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第四章 圖形的相似 測(cè)試卷 一、選擇題 1．已知xy=mn，則把它改寫(xiě)成比例式后，錯(cuò)誤的是（　?。? A．= B．= C．= D．= 2．已知，那么的值是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列兩個(gè)圖形一定相似的是（　?。? A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)五邊形 D．兩個(gè)正方形 4．如果兩個(gè)相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個(gè)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比是（　?。? A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（　?。﹤€(gè)． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如圖，D為△ABC邊BC上一點(diǎn)，要使△ABD∽△CBA，應(yīng)該具備下列條件中的（　?。? A．= B．= C．= D．= 7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長(zhǎng)為（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 8．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。? A． B． C． D．　 9．如圖，線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（3，3），D（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來(lái)的2倍后得到線段AB，則端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。? A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 10．關(guān)于對(duì)位似圖形的表述，下列命題正確的有（　?。? ①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ②位似圖形一定有位似中心； ③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形； ④位似圖形上任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空題 12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為　 ． 13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＜CB，則AC的長(zhǎng)度為 ?。? 14．）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=　 ?。? 15．一塊矩形綢布的寬AB=a m，長(zhǎng)AD=1m，按照?qǐng)D中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是 ． 16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)C時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個(gè)路燈的高度都是9m．當(dāng)小亮走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是　 　m． 三、解答題 17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D． （1）證明：△ACD∽△CBD； （2）已知AD=2，BD=4，求CD的長(zhǎng)． 　 18．如圖，AD是△ABC的高，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)H在邊AB上，點(diǎn)G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm． （1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積． （2）若四邊形EFGH是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為y，設(shè)EF=x，則y= ?。ê瑇的代數(shù)式），當(dāng)x=　 　時(shí)，y最大，最大面積是　 ?。? 19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）當(dāng)AP=3時(shí)，△DAP與△CBP相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （2）求PD+PC的最小值． 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng) BE交AC于點(diǎn)F． （1）證明：BE2=AE?DE； （2）若=1，=　 ??；并說(shuō)明理由．  答案解析 一、選擇題 1．已知xy=mn，則把它改寫(xiě)成比例式后，錯(cuò)誤的是（　　） A．= B．= C．= D．= 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)． 【分析】熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【解答】解：A、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母ny得xy=mn，與原式相等； B、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母mx得xy=mn，與原式相等； C、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母mn得xn=my，與原式不相等； D、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母my得xy=mn，與原式相等； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】解答此題應(yīng)把每一個(gè)選項(xiàng)乘以最簡(jiǎn)公分母后與原式相比較看是否相同． 　 2．已知，那么的值是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)和比性質(zhì)：=?=，可得答案． 【解答】解：由=2，得==3． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用和比性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 3．下列兩個(gè)圖形一定相似的是（　?。? A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)五邊形 D．兩個(gè)正方形 【考點(diǎn)】相似多邊形的定義． 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)，用排除法求解． 【解答】解：A、兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意； B、兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意； C、兩個(gè)五邊形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意； D、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 4．如果兩個(gè)相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個(gè)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比是（　?。? A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)． 【分析】由兩個(gè)相似多邊形面積的比是4：9，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比是4：9， ∴這兩個(gè)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比是2：3． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（　?。﹤€(gè)． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到圖中與△CEF相似的三角形． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， ∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，D為△ABC邊BC上一點(diǎn)，要使△ABD∽△CBA，應(yīng)該具備下列條件中的（　?。? A．= B．= C．= D．= 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定問(wèn)題，題中已有一公共角，再添加對(duì)應(yīng)邊比值相等即可． 【解答】解：當(dāng)=時(shí)， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵． 　 7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長(zhǎng)為（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】首先利用平行線判定兩三角形相似，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求得線段BC的長(zhǎng)即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴， ∵DE=3cm， ∴=， 解得：DE=9cm． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線判定相似三角形，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)． 　 8．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可． 【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確； D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（3，3），D（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來(lái)的2倍后得到線段AB，則端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　　） A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 【考點(diǎn)】平面直角坐標(biāo)系中的位似變換． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】利用位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k可得到答案． 【解答】解：因?yàn)橐栽c(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來(lái)的2倍后得到線段AB， 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4×2，1×2），即（8，2）． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k． 　 10．關(guān)于對(duì)位似圖形的表述，下列命題正確的有（　　） ①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ②位似圖形一定有位似中心； ③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形； ④位似圖形上任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【考點(diǎn)】位似圖形的性質(zhì)． 【分析】由位似圖形的定義可知：如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形；故位似圖形一定有位似中心；且位似圖形上任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′．繼而可得位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形． 【解答】解：①位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形；故錯(cuò)誤； ②位似圖形一定有位似中心；正確； ③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形；正確； ④位似圖形上任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′；正確． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì)與定義．