhǎng)度等于7？并完整說明PR的長(zhǎng)度為何在此時(shí)會(huì)等于7的理由． （2）承（1）小題，請(qǐng)判斷當(dāng)∠ABC不是你指出的角度時(shí)，PR的長(zhǎng)度是小于7還是會(huì)大于7？并完整說明你判斷的理由． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故A符合題意； B、不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意； C、不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意； D、不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn)．確定軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．75° 【考點(diǎn)】生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象；平行線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，則∠2=60°，根據(jù)∠1、∠2對(duì)稱，則能求出∠1的度數(shù)． 【解答】解：要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中， ∠2+∠3=90°， ∵∠3=30°， ∴∠2=60°， ∴∠1=60°． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題是考查圖形的對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、分割以及分類的數(shù)學(xué)思想． 　 3．如圖是經(jīng)過軸對(duì)稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　?。? A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱不改變圖形的形狀與大小解答． 【解答】解：∵軸對(duì)稱變換不改變圖形的形狀與大小， ∴與原圖形相比，形狀沒有改變，大小沒有改變． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考慮軸對(duì)稱的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記軸對(duì)稱變換不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵． 　 4．正方形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的對(duì)稱性解答． 【解答】解：正方形有4條對(duì)稱軸． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記正方形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵． 　 5．正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3，依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】依題意畫出圖形，過點(diǎn)A1作A1D∥BC，交AC于點(diǎn)D，構(gòu)造出邊長(zhǎng)為1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得點(diǎn)D為AC1中點(diǎn)，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結(jié)果． 【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示： 過點(diǎn)A1作A1D∥BC，交AC于點(diǎn)D，易知△AA1D是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形． 又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1， ∴點(diǎn)D為AC1的中點(diǎn)， ∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=； 同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=， ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學(xué)們可以嘗試不同的解題方法． 　 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】連結(jié)CD，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可判斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠A=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系先計(jì)算出BC，再計(jì)算AC． 【解答】解：連結(jié)CD，如圖， ∵∠C=90°，D為AB的中點(diǎn)， ∴CD=DA=DB， 而CD=CB， ∴CD=CB=DB， ∴△CDB為等邊三角形， ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴BC=AB=×10=5， ∴AC=BC=5． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)：三邊都相等的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 7．觀察下列圖形，是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確； B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 　 8．剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形， B、不是軸對(duì)稱圖形， C、不是軸對(duì)稱圖形， D、是軸對(duì)稱圖形， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的判斷方法：把某個(gè)圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個(gè)是軸對(duì)稱圖形． 　 9．以下圖形中對(duì)稱軸的數(shù)量小于3的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)對(duì)稱軸的概念求解． 【解答】解：A、有4條對(duì)稱軸； B、有6條對(duì)稱軸； C、有4條對(duì)稱軸； D、有2條對(duì)稱軸． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱軸的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸． 　 10．下列圖案中，軸對(duì)稱圖形是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析判斷后即可求解． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確； 故選；D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸． 　 11．下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 　 12．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確； B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 　 13．下列圖案是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)個(gè)圖形分析判斷即可得解． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形， B、不是軸對(duì)稱圖形， C、不是軸對(duì)稱圖形， D、不是軸對(duì)稱圖形， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 14．如圖，直角坐標(biāo)系中的五角星關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出選擇． 【解答】解：如圖所示，直角坐標(biāo)系中的五角星關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形在第一象限． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．此題難度不大，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想． 　 15．將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)∠B=90°時(shí)，如圖1，測(cè)得AC=2，當(dāng)∠B=60°時(shí)，如圖2，AC=（　?。? A． B．2 C． D．2 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)． 【分析】圖1中根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長(zhǎng)，圖2根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得． 【解答】解：如圖1， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四邊形ABCD是正方形， 連接AC，則AB2+BC2=AC2， ∴AB=BC===， 如圖2，∠B=60°，連接AC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=BC=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理得出正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵． 　 16． P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】作出圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出OP1、OP2的數(shù)量與夾角即可得解． 