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1、高考沖刺 三角函數的概念圖象和性質 編稿：孫永釗 審稿：張林娟 【高考展望】 近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因為函數的 性質是研究函數的一個重要內容，是學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決生產實際問題的工具， 因此三角函數的性質是本章復習的重點。在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質結合起來， 即利用圖象的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質，同時也要 能利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的 思想方

2、法 三角函數是傳統(tǒng)知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向，突出 正、余弦函數的主體地位，加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因此三角函數的性質是本章復習的重 點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認識和基本 技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合 檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可能出現的是 “結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數性

3、 質”的命題，因此，建議三角函數的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命 題趨勢。 從近幾年高考試題來看，對三角函數的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函數的性質及公式的應 用，一般占兩個小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換、y =A sin(wx +j) 與向量等其他知識綜合及三角函數為背景的實際問題等.  的性質、三角函數 預測今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數性質及公式應用為主，解答題將會以向量為 載體，考查三角函數的圖象與性質或者與函數奇偶性、周期性、最值等相結合，以小型綜合題形式出現. 【知識升華】

4、 方法技巧： 1.八大基本關系依據它們的結構分為倒數關系、商數關系、平方關系，用三角函數的定義反復證明強化記 憶，這是最有效的記憶方法。誘導公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇變偶不變， 符號看象限”，變與不變是相對于對偶關系的函數而言的 2.三角函數值的符號在求角的三角函數值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據三角函數的，可簡記為 “一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數值皆為正；在第二象限正弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正 第 1 頁 共 21 頁 ． ．．．．．．．．．．．．

5、左 ( >0)或向右( 橫 坐標伸長(01) 3.在利用同角三角函數的基本關系式化簡、求值和證明恒等關系時，要注意用是否“同角”來區(qū)分和選用 公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數學思想方法的運用，在利用誘導公式進行三角式的化簡、 求值時，要注意正負號的選取 4.求三角函數值域的常用方法： 求三角函數值域除了判別式、重要不等式、單調性等方法之外，結合三角函數的特點，還有如下方法： （1）將所給三角函數轉化為二次函數，通過配方法求值域； （2）利用  sin x ,cos x  的有界性求值域； （3）換元法，利用

6、換元法求三角函數的值域，要注意前后的等價性，不能只注意換元，不注意等價性 5. 三角函數的圖象與性質 （一）列表綜合三個三角函數 ⑴最值的情況；  y =sin x ， y =cos x ， y =tan x  的圖象與性質，并挖掘： ⑵了解周期函數和最小正周期的意義．會求  y =A sin(wx +j)  的周期，或者經過簡單的恒等變形可化為上 述函數的三角函數的周期，了解加了絕對值后的周期情況； ⑶會從圖象歸納對稱軸和對稱中心； y =sin x  的對稱軸是  x =kp+ p 2  ( k ?Z

7、)  ，對稱中心是  ( kp  ,0) ( k ?Z )  ； y =cos x  的對稱軸是  x =kp ( k ?Z )  ，對稱中心是  ( kp+ p 2  ,0) ( k ?Z ) y =tan x  的對稱中心是  ( kp 2  ,0)( k ?Z ) 注意加了絕對值后的情況變化. ⑷寫單調區(qū)間注意  w >0  . （二）了解正弦、余弦、正切函數的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數和函數 的簡圖，并能由圖象寫出解析式．

8、⑴“五點法”作圖的列表方式；  y =A sin(wx +j) ⑵求解析式  y =A sin(wx +j)  時處相  j  的確定方法：代（最高、低）點法、公式  x =- 1 j w  . （三）正弦型函數 先平移后伸縮  y =A sin(wx +j)  的圖象變換方法如下： y =sin x 的圖象  ?向??j???j?<0)? 平移 j個單位長度 得 y =sin( x +j)的圖象  ????????? ? 1 到原來的 ( 縱坐標不變) w 第 2

9、 頁 共 21 頁 向 ( k ( k 0) 標 長 或 短 向 左 ( 得 y =sin(wx +j)的圖象 ?縱?坐?標伸?長(?A>1)?或縮?短(?00)?或?下?1)?縮?(?0

