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______________________________________________________________________________________________________________ 第1講 找規(guī)律 一、知識要點 按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1，2，3，4，……雙數列：2，4，6，8，……我們研究數列，目的就是為了發(fā)現數列中數排列的規(guī)律，并依據這個規(guī)律來填寫空缺的數。 按照一定的順序排列的一列數，只要從連續(xù)的幾個數中找到規(guī)律，那么就可以知道其余所有的數。尋找數列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發(fā)現數列的規(guī)律是填數的關鍵。 二、精講精練 【例題1】在括號內填上合適的數。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 練習1：在括號內填上合適的數。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） （3）2，8，32，128，（ ），（ ） （4）1，5，25，125，（ ），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ） 【例題2】先找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數。 （1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ） （2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ） 練習2：按規(guī)律填數。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） （4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （5）1，2，5，14，（ ），（ ） 【例題3】先找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數。 （1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ） （3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ） 練習3：按規(guī)律填數。 （1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ） （3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ） 【例題4】根據前面圖形里的數的排列規(guī)律，填入適當的數。 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 （1） 9 3 27 12 4 36 36 12 （3） 練習4：找出排列規(guī)律，在空缺處填上適當的數。 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 14 （1） 8 4 16 16 8 32 32 16 64 5 15 12 7 21 18 9 27 （3） 【例題5】按規(guī)律填數。 （1）187，286，385，（ ），（ ） 23 31 2541 41 23 4643 35 24 （2） 練習5：根據規(guī)律，在空格內填數。 （1）198，297，396，（ ），（ ） 32 54 3864 21 45 2665 32 57 （2） 37 25 3895 23 45 2775 34 25 （3） 第2講 有余除法 一、知識要點 把一些書平均分給幾個小朋友，要使每個小朋友分得的本數最多，這些書分到最后會出現什么情況呢？一種是全部分完，還有一種是有剩余，并且剩余的本數必須比小朋友的人數少，否則還可以繼續(xù)分下去。每次除得的余數必須比除數小，這就是有余數除法計算中特別要注意的。 解這類題的關鍵是要先確定余數，如果余數已知，就可以確定除數，然后再根據被除數與除數、商和余數的關系求出被除數。 在有余數的除法中，要記?。海?）余數必須小于除數；（2）被除數＝商×除數＋余數。 二、精講精練 【例題1】 [ 　]÷6＝8……[ 　]，根據余數寫出被除數最大是幾？最小是幾？ 【思路導航】除數是____，根據____________，余數可填_____________.根據____________，又已知商、除數、余數，可求出最大的被除數為6×8＋5＝53，最小的被除數為______________。列式如下：________________________________________ 答：被除數最大是53，最小是______。 練習1： (1)下面題中被除數最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷8＝3……[ 　] (2)下面題中被除數最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷4＝7……[ 　] (3)下題中要使除數最小，被除數應為________。 [ 　]÷[ 　]＝12……4 【例題2】算式[ 　]÷[ 　]＝8……［ ?。葜?，被除數最小是幾？ 【思路導航】題中只告訴我們商是8，要使被除數最小，那么只要除數和余數小就行。余數最小為______，那么除數則為______。 根據這些，我們就可求出被除數最小為：8×______＋______＝_______。 練習2： (1)下面算式中，被除數最小是幾？ ①[ 　]÷[ 　]＝4……［　?。? ②[ 　]÷[ 　]＝7……［　?。? ③[ 　]÷[ 　]＝9……［　?。? (2)下面算式中商和余數相等，被除數最小是幾？ ①[ 　]÷[ 　]＝3……［　?。? ②[ 　]÷[ 　]＝6……［　?。? (3)算式[ 　]÷8＝[ 　]……［　?。葜?，商和余數都相等，那么被除數最大是幾？ 【例題3】算式28÷[ 　]＝[ 　]……4中，除數和商分別是______和______。 【思路導航】根據“被除數＝商×除數＋余數”，可以得知“商×除數＝被除數－余數”，所以本題中商×除數＝28－4＝24。這兩個數可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因為余數為4，因此除數可以是24,12,8,6,商分別為____，____，____，____。 _________________________________________________________________ 答：除數和商分別是24，1；____，____；____，____；____，____。 練習3： (1)下面算式中，除數和商各是幾？ ①22÷[ 　]＝[ 　]……4 ②65÷[ 　]＝[ 　]……2 ③37÷[ 　]＝[ 　]……7 ④48÷[ 　]＝[ 　]……6 (2)149除以一個兩位數，余數是5,請寫出所有這樣的兩位數。 __________________________________________________________________________ (3)算式[ 　]÷4＝[ 　]……[ 　]中，商和余數相等，被除數可以是哪些數？ __________________________________________________________________________ 【例題4】算式[ 　]÷7＝[ 　]……[ 　]中，商和余數相等，被除數可以是哪些數？ 【思路導航】題目中告訴我們除數是7，商和余數相等，因為余數必須比除數小，所以余數和商可為1,2,3,4,5,6,這樣被除數就可以求出來了。 