注意準(zhǔn)確理解位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的值是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例． 【專題】計(jì)算題． 【分析】作FG⊥AB于點(diǎn)G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC求解． 【解答】解：作FG⊥AB于點(diǎn)G， ∵∠DAB=90°， ∴AE∥FG， ∴=， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 又∵BE是∠ABC的平分線， ∴FG=FC， 在Rt△BGF和Rt△BCF中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45°， ∴AB=BC， ∴====+1． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找出線段之間的關(guān)系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解． 二、填空題 12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為　﹣4?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，則OA2﹣AB2=8變形為AC2﹣AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）=4，所以（OC+BD）?CD=4，則有a?b=﹣4，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=﹣4． 【解答】解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）， ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD， ∵OA2﹣AB2=8， ∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4， ∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4， ∴（OC+BD）?CD=4， ∵點(diǎn)B在第四象限， ∴a?b=﹣4， ∴k=﹣4． 故答案為：﹣4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k． 13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＜CB，則AC的長(zhǎng)度為　　． 【考點(diǎn)】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC是較短線段；則AC=1﹣=． 【解答】解：由于C為線段AB=1的黃金分割點(diǎn)， 且AC＜CB， 則AC=1﹣=． 故本題答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】理解黃金分割點(diǎn)的概念．熟記黃金比的值進(jìn)行計(jì)算． 　 14．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=　1：20?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等高三角形面積的比等于底的比和相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解出結(jié)果． 【解答】解：∵S△BDE：S△DEC=1：4， ∴BE：EC=1：4， ∴BE：BC=1：5， ∵DE∥AC， ∴△BED∽△BCA， ∴==， 設(shè)S△BED=k，則S△DEC=4k，S△ABC=25k， ∴S△ADC=20k， ∴S△BDE：S△DCA=1：20． 故答案為：1：20． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方，注意各三角形面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 15．一塊矩形綢布的寬AB=a m，長(zhǎng)AD=1m，按照?qǐng)D中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是　?。? 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)． 【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得：，繼而求得答案． 【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同， ∴， ∴a2=， ∴a=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例． 　 16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)C時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個(gè)路燈的高度都是9m．當(dāng)小亮走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是　3.6　m． 【考點(diǎn)】利用影子測(cè)量物體的高度． 【專題】計(jì)算題． 【分析】如圖，當(dāng)小亮走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)為BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，先證明△ACE∽△ABN得到=，同理可得=，則AC=BD=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18，接著證明△HBG∽△HAM，然后利用相似比得到=，再利用比例性質(zhì)求出BH即可． 【解答】解：如圖，當(dāng)小亮走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)為BH， CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m， ∵CE∥BN， ∴△ACE∽△ABN， ∴=，即=， 同理可得=， ∴AC=BD， ∴AC=BD=AB， ∵AC+CD+DB=AB， ∴AB+12+AB=AB，解得AB=18， ∵BG∥AM， ∴△HBG∽△HAM， ∴=，即=，解得BH=3.6． 即當(dāng)小亮走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是3.6m． 故答案為3.6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度． 　 三、解答題 17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D． （1）證明：△ACD∽△CBD； （2）已知AD=2，BD=4，求CD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）求出∠CDA=∠ACB=90°，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△ACD∽△CBD，即可得出答案； （2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=∠CDB=90°， ∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2=AD?BD=2×4=8， ∴CD=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，AD是△ABC的高，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，點(diǎn)H在邊AB上，點(diǎn)G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm． （1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積． （2）若四邊形EFGH是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為y，設(shè)EF=x，則y=　﹣x2+80x　．（含x的代數(shù)式），當(dāng)x=　60cm　時(shí)，y最大，最大面積是　240cm2　． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)正方形的對(duì)邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面積； （2）證出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出長(zhǎng)方形的面積y是x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可． 【解答】解：（1）∵四邊形EFGH是正方形， ∴HG∥EF，GH=HE=ID， ∴△AHG∽△ABC， ∴AI：AD=HG：BC， ∵BC=120cm，AD=80cm， ∴， 解得：HG=48cm， ∴正方形EFGH的面積=HG2=482=2304（cm2）； （2）∵四邊形EFGH是長(zhǎng)方形， ∴HG∥EF， ∴△AEF∽△ABC， ∴AI：AD=HG：BC， 即， 解得：HE=﹣x+80， ∴長(zhǎng)方形EFGH的面積y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240， ∵﹣＜0， ∴當(dāng)x=60，即EF=60cm時(shí)，長(zhǎng)方形EFGH有最大面積，最大面積是240cm2； 故答案為：﹣x2+80x，60cm，240cm2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵． 　 19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）當(dāng)AP=3時(shí)，△DAP與△CBP相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （2）求PD+PC的最小值． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由題意可知∠A=∠B=90°，AP=3，PB=4，故此，從而可證明△DAP與△CBP相似； （2）作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交BA于點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥BC，垂足為E．依據(jù)勾股定理求得D′C的長(zhǎng)即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC， ∴∠BAD=90°． ∴∠A=∠B=90°． ∵AP=3，AB=7， ∴PB=4． ∴，． ∴． ∴△DAP∽△CBP． （2）如圖所示：點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交BA于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥BC，垂足為E． ∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于AB對(duì)稱， ∴PD=D′P． ∴PD+PC=D′P+PC=D′C． 在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7． ∴PD+PC的最小值為7． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的相似三角形的判定、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng) BE交AC于點(diǎn)F． （1）證明：BE2=AE?DE； （2）若=1，=　2??；并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證明∠BAE=∠DBE，根據(jù)題意可知∠AEB=∠DEB，從而可證明△ABE∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可證明BE2=AE?DE； （2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由題意可知BE∥CG，故此△BDE∽△CDG，由BD=CD，可知DE=DG，設(shè)AB=2λ，則BD=λ，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AE=，AD=，從而可求得DE=DG=，故此EG=λ，由EF∥CG，可知：． 【解答】解：（1）∵BE⊥AD， ∴∠AEB=∠BED=90°． ∴∠BAE+ABE=90°． ∵∠ABC=90°， ∴∠DBE+∠ABE=90°． ∴∠BAE=∠DBE． ∴△ABE∽△BDE． ∴． ∴BE2=AE?DE． （2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G． ∵BE⊥AD，CG⊥AD， ∴BE∥CG． ∴△BDE∽△CDG． ∴． ∵BD=CD， ∴DE=DG． 設(shè)AB=2λ，則BD=λ； ∵∠ABD=90°，BE⊥AD， ∴AD==． ∵cos∠BAD==， ∴． ∴AE=． ∴DE=AD﹣AE==． ∴EG=． ∵EF∥CG， ∴=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．