10、 x 的圖象  ???橫坐標伸?長(0?????1)? 1 到原來的 ( 縱坐標不變) w 得 y =A sin(wx ) 的圖象  ???j>?0)或????向右(j<0) j 平移 個單位 w 得 y =A sin x (wx +j)的圖象 【典型例題】 類型一、三角函數的概念  ?向?上(?k>0)?或向?下?(k<0)?? 平移 k 個單位長度  得 y =A sin(wx +j)+k 的圖象． 【例 1】在平面直角坐標系 xOy 中，將點 A(1， 3 )繞原點 O 順時針旋轉 90°到點 B，那

11、么點 B 的坐標為 ________；若直線 OB 的傾斜角為 α，則 sin 2α 的值為________． 【思路點撥】根據三角函數的定義求出點 B 的坐標，進而求出角α，可求 sin 2α. 【答案】( 3 ，－1) － 【解析】如圖所示，  3 2 ∵點 A 的坐標為( 3 ，1)， ∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°， 過 B 作 BC⊥x 軸于 C， ∵OB＝2， ∴OC＝ 3 ，BC＝1， ∴點 B 的坐標為(  3  ，－1)， 則直線 OB 的傾斜角為  5

12、 6  p  ，即 α＝  5 6  p  ， ∴sin 2α＝sin  5 3  p  2 3 ＝－sin p＝－ 3 2  . 【總結升華】三角函數的定義與誘導公式的應用 (1)三角函數的定義是推導誘導公式及同角三角函數基本關系式的理論基礎，應用三角函數的定義求三角 函數值有時反而更簡單． 第 3 頁 共 21 頁 (2)應用誘導公式化簡三角函數式，要注意正確地選擇公式，注意公式的應用條件． 舉一反三： 【變式】在(0,2π)內，使sin x＞cos x 成立的 x 的取值范圍為

13、 A.  ( p p 5p p p 5p p 5p 3p , ) è (p, ) B. ( , p) C. ( , ) D. ( , p) è ( , ) 4 2 4 4 4 4 4 4 2 答案 C 【解析】在單位圓中畫三角函數線，如圖所示，要使在(0,2π)內，sin x＞cos x，則 x∈  ( p 5p , ) 4 4  . 【例 2】已知角α的終邊落在直線 3x+4y=0 上，求 sinα,cosα,tanα的值。 【思路點撥】本題求α的三角函數值，依據三角函數的定義，可在角α的終邊上任意一點 P（4t,-

14、3t）(t ≠0)，求出 r，由定義得出結論。 【解析】∵角α的終邊在直線 3x+4y=0 上，∴在角α的終邊上任取一點 P（4t,-3t）(t≠0)，則 x=4t,y=-3t., r=  x  2 +y 2 = (4t ) 2 +( -3t ) 2  =5|t|, 當 t>0 時，r=5t,sinα=  y -3t = r 5t  3 x 4t 4 y -3t 3 =- , cos a = = = ， tan a = = =- 5 r 5t 5 x 4t 4  ； y -3t 3 當 t<0 時，r=-5t，sinα

15、= = = ， cos r -5t 5 x 4t 4 a = = =- ， tan r -5t 5 y -3t 3 a = = =- x 4t 4  。 綜上可知，sinα=  - 3 4 3 3 4 3 ， cos a = ， tan a =- ；或 sinα= , cos a =- , tan a =- 5 5 4 5 5 4  . 【總結升華】已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離， 然后用三角函數的定義來求相關問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的α值。若角α的終邊 落在某條直線

16、上，一般要分類討論。 舉一反三： 【變式】 已知角q的終邊上的一點p（- 3，m） 且 sin q=  2 4  m, 求 cos q+tan q的值。 第 4 頁 共 21 頁 ì ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】由三角函數的定義得sin q= m 3+m  2 = 2 m 4 , 所以 m =0,或m = ± 5 . 當m =0時，cosq+tanq= -1 ； 當m = 5時，cos q+tanq=-  6 15 - ； 4 3

17、 當m =- 5時，cos  q+tanq=- 6 15 + 4 3  . 類型二、同角三角函數基本關系 【例 3】已知 α 是三角形的內角，且 sinα+cosα=  1 5  .（1）求 tanα的值；（2）把  cos  2 1 a-sin  2  a  用 tan α表示出來，并求其值。 【思路點撥】（1）由 sinα+cosα= 1 及 sin2α+cos2α=1,可求 sinα, cosα的值； 5 （2）sin2α+cos2α=1，分子、分母同除以 cos2α即