7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24 7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48 答：被除數可以是8,16,24,32,40,48。 練習4： (1) 下列算式中，商和余數相等，被除數可以是哪些數？ ①[ 　]÷6＝[ 　]……[ 　] ②[ 　]÷5＝[ 　]……[ 　] ③[ 　]÷4＝[ 　]……[ 　] ④[ 　]÷3＝[ 　]……[ 　] (2)一個三位數除以15，商和余數相等，請你寫出五個這樣的除法算式。 (3) 算式[ 　]÷9＝[ 　]……[ 　]中，商和余數相等，被除數最大是____。 【例題5】算式[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……4中，除數和商相等，被除數最小是幾？ 【思路導航】題目中告訴我們余數是4,除數和商相等，因為余數必須比除數小，所以除數必須比4大，但其中要求最小的被除數，因而除數應填_______，商也是______。由算式____________________，所以被除數最小是__________。 練習5：下面算式中，除數和商相等，被除數最小是幾？ (1)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……6 (2)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……8 (3)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……3 (4)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……9 (5)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……7 第3講 配對求和 一、知識要點 被人稱為“數學王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結果。小高斯是用什么辦法算得這么快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。 數列的第一個數（第一項）叫首項，最后一個數（最后一項）叫末項，如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數，這樣的數列叫做等差數列，這個不變的數則稱為這個數列的公差。 計算等差數列的和，可以用以下關系式： 等差數列的和＝（首項＋末項）×項數÷2 末項＝首項＋公差×（項數－1） 項數＝（末項－首項）÷公差＋1 二、精講精練 【例題1】你有好辦法算一算嗎？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（　　　?。? 練習1：速算。 (1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100 (3) 21+22+23+24+……+100 【例題2】計算。 (1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324 練習2：計算。 (1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188 【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，……下面每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？ 練習3： (1)體育館的東區(qū)共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位，第2排有11個座位，……這個體育館東區(qū)共有多少個座位？ (2)有一串數，第1個數是10，以后每個數比前一個數大4,最后一個數是90，這串數連加的和是多少？ (3)有一個鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，……十二點鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？ 【例題4】計算992+993+994+995+996+997+998+999。 練習4：計算。 (1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009 (3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 【例題5】計算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81 練習5：計算。 (1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 (2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19 (3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 第4講 加減巧算 一、知識要點 在進行加減運算時，為了又快又好，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運用“湊整”的方法，把接近整十、整百、整千的數看做所接近的數進行簡算。 進行加減巧算時，湊整之后，對于原數與整十、整百、整千……相差的數，要根據“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要再減”的原則進行處理。另外，可以結合加法交換律、結合律以及減法的性質進行湊整，從而達到簡算的目的。 二、精講精練 【例題1】你有好辦法迅速算出結果嗎？ (1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9 練習1：計算。 (1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9 (3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617 【例題2】計算。 (1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264 (3) 877+345-677 (4) 528-248-152 練習2：計算。 (1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365 (3) 987-733-167 (4) 487+(413-89) 【例題3】計算下面各題。 (1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168) 練習3：計算。 (1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112) (3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162) 【例題4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84 練習4：計算。 (1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90 【例題5】計算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1 練習5：計算。 (1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006 (2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99 第5講 圖形個數 一、知識要點 同學們，你想學會數圖形的方法嗎？要想不重復也不遺漏地數出線段、角、三角形、長方形……那就必須要有次序、有條理地數，從中發(fā)現規(guī)律，以便得到正確的結果。 