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1、1,大學(xué)物理學(xué),主講： 物理電子學(xué)院 張 濤 教 授,2,第一篇 力 學(xué),(Mechanics),3,內(nèi)容提要 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量 相對(duì)運(yùn)動(dòng),4,1-1 矢量,一.矢量的表示法,,5,二.矢量的加、減法,三角形法,多邊形法,6,三.標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積),7,四.矢量積(向量積、叉積、外積),指向由右手螺旋法則確定。,8,1.矢量函數(shù)的微商與標(biāo)量函數(shù)的微商不同： 矢量函數(shù)的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商,,9,10, 運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒有運(yùn)動(dòng)就沒有世界。 運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。,一.運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性,,1-2 參考系、質(zhì)點(diǎn),11, 在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參考的物體稱為

2、參考系。 為了對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)作定量描述， 還需要在參考系中取定一個(gè)固定的坐標(biāo)系。 坐標(biāo)系是參考系的代表和抽象。,二.參考系 坐標(biāo)系,常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系。,三.理想模型質(zhì)點(diǎn) 在所研究的問題中，形狀和大小可以忽略的物體質(zhì)點(diǎn)。,12,1-3 位置矢量 運(yùn)動(dòng)方程 軌道方程,一.位置矢量描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量,位置矢量，簡(jiǎn)稱位矢或矢徑。,由圖1-1 可知,,13,式中 , , 取小于180的值。,方向余弦: cos=x/r,cos=y/r,cos=z/r,cos2 + cos2 + cos2 =1,14,它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 三.軌道方程

3、 質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程，稱為軌道方程。,消去時(shí)間t得： x2+y2=62 這就是軌道方程。,二.運(yùn)動(dòng)方程,15,1-4 位移速 度,如圖1-2所示, 質(zhì)點(diǎn)沿曲線C運(yùn)動(dòng)。時(shí)刻t在A點(diǎn)，時(shí)刻t+t在B點(diǎn)。,一.位移和路程,而A到B的路徑長(zhǎng)度S, 稱為路程。,S,16,在x軸方向的位移為,注意：坐標(biāo)的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!,17,(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。,18,單位時(shí)間內(nèi)的路程平均速率。,定義: 單位時(shí)間內(nèi)的位移平均速度。,二.速度、速率,19,如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，,即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t從A點(diǎn)到B點(diǎn)又折回C點(diǎn),顯然平均速度

4、和平均速率也截然不同:,而平均速率為,則平均速度為,20,質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速率:,,質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))速度:,而速率等于路程S對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。,21,=,(1)速率=速度的大小。,例: (A),(B),22,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,速度的大?。?(1-11),(3)在直角坐標(biāo)系中,,23,為了描述速度隨時(shí)間的變化情況，我們定義：質(zhì)點(diǎn)的平均加速度,則在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量為,1-5 加速度,一.加速度,24,質(zhì)點(diǎn)的(瞬時(shí))加速度定義為,(1) 在直角坐標(biāo)系中,加速度的表示式是,25,(1-20),26,在曲線運(yùn)動(dòng)中,加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。 在國際單位制中,加

5、速度的單位為米/秒2(ms-2)。,,27,例：,由前面的討論我們得到了質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的正交分解式。這些式子表明,任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以分解為沿x,y, z 三個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng),每個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的,整個(gè)運(yùn)動(dòng)可看作是沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的直線運(yùn)動(dòng)的疊加,這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理。,28,以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：認(rèn)真學(xué)習(xí)用微積分來處理物理問題的方法。,,,1-6 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題,29,例題1-1 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為x=t39t2 +15t+1 (SI),求: (1)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)?哪些時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)調(diào)頭了？ (2)質(zhì)點(diǎn)在02s內(nèi)的位移和路程。,可得：t=

6、1 ,5s;又由于1,5s前后速度改變了方向(正負(fù)號(hào)），所以t=1,5s調(diào)頭了。 因t=0時(shí)速度 =+15m/s,所以質(zhì)點(diǎn)首先向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。,=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0,調(diào)頭的必要條件是速度為零，即,解（1）質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？,30,x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故02s內(nèi)的路程應(yīng)為 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m,(2)質(zhì)點(diǎn)在02s內(nèi)的位移可表示為,解,x =3+2t2, y =2t2-1，,y =x-4 直線,質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。,x=t39t2 +15t+1,31,解 (

7、1)由矢徑的表達(dá)式可知, x=Rcos t ， y=Rsin t 從以上兩式中消去t,得到粒子的軌道方程： x2+y2=R2 這是一個(gè)以原點(diǎn)o為中心,半徑為R的圓。,由于t=0時(shí),x=R, y=0,而t0+時(shí),x0,y0,由此判定粒子是作逆時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)。,32,其大小為,粒子在任一時(shí)刻t的速度、加速度為,33,(2)在時(shí)間t=/2/內(nèi)的位移為,注意到為角速度，在時(shí)間t=/2/內(nèi)粒子剛好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，故路程: S=R。,34,例題1-4 質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，x=2t, y=19-2t2 (SI);求：(1)質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)刻的位置,以及這1s內(nèi)的位移和平均速

8、度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)軌道方程；(4)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近? (5)第1s內(nèi)的路程。,平均速度 ：,位移：,當(dāng)t=1s時(shí)，,解 (1)位矢：,當(dāng)t=2s時(shí)，,35,代入t=1s,得：,加速度：,(2)速度：,a=4(m/s2),36,(3)軌道方程：,由此方程可解得，t= 0,3s (略去t=-3s); 代入t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可見t=3s時(shí)最近。,r有極值的必要條件是：,(4)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近?,x=2t, y=19-2t2,,這是一條拋物線,37,(5)第1s內(nèi)的路程:,1 0,=1.34m,38,例題1-5 在離水面高度為h的岸