18、可。 ?sin 【解析】（1）方法一：聯立方程 í  a+cos  a =  1 5 sin 2 a+cos 2 a =1 整理得  25sin 2 a-5sin a-12 =0 ∵α是三角形內角， ì 4 sin a = ? 5 ∴ í 3 cos a =- ?? 5  ∴tanα=  -  4 3 方法二：∵sinα+cosα=  1 5  ，∴(sinα+cosα)2=( 1 )2 5 即  1 +2sin acos a = 

19、1 24 ，∴ 2sin acos a =- 25 25 ∴(sinα-cosα)2= 49 25 ∵  sin  acos  a =- 12 25  <0且0 0,cosα<0,∴sinα- cosα>0, ∴sinα- cosα= 7 5  , ì 1 ì 4 sin a+cos a = sin a = ? 5 ? 5 由 í 得 í 7 3 sin a-cos a = cos a =- ?? 5 ?? 5 第 5 頁 共 21 頁 弓 扇

20、D 扇 ∴tanα=  - 4 3 sin  2  a+cos  2  a （2）  cos  2 1 sin 2 = a-sin 2 a cos 2 a+cos 2 a-sin 2 a = a cos  2 cos 2 a a-sin  2 tan 2 a+1 = a 1 -tan 2 a cos 2 a ∵tanα=  -  4 3 ∴  cos  2  1 tan 2 a+1 = a-sin 2 a

21、 1 -tan 2 a  = 4 ( - ) 2 +1 3 4 1 -( - ) 2 3  25 =- . 7 【總結升華】（1）對于 sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個式子，已知其中一個式子的值，其 余二式的值可求。轉化的公式為(sinα±cosα)2=1±2 sinαcosα;（2）關于 sinα，cosα的齊次式， 往往化為關于 tanx 的式子。 【例 4】已知一扇形的圓心角是α，所在圓半徑是 R。 （1） 若α=600，R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。 （2） 若扇形的周長是一定值

22、 C（C>0），當α是多少弧度時，該扇形有最大面積？ 【思路點撥】（1）利用弧長、面積公式求解；（2）把扇形面積用α表示出來，或用弧長表示出來，然后求 出函數的最值。 【解析】（1）設弧長為 l ，弓形面積為 S ， 弓 a =60  0  =  p 3  , R =10, 10 p(cm), \ l = 3 1 10 1 S =S -S = ′ p′10 - ′10 2 3 2 p 3 )( cm2 ). =50( - 3 2  2  ′sin 60  0  , （2）方法一：∵扇

23、形周長 C=2R+ 1 1 C 2 S = a×R2 = a( ) 2 2 2 +a  l  =2R+φR,∴R= C 2 +a = C 2 1 C 2 a× = × 2 4 +4a+a2 2 1 4 +4a+ C 2 ￡ 4 16 a  . ∴當且僅當  a =  4 a  ，即α=2（α=-2 舍去）時，扇形面積有最大值  C 2 16  。 第 6 頁 共 21 頁 max 方法二：由已知 2R+ l =C, C -l \ R = (l

24、 S = 1 1 C -l 1 Rl = × ×l = (Cl -l 2 2 2 4  2  ) 1 C C 2 =- (l - ) 2 + 4 2 16 ∴當  l -  C C 2 時， S = ， 2 16 C 此時 l a = = R 2 C -  C 2  =2. 2 C 2 ∴當α=2 弧度時，扇形面積有最大值 。 16 【總結升華】合理選擇變量，把扇形面積表示出來，體現了函數的思想，針對不同的函數類型，采用不同 的方法求最值，這是解決問題的關鍵。

25、 舉一反三： 【變式】若  cos  a+2sin  a =- 5,  則  tan  a  =( ) （A）  1 1 （B）2 （C） - 2 2  （D）  -2 【解析】由  cos a+2sin a =- 5  可得：由  cos a =- 5 -2sin a  ， 又由  sin  2  a+cos  2  a =1 ，可得： sin 2 a ＋（ - 5 -2sin  a  ）2＝1 2 5 5 a