要正確數出圖形的個數，關鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個，然后再數出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。 二、精講精練 【例題1】數出下圖中有多少條線段？ 【思路導航】方法一：我們可以采用以線段左端點分類數的方法。以A點為左端點的線段有：AB、AC、AD 3條；以B點為左端點的線段有：BC、BD 2條；以C點為左端點的線段有：CD 1條。所以，圖中共有線段3+2+1=6（條）。 方法二：把圖中線段 AB、BC、CD看做基本線段來數，那么，由1條基本線段構成的線段有：AB、BC、CD 3條；由2條基本線段構成的線段有:AC、BD 2條；由3條基本線段構成的線段有：AD 1條。所以，圖中一共有3+2+1=6（條）線段。 練習1： （1）數出下圖中有多少條線段？ （2）數出下圖中有幾個長方形？ 【例題2】數出圖中有幾個角？ 【思路導航】數角的個數可以采用與數線段相同的方法來數。 方法一：以OA為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3個；以OB為一邊的角還有： ∠BOC、∠BOD 2個；以OC為一邊的角還有：∠COD 1個。所以，圖中共有角3+2+1=6（個）。 方法二：把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角來數，那么，由1個基本角構成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3個；由2個基本角構成的角有: ∠AOC、∠BOD 2個；由3個基本角構成的角有：∠AOD 1個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）角。 練習2：數出圖中有幾個角？ （1） （2） 【例題3】數出右圖中共有多少個三角形？ 【思路導航】方法一：我們可以采用按邊分類數的方法。以PA為邊的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3個；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD 2個；以PC為邊的三角形還有：△PCD 1個。所以，圖中共有三角形3+2+1=6（個）。方法二：把圖中三角形 △PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形來數，那么，由1個基本三角形構成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3個；由2個基本三角形構成的三角形有: △PAC、△PBD 2個；由3個基本三角形構成的三角形有：△PAD 1個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）三角形。方法三：我們發(fā)現，要數出圖中三角形的個數，只需數出線段 AD中包含幾條線段就可以了，即3+2+1=6（個）。所以圖中共有6個三角形。 練習3：數出圖中共有多少個三角形？ （1） （2） 【例題4】數出下圖中有多少個長方形？ 【思路導航】數圖中有多少個長方形和數三角形的方法一樣，長方形是由長、寬兩對線段圍成，線段 CD上有3+2+1=6（條）線段，其中每一條與AC中一條線段對應，分別作為長方形的長和寬，這里共有6×1=6（個）長方形，而AC上共有2+1=3（條）線段也就有6×3=18（個）長方形。它的計算公式為： 長方形的總數=長邊線段的總數×寬邊線段的總數 （3+2+1）×（2+1）=18（個） 答：圖中共有18個長方形。 練習4： （1）數出下圖中有多少個長方形？ （2）數出下圖中有多少個正方形？ 【例題5】有5個同學，每兩個人握手一次，一共要握手多少次？ 【思路導航】這道題可以用數線段的方法來解答。根據題意，畫出線段圖，每一個端點代表一個同學。 從圖上可以看出，第1個同學要與其余4個同學握手共握手4次；第2個同學還要與其余3個同學握手共握手3次，第3個同學要與其余2個同學握手共握手2次；第4個同學還要與最后1個同學握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次） 練習5： （1）銀海學校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？ （2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8個數字，能組成多少個不同的兩位數？ 第6講 植樹問題 一、知識要點 爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答題：“27米?！蓖瑢W們，晶晶答對了嗎？ 這一類應用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關鍵是要弄清總距離、間隔長和棵數三者之間的關系。解答植樹問題先要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數＝總距離÷間隔長。 另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答。比如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這時解題的關鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總距離”、“間隔長”、“棵數”對應起來。 二、精講精練 【例題1】小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？ 【思路導航】要得出正確的結果，我們可以畫出如下的示意圖： 根據“已經植了9棵”，從圖中可以看出，第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是9-1=8（個），每個間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具體列式如下： 3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵樹相距24米。 練習1： （1）在路的一側插彩旗，每隔5米插一面，從起點到終點共插了20面，這條道路有多長？ （2）在學校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點到終點一共放了20盆，這條走廊長多少米？ 【例題2】在一條長42米的大路兩側栽樹，從起點到終點一共栽了14棵，已知相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？ 【思路導航】根據“在路的兩側共栽了14棵樹”這個條件，我們可以先求出每一側栽了14÷2=7（棵）樹，那么從第1棵樹到第7棵樹之間的間隔是7-1=6（個）。42米長的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下： 42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相鄰兩棵樹之間的距離是7米。 練習2：在公園一條長30米的路的兩側放椅子，從起點到終點共放了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多少米？ 【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？ 【思路導航】我們先求出鋼管被鋸開了28÷4=7（處），因而被鋸開的段數有7+1=8（段）。列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：這根鋼管被鋸成了8段。 練習3： 一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？ 