【解答】解：如圖，∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2， ∴OP1=OP2=OP， ∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2， =2（∠AOP+∠BOP）， =2∠AOB， ∵∠AOB度數(shù)任意， ∴OP1⊥OP2不一定成立． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　 17．如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長(zhǎng)為（　?。? A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PM=MQ，PN=NR，進(jìn)而利用MN=4cm，得出NQ的長(zhǎng)，即可得出QR的長(zhǎng)． 【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上， ∴PM=MQ，PN=NR， ∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， ∴RN=3cm，MQ=2.5cm， 即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm）， 則線段QR的長(zhǎng)為：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出PM=MQ，PN=NR是解題關(guān)鍵． 　 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】幾何圖形問題；壓軸題． 【分析】連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)軸對(duì)稱性可得AB=AE，并設(shè)為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：如圖，連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O， 由軸對(duì)稱性得，AB=AE，設(shè)為1， 則BE==， ∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱， ∴DE=BF=BE=， ∴AD=1+， ∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE， ∴四邊形ABCE是正方形， ∴BC=AB=1， 1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A正確； CF=BF﹣BC=﹣1， ∴2BC=2×1=2， 5CF=5（﹣1）， ∴2BC≠5CF，故B錯(cuò)誤； ∠AEB+22°=45°+22°=67°， ∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°， ∴∠BFE==67.5°， ∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C錯(cuò)誤； 由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=， ∴OE=， ∵∠EBG+∠AGB=90°， ∠EBG+∠BEF=90°， ∴∠AGB=∠BEF， 又∵∠BEF=∠DEF ∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D錯(cuò)誤． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，設(shè)出邊長(zhǎng)為1可使求解過程更容易理解． 　 二、填空題 19．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是　18　cm． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 故答案為：18 【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行分析． 　 20．如圖，有一個(gè)英語(yǔ)單詞，四個(gè)字母都關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谠嚲砩涎a(bǔ)全字母，在答題卡上寫出這個(gè)單詞所指的物品　書?。? 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，組成圖形，即可解答． 【解答】解：如圖， 這個(gè)單詞所指的物品是書． 故答案為：書． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出圖形． 　 21．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按所選做的第一題計(jì)分． A．一個(gè)正五邊形的對(duì)稱軸共有　5　條． B．用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：+3tan56°≈　10.02?。ńY(jié)果精確到0.01） 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；計(jì)算器—數(shù)的開方；計(jì)算器—三角函數(shù)． 【專題】常規(guī)題型；計(jì)算題． 【分析】A．過正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，可得對(duì)稱軸． B．先用計(jì)算器求出、tan56°的值，再計(jì)算加減運(yùn)算． 【解答】解：（A）如圖， 正五邊形的對(duì)稱軸共有5條． 故答案為：5． （B）≈5.5678，tan56°≈1.4826， 則+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02 故答案是：10.02． 【點(diǎn)評(píng)】A題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記正五邊形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．B題考查了計(jì)算器的使用，要注意此題是精確到0.01． 　 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　　． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；三角形中位線定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，∠ABG=∠HBD=30°，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MEH的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得△FIN的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案． 【解答】解：如圖所示： ， 由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=4，得 AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°． 由直角三角的性質(zhì)，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°． 由對(duì)頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60° 由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4． 由GE為邊作等邊三角形GEF，得 FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°， △MHE是等邊三角形； S△ABC=AC?BE=AC×EH×3 EH=BE=×6=2． 由三角形外角的性質(zhì)，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°， 由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2， 由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2， 由對(duì)頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°， 由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°， 由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=． S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN =×42﹣×22﹣××1=， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，利用圖形的割補(bǔ)法是求面積的關(guān)鍵． 　 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案為：15． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 　 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是　400?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)，據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)． 【解答】解：如圖① ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC， ∴B′O=AB，CO=AC， ∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形． 又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)， 第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)， 第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，… 依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè)，小等邊三角形有2n個(gè)． 故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2×100+2×100=400． 故答案為：400． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 　 25．