26、sin ， cos a =- 5 -2sin a＝－ 可得 ＝－ ， 5 5 sin a a tan 所以， ＝ ＝2。 cos a 【總結升華】 對于給出正弦與余弦的關系式的試題，要能想到隱含條件：  sin  2  a+cos  2  a =1  ，與它聯系 成方程組，解方程組來求解。 第 7 頁 共 21 頁 2 類型三、誘導公式 【例 5】化簡：  sin( k p-a)cos[( k -1)p-a] sin[( k +1)p+a]cos( k p+a)  (

27、k ?Z ) 【思路點撥】化簡時注意觀察題設中的角出現了 k p ，需討論 k 是奇數還是偶數。 【解析】當  k =2 n ( n ?Z )  時， 原式 =  sin(2 np-a)cos[(2 n -1)p-a] sin( -a)cos( -p-a) = sin[(2 n +1)p+a]cos(2 np-a) sin(p+a)cos a = -sin a( -cos a) -sin a cos a  =-1 當  k =2 n +1(n ?Z )  時 原式 =  sin[(2

28、n +1)p-a]cos[(2 n +1 -1)p-a] sin(p-a)cos a = sin[(2 n +1 +1)p+a]cos[(2 n +1)p+a] sin a cos(p+a) = sin a cos a sin a ( -cos a)  =-1 綜上，原式=-1 【總結升華】誘導公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”， “變”與“不變”是相對于對偶關系的函數而言的，sinα與 cosα對偶，“奇”、“偶”是對誘導公式中  k ? p 2  + α的整數 k 來講的，

29、象限指  k ? p p +α中，將α看作銳角時， k ? 2 2  +α所在象限，如將 cos( 3p 2  +α)寫成 p 3p 3p cos（ 3 ? +α），因為 3 是奇數，則“cos”變?yōu)閷ε己瘮捣枴皊in”，又 +α看作第四象限角，cos( + 2 2 2 3p α)為“+”，所以有 cos( +α)=sinα。 2 例 6.（2015 宜賓縣模擬） ABC 中，角 A 為銳角，且 +cos A． （1）求 f（A）的最大值； （2）若 ，求△ABC 的三個內角和 AC 邊的長． 【思路點撥】（1）先利用誘導

30、公式化簡 f（A），根據 A 為銳角，確定 f（A）的最大值． （2）利用 f（A）=1 求出 A、B、C 三個角，再用正弦定理求出 AC 邊的長. 【解析】（I） 由已知得 f（A） = ∴  取值最大值，其最大值為 第 8 頁 共 21 頁 ? （II）由 f（A）=1 得 sin（2A+  ）= 在△ABC 中，由正弦定理得： 【總結升華】三角恒等變換與解三角形的綜合問題，是近幾年高考的熱點問題.此類型題目要先化簡，再求 值。另外要特別注意角的取值范圍問題. 舉一反三： 【變式】（2015 春 湛江期末）

31、若 cosα= ，α 是第四象限角，求 的值． 【解析】∵α 是第四象限角，cosα= ， ∴sinα=﹣  =﹣  =﹣ ， ∴tanα=﹣ 則原式= = =﹣tanα =  ， ． 類型四、三角函數的圖象和性質 【例 7】求下列函數的定義域： （1）求 y=lg(sinx-cosx)的定義域； （2）求函數  y =lg(2sin x -1) + 1 -2cos x  的定義域。 【思路點撥】（1）第（1）小題實際就是求使 sinx>cosx 的 x 的集合，可用圖象或

32、三角函數線解決；（2） ì2sin x -1 >0 第（2）小題實際就是求使 í 1 -2cos x 30  成立的 x 的值，可用圖象或三角函數線解決。 【解析】（1）要使函數有意義，必須使 sinx-cosx>0 方法一：利用圖象。在同一坐標系中畫出 [0 ，2 π] 上 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示： 第 9 頁 共 21 頁 ? ? ? ? ? ? ÷ 1 1 ? ? ? ? 在[0，2π]內，滿足 sinx=cosx 的 x 為 p 5p ， ，再