【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓，照這樣計算，甲跑到16樓時，乙跑到了多少樓？ 【思路導航】解答爬樓梯問題時，不能以樓層進行計算，而要用樓梯段數進行計算，因為第一層樓是不用爬的，“樓層數-1”才是要走的“樓梯段數”，根據題意“甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓”，實際上是說“甲跑3段樓梯與乙跑2段樓梯所用的時間相同?！闭者@樣計算，甲跑到16樓，也就是跑了15段樓梯，應是甲跑3段樓梯所用的時間的5倍，在同一時間里，乙跑的樓梯段數也是他跑2段樓梯的5倍，也就是這時乙跑了10段樓梯，即他跑到了第10+1=11（樓）。列式如下： （3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（樓） 答：甲跑到16樓時，乙跑到了11樓。 練習4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時，小紅跑到第5層，照這樣計算，當小明跑到第16層時，小紅跑到了第幾層？ 【例題5】一個圓形跑道長300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？ 【思路導航】在圓周上插旗，插的面數正好等于分成的段數，所以插了紅旗300÷6=50（面），由于每兩面紅旗中間插一面黃旗，所以黃旗的面數就等于紅旗的面數，也是50面。 300÷6=50（面） 答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃旗。 練習5： （1）有一個正方形水池，周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？ （2）一條公路長480米，在兩旁植樹，兩端都植。每隔12米植一棵樟樹，兩棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各栽了多少棵？ 第7講 簡單推理 一、知識要點 數學課上，老師布置了一道題： □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 要得出正確的結論，就要進行分析、推理。學會了推理，能使你變得更聰明，頭腦更靈活。數學上有許多重大的發(fā)現和疑難問題的解決都離不開推理。 解答這類推理題時，要求小朋友仔細觀察，認真分析等式中幾個圖形之間的關系，尋找解題的突破口，然后再利用等量代換、消去等方法來進行解答。 二、精講精練 【例題1】下式中，□和△各代表幾？ □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 【思路導航】根據□＋△=28，我們可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4個△等于28，一個△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。 練習1： 1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ） 2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ） 3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ） 【例題2】下式中，□和△各代表幾？ □×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ） 【思路導航】根據□÷△=4可知△為一份，□是這樣的4份，即□=4△；又根據□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，進一步得到△=3，□=4△=4×3=12。 練習2： 1．○和□各表示幾？ ○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ） 2．想想，填填。 ○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ） 3．□和○各代表幾？ □=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ） 【例題3】下式中，□和△各代表幾？ □＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ） 【思路導航】16里面有2個□，1個△；14里面有1個□，2個△，16減去14等于2，即□－△=2，那么如果把△換成了□，則16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。 練習3： 1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ） 2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（ ） △=（ ） 3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 【例題4】下式中，□和○各代表幾？ □＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（ ） ○=（ ） 【思路導航】34里面有2個□、3個○，48里面有3個□、4個○，用48減去34得到□＋○=14，34中有2個（□＋○）及1個○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。 練習4： 1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（ ） △=（ ） 2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76 ○=（ ） △=（ ） 3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（ ） △=（ ） 【例題5】下式中，□、☆和△各代表幾？ ☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（ ） □=（ ） △=（ ） 【思路導航】因為2個☆等于3個□，3個□又等于4個△，所以2個☆等于4個△，那么1個☆等于2個△。在☆＋□＋△＋△=80中，2個△可以用1個☆替代，就變?yōu)椤睿酰?80，而2個☆又可以用3個□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。 練習5： 1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（ ） □=（ ） ○=（ ） 3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆ □＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320 ○=（ ） □=（ ） ☆=（ ） 第8講 算式謎 一、知識要點 一個完整的算式，缺少幾個數字，那就成了一道算式謎。 解算式謎，就是要將算式中缺少的數字補齊，使它成為一道完整的算式。 解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細觀察算式特征，由推理能確定的數先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時要認真分析已知數字與所缺數字的關系，抓準解題的突破口。 二、精講精練 【例題1】在下面算式的□內，填上適當的數字，使算式成立。 答案： 【思路導航】已知被乘數個位是8，積的個位是2，可推出乘數可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數只能是4，被乘數百位是1，那么十位上只能是9。（算式見右上） 練習1：在□里填上適當的數，使算式成立。 