如圖，點(diǎn)B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點(diǎn)O，B1，A1按逆時(shí)針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B2是△OB1A1的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點(diǎn)O，B2，A2按逆時(shí)針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是　　． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由于點(diǎn)B1是△OBA兩條中線的交點(diǎn)，則點(diǎn)B1是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點(diǎn)B1也是△OBA的內(nèi)心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每構(gòu)造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30°，所以還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)等邊三角形都相似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，由△OB1A1與△OBA的面積比為，求得構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積． 【解答】方法一： 解：∵點(diǎn)B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)， ∴點(diǎn)B1是△OBA的重心，也是內(nèi)心， ∴∠BOB1=30°， ∵△OB1A1是等邊三角形， ∴∠A1OB=60°+30°=90°， ∵每構(gòu)造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30°， ∴還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合， ∴構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB10A10． 如圖，過點(diǎn)B1作B1M⊥OB于點(diǎn)M， ∵cos∠B1OM=cos30°==， ∴===，即=， ∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=， 同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=， …， ∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是． 故答案為． 方法二： ∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°， ∴每構(gòu)造一次增加30°， ∴n==10， ∵△OBA∽△OB1A1， ∴?， ∵S△OBA=1， ∴S△OB1A1=，q=， ∴S△OB10A10=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定難度．根據(jù)條件判斷構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB10A10及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB1A1與△OBA的面積比為，進(jìn)而總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 　 26．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為　（）n?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由AB1為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn)，求出BB1的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB1的長(zhǎng)，進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積． 【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根據(jù)勾股定理得：AB1=， ∴第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為×（）2=（）1； ∵等邊三角形AB1C1的邊長(zhǎng)為，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根據(jù)勾股定理得：AB2=， ∴第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為×（）2=（）2； 依此類推，第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為（）n． 故答案為：（）n． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在第一象限且AB⊥BO，點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上．若點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線OM對(duì)稱，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（　1　，　?。? 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出OB的長(zhǎng)，再連接ME，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得OB=OE，再求出AO的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，利用∠A的余弦值列式求出AM的長(zhǎng)度，再求出BM的長(zhǎng)，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵點(diǎn)B（0，）， ∴OB=， 連接ME， ∵點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線OM對(duì)稱， ∴OB=OE=， ∵點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)， ∴AO=2OE=2， 根據(jù)勾股定理，AB===3， cosA==， 即=， 解得AM=2， ∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，）． 故答案為：（1，）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是　1，7?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線之間的距離． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當(dāng)P與N重合時(shí)，HN為P到BC的最小距離；當(dāng)P與M重合時(shí)，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出DB與FB的長(zhǎng)，以及CG與CE的長(zhǎng)，進(jìn)而由DB+BC+CE求出DE的長(zhǎng)，由BC﹣BF﹣CG求出FG的長(zhǎng)，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離． 【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2， 當(dāng)P與N重合時(shí)，HN為P到BC的最小距離；當(dāng)P與M重合時(shí)，MQ為P到BC的最大距離， 根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形， ∴DB=FB==，CE=CG==， ∴DE=DB+BC+CE=++=，F(xiàn)G=BC﹣BF﹣CG=， ∴NH=FG=1，MQ=DE=7， 則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7． 故答案為：1，7． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及平行線間的距離，作出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． 　 30．如圖，O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)． （1）請(qǐng)指出當(dāng)∠ABC在什么角度時(shí)，會(huì)使得PR的長(zhǎng)度等于7？并完整說明PR的長(zhǎng)度為何在此時(shí)會(huì)等于7的理由． （2）承（1）小題，請(qǐng)判斷當(dāng)∠ABC不是你指出的角度時(shí)，PR的長(zhǎng)度是小于7還是會(huì)大于7？并完整說明你判斷的理由． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】（1）連接PB、RB，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PB=OB，RB=OB，然后判斷出點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線時(shí)PR=7，再根據(jù)平角的定義求解； （2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答． 【解答】解：（1）如圖，∠ABC=90°時(shí)，PR=7． 證明如下：連接PB、RB， ∵P、R為O分別以直線AB、直線BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)， ∴PB=OB=3，RB=OB=3， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°， ∴點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線， ∴PR=2×3=7； （2）PR的長(zhǎng)度是小于7， 理由如下：∠ABC≠90°， 則點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)不在同一直線上， ∴PB+BR＞PR， ∵PB+BR=2OB=2×3=7， ∴PR＜7． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 第34頁(yè)（共34頁(yè)）