9、邊，一人以恒定的速率收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為x時(shí)，船的速度和加速度。,解 對(duì)矢徑未知的問題,須先建立坐標(biāo)系,找出矢徑,再求導(dǎo)。,39,解2:,船的速度:,40,解 取傘兵開始下落時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為x軸的正方向。,例題1-6 一傘兵由空中豎直降落,其初速度為零,而加速度和速度的關(guān)系是: a=A-B ,式中A、B為常量;求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。,41,完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:,42,可認(rèn)為任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)都在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)圓稱為曲率圓，如圖1-5所示。,二.向心加速度和切向加速度,設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線C運(yùn)動(dòng)。,,于是速度可寫為,43,而加速度,設(shè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻t在p1點(diǎn), 經(jīng)時(shí)間t到達(dá)p2點(diǎn)，

10、如圖1-6所示。,=,44,因ds=d (為曲率半徑),,于是得:,45,大小：,方向：沿半徑指向圓心。,大小：,方向：沿軌道切線方向。,,作用：描述速度方向的 變化。,作用：描述速度大小的 變化。,加速度小結(jié)：,,名稱：向心(法向)加速度。,名稱：切向加速度。,46,總加速度的大小:,以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：掌握切向加速度和向心加速度表達(dá)的物理內(nèi)容和計(jì)算公式。,47,,由an=| at | 得:,解得,解 (1)由公式：,48,例題1-8 求斜拋體在任一時(shí)刻的法向加速度an 、切向加速度at和軌道曲率半徑(設(shè)初速為o，仰角為)。,解 設(shè)坐標(biāo)x、y沿水平和豎直兩個(gè)方向，如圖示。,總加

11、速度(重力加速度)g是已知的;所以an 、at 只是重力加速度g沿軌道法向 和切向的分量,由圖可得：,49,討論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，y=0,故該點(diǎn)：,an=g, at=0,50,(2) 解法之二,51,3t2=3, 求出t=1s,解(1)由,有,又,52,設(shè)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),如圖1-9所示。,質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻t的(瞬時(shí))角加速度為,三.圓周運(yùn)動(dòng)的角量和線量的關(guān)系,我們定義： 質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻t的(瞬時(shí))角速度為,角稱為角坐標(biāo)(角位置)。,角能完全確定質(zhì)點(diǎn)在圓上的位置,,53,線量和角量之間的聯(lián)系:,(1-22a),角速度矢量,54,圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：

12、 表1-1,55,例題1-10 一半徑R=1m的飛輪，角坐標(biāo)=2+12t-t3 (SI),求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？,an=R2=(12-3t2)2 , at=R =-6t 代入t=1s, an=81 2 , at= -6 (SI) (2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：=12-3t2=0, 求出：t=2s。 t=2s, 2=18，,解(1),t=0, 0=2, 所以轉(zhuǎn)過角度：=2-0=16=8圈。,56,解,例題1-11 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，速率=A+Bt (A、B為正的常量)。t=0質(zhì)點(diǎn)從圓上某點(diǎn)出發(fā)，求：該質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一

13、周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)它的切向加速度，法向加速度和總加速度的大小是多少？,由于=B/R為常量，于是可用:,因=A+Bt=R, 所以t=0時(shí), o=A/R,,求出時(shí)間t。,=2,,57,o=A/R,,解得,=2,,58,另解,解得,59,1-7 相對(duì)運(yùn)動(dòng),假定：參考系S和S之間，只有相對(duì)平移而無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng), 且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸始終保持平行。,對(duì)空間P點(diǎn), 有,. p,60,式(1-25)稱為速度合成定理。它表示：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度等于質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度與S系對(duì)S系的速度的矢量和。 注意：(1).式(1-23)(1-26)是矢量關(guān)系式。 (2).雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào),即：,s s,對(duì)船

14、 船對(duì),61,解 首先寫出速度合成定理：,（1）矢量三角形法,例題1-12 一人騎自行車以速率向正西行駛，今有風(fēng)以相同速率由北向南方向吹來，試問：人感到的風(fēng)速大小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來？,由于人對(duì)地=風(fēng)對(duì)地= ,,風(fēng)對(duì)人=,人感到風(fēng)從西北方向吹來。,62,(2)單位矢量法,方向：與x軸正方向的夾角：,(由于人對(duì)地=風(fēng)對(duì)地= ),63,例題1-13 當(dāng)火車靜止時(shí)，乘客發(fā)現(xiàn)雨滴下落方向偏向車頭,偏角30；當(dāng)火車以35m/s的速率沿水平直路行駛時(shí)，發(fā)現(xiàn)雨滴下落方向偏向車尾， 偏角45,假設(shè)雨滴相對(duì)于地面的速度 保持不變，求雨滴相對(duì)地的速度的 大小。,x方向:雨對(duì)地cos60=-雨對(duì)車cos45+35 y方向: -雨對(duì)地cos30=-雨對(duì)車cos45 解得： 雨對(duì)地=25.6m/s。,64,例題1-14 河水由西向東流動(dòng),速度10km/h。一輪船在水中航行，船相對(duì)河水的航速20km/h ，相對(duì)河水的航向?yàn)楸逼?0。此時(shí)風(fēng)向?yàn)檎?，風(fēng)速為10km/h。求在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的方向(設(shè)煙離開煙囪后很快獲得與風(fēng)相同的速度)。,解,,,65,得,大小:,方向與x軸正向的夾角為,(南偏西30),66,