【例題2】□里填哪些數字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？ 【思路導航】已知除數和商的某些位上的數，求被除數，可以從商的末位上的數與除數相乘的積想起，，可知被除數個位為0，再想商十位上的數與6的乘積為一位數，這個數只能是1，這樣確定商的十位為1，最后被除數十位上的數為。 練習2：在□里填上適當的數，使算式成立。 【例題3】在下面豎式的□里，各填入一個合適的數字，使算式成立。 答案： 【思路導航】要求□里填哪些數，我們可以先想被除數的十位上的數是多少。容易知道，被除數的十位數字比7大，只可能是8或9。如果十位數字是8，那么商的個位只能是2；如果十位數字是9，那么商的個位是3或4。所以，這道題有三種填法（見上頁）。 練習3： □里可以填哪些數字？ 【例題4】在下面豎式的□里，各填入一個合適的數字，使算式成立。 答案： 【思路導航】通過觀察，我們發(fā)現，由于余數是7，則除數必須比7大，且被除數個位上應填7；由于商是4時是除盡的，所以被除數十位上應為2，同時，因而除數可能是3或8，可是除數必須比7大，因而除數只能是8，因而被除數百位上是3，而商的百位上為0，商的千位是8或3，所以一共有兩種填法（見上）。 練習4：在下面豎式的□里，各填入一個合適的數字，使算式成立。 【例題5】在下面□中填入適當的數，使算式成立。 答案： 【思路導航】通過觀察，我們發(fā)現，商的個位8與除數的乘積是48，由此可求出除數為6。再根據商的千位與6的乘積是二十幾，于是可求出商的千位是4，因而被除數的萬位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除數的百位是1，十位是6，個位是8。（填法見上） 練習5：在下面□中填入適當的數，使算式成立。 第9講 乘法速算 一、知識要點 我們已經學會了整數乘法的計算方法，但計算多位數乘法要一位一位地乘，運算起來比較麻煩。其實，多位數與一些特殊的數相乘，也可以用簡便的方法來計算。 計算乘法時，如果一個因數是25，另一個因數考慮可拆成4×幾，這樣可“先拆數再擴整”。兩位數、三位數及更高位數乘以11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法，但要注意相鄰兩位相加作積的中間數時，哪一位上滿十要向前一位進一。比如兩位數乘以11，我們有“兩位數與11相乘，首尾不變中間變，左右相加放中間，滿十進一頭就變?！? 二、精講精練 【例題1】試著計算下列各題，你發(fā)現了什么規(guī)律？ （1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11 【思路導航】通過計算、觀察可以發(fā)現，一個數與11相乘，所得的結果就是將這個數的首位和末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數相鄰兩位由個位加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進一。 （1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717 練習1：很快算出下面各題的結果。 （1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44 （5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11 （9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11 【例題2】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？ （1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25 【思路導航】因為25×4=100，因此，一個數與25相乘，我們就看這個數里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。 （1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525 （3）25×427=100×106+75=10600+75=10675 （4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950 練習2：速算。 （1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46 （5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25 【例題3】很快算出下面各題的結果。 （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 【思路導航】因為15=10+5，那么24×15就可以寫成24×（10+5），也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。 一個因數乘以15，也就是用這個數加上它的一半再乘以10。具體過程如下： （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 =（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10 =36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170 練習3：很快算出下面各題的結果。 （1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15 【例題4】很快算出下面各題的結果。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 【思路導航】（1）我們可以先用45×10=450，這樣就多加了一個45，因此我們還要從450中減去1個45，即450-45=405。 （2）我們可以先用32×100=3200，這樣就多加了一個32，因此我們還要從3200中減去1個32，即3200-32=3168。 （3）我們可以先用78×1000=78000，這樣就多加了一個78，因此我們還要從78000中減去1個78，即78000-78=77922。 從上面幾題可以看出，一個數與9相乘，就用這個數乘以10，再減去這個數；一個數與99相乘，就用這個數乘以100，再減去這個數；一個數與999相乘，就用這個數乘以1000，再減去這個數。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 =45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78 =450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922 練習4：計算。 （1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9 （4）45×99 （5）85×99 （6）728×99 （7）24×999 （8）3×999 （9）56×999 【例題5】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？ （1）15×15 （2）25×25 （3）35×35 （4）45×45 （5）65×65 （6）95×95 【思路導航】通過計算我們發(fā)現，個位是5的兩個相同的兩位數相乘，積的末尾兩位都是25，25前面的數是這個兩位數首位數與首位數加1的積，例如： 我們還可以發(fā)現，這種方法還適用于個位是5的兩個相同的多位數相乘的計算。 練習5：速算。 （1）55×55 （2）75×75 （3）85×85 （4）105×105 （5）125×125 （6）995×995 第10講 添運算符號 一、知識要點 根據題目給定的條件和要求，添運算符號和括號，使等式成立，這是一種很有趣的游戲。這種游戲需要動腦筋找規(guī)律，講究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添運算符號問題，通常采用嘗試探索法。主要嘗試方法有兩種：1．如果題目中的數字比較簡單，可以從等式的結果入手，推想哪些算式能得到這個結果，然后拼湊出所求的式子；2．如果題目中的數字多，結果也較大，可以考慮先用幾個數字湊出比較接近于等式結果的數，然后再進行調整，使等式成立。通常情況下，要根據題目的特點，選擇方法，有時將以上兩種方法組合起來使用，更有助于問題的解決。 二、精講精練 【例題1】在下面各題中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 【思路導航】對于這種問題，我們也可以用倒推法來分析。從結果10想起，最后一個數是5，可以從下面幾種情況中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。 （1）從□＋5=10考慮，□=5，前4個數必須組成得數是5的算式有： （1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）從□－5=10考慮，□=15，前4個數必須組成得數是15的算式有： 1＋2＋3×4－5=10 （3）從□×5=10考慮，□=2，前4個數必須組成得數是2的算式有： （1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）從□÷5=10考慮，□=50，前面4個數必須組成得數是50的算式，而前面4個數無法組成得數是50的算式。 練習1： 1．你能在下面的各數中添上運算符號，使算式成立嗎？ （1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10 2．在下面各數中添上適當的運算符號，使等式成立。 （1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8 3．巧添運算符號，使等式成立。 （1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3 【例題2】拿出都是8的四張牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能試一試嗎？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 【思路導航】這道題除了可以用倒推法來分析，還可以這樣想： （1）等于0的思考方法：假設最后一步運算是減法，那么這四個數可以分成兩組，這兩組的和、差、積、商應該相等，有： 8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0 （2）等于1的思考方法：假設最后一步是除法，那么四個數分成兩組，這兩組的和、積、商分別相等，相同的數相除也可得到1，有： （8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1 8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1 （3）等于2的思考方法：假設最后一步是加法，那么兩組數各為1，有： 8÷8＋8÷8=2 （4）等于3的思考方法：假設最后一步是除法，那么前三個數湊為3個8，有： （8＋8＋8）÷8=3 練習2： 1.在各數中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 2.巧添各種運算符號和括號，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 3.用8個8組成5個數，再添上適當的運算符號，使它們的和是1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000 【例題3】在4個4之間添上＋、－、×、÷或括號，使組成的得數是8。4 4 4 4 = 8 【思路導航】這類問題，我們可以用倒推方法來分析。這道題最后得數是8，而最后一個數是4，我們可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再進行解答。 （1）從□＋4=8考慮，□=4，前面3個4必須組成得數是4的算式有： 4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8 （2）從□－4=8考慮，□=12，前3個4必須組成得數是12的算式有： 4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8 （3）從□×4=8考慮，□=2，前面3個4必須組成得數是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8 （4）從□÷4=8考慮，□=32，前3個4必須組成得數是32的算式有： （4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8 練習3： 1．你能在下面數中填上＋、－、×、÷，使結果等于已知數嗎？答 （1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10 2．在下面數中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答 （1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9 3．在下面幾個數中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答 （1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6 【例題4】在下面12個5之間添上＋、－、×、÷，使算式成立。 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000 【思路導航】這道題的結果比較大，那我們就要盡量想出一些大的數來，使它與1000比較接近，如：555＋555=1110這個數比1000大了110，然后我們在剩下的6個5中湊出110減掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000 練習4： 1.用12個3組成8個數，它們的結果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000 2.在9個2之間添上運算符號，使結果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000 3.用7個6組成4個數，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600 【例題5】在下面式子中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21 【思路導航】這題左邊的數字比較多，等號右邊的得數是21，可以考慮在等號左邊最后兩個數字2、1前添＋，這時我們必須使前面幾個數字的結果為0，然后再用倒推的方法可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21 練習5： 1．在下面算式中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23 2．在下面式子的適當地方添上＋、－、×號，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 3．在下面算式中適當的地方添上＋、－號，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14 第11講 文字算式謎 一、知識要點 一般說來，算式都是由一些數字和運算符號組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。 文字算式是一種數字謎，解答時要注意在同一道題中，相同的文字或英文字母應表示相同的數字，不同的文