33、結合正弦、余弦函數的周期是 2π，所以定義域 4 4 為  {x | p 4  +2 k 5p pcosx, 即 MN>OM，則 p 4  0

34、,將 x- 視為一個整體，由正弦函數 4 4 y=sinx 的圖象和性質可知 2k π < x- p p 5p < π +2k π , 解得 2k π + 0 （2）要使函數有意義，必須有 í 1 -2cos x 30  ì 1 ìp sin x > ? 2 ?6 ，即 í ，解得 í 1 p cos x ￡ ?? 2 ??3  +2 k +2 k  5

35、 p

36、反三 【變式 1】求函數的定義域： （1） y =  2 +log x + tan x ； （2） y = 2  p tan( x - ) sin x 4 lg(2 cos x -1)  . 【答案】 ì2+log x 30 ì0

37、 ) [p, 4] . 第 10 頁 共 21 頁 ? ? sin x 30 ? ÷ ì p p x - 1k p+ 4 2 ? （2）要使得函數有意義，需滿足 í ? ? ?? 2cos x -1 >0 2cos x -1 11 解得  2k  p

38、 -2 x ), x ?[ -p,  p]  的單調遞減區(qū)間； （2）求  y =3tan( p x - ) 6 4  的周期及單調區(qū)間。 【思路點撥】題目所給解析式中 x 的系數都為負，把 x 的系數變?yōu)檎龜担庀鄳坏仁角髥握{區(qū)間。 【解析】（1）由  y =sin( p p -2 x ), 得 y =-sin(2 x - ) 3 3  ， 由  - p 2  +2 k p￡2 x - p p ￡ +2 k p 3 2 得  - p 5p +k p￡x ￡

39、 12 12  +k  p, k ?Z , 又 x∈[-π,π],∴-π≤x≤  - 7 p 5p 11 p, - ￡x ￡ , - p￡x ￡p 12 12 12 12  . ∴函數  y =sin( p 3  -2 x ),  x∈[-π,π]的單調遞減區(qū)間為 [-π，  - 7 p 5 11 p]，[ - ， p]，[ p ，π]。 12 12 12 12 （2）函數  y =3tan(  p x - ) 6 4  的周期 T=  p 1 - 4

40、 =4p  。 由  y =3tan(  p x x p - ) 得 y =-3tan( - ), 6 4 4 6 由  - p x p p 4 8 +kp< - < +k p得 - p+4kp

41、確記憶三角函數的單調區(qū)間是求復合三角函數單調區(qū)間的基礎； （2 ）形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數的單調區(qū)間，基本思路是把ω x+φ看作一個整體，由 - p 2  +2 k  p￡wx+f￡ p 2  +2 k  p(k ?Z )  求得函數的增區(qū)間，由 p 2  +2 k  p￡wx+f￡ 3p 2  +2 k  p(k ?Z )  求得 函數的減區(qū)間。 第 11 頁 共 21 頁 （3 ）形如 y=Asin(-ωx+ φ)(A>0, ω>0)

42、的函數，可先利用誘導公式把 x 的系數變?yōu)檎龜?，得? y=-Asin( ω x- φ ) ， 由 -  p 2  +2 k  p￡wx-f￡  p 2  +2 k  p(k ?Z )  得 到 函 數 的 減 區(qū) 間 ， 由 p 2  +2 k  p￡wx-f￡ 3p 2  +2 k  p(k ?Z )  得到函數的增區(qū)間。 【例 9】已知函數  y =sin 2 x + 3 cos 2 x （1）用五點法作出它的圖象； （2）指出這個函數的振幅、周期、頻率、初相

43、和單調區(qū)間； （3）說明該函數的圖象可由 【解析】  y =sin x  的圖象經過怎樣的變換而得到？ （1）  1 y =2( sin 2 x + 2  3 p p p cos 2 x) =2(sin 2 x ×cos +cos 2 x ×sin ) =2sin(2 x + ) 2 3 3 3  . 列表描點繪圖如下: 3p 2 x + p 3  0 p 2 p 2  2  p x  -  p 6  p 12  p 3  7p

44、12  5 6  p y 0  2  0  -2  0 （2）如圖可知，此函數的振幅是2，周期為 p ，頻率為  1 p ，初相為 . p 3 單調增區(qū)間為 單調減區(qū)間為  [kp- [kp+ 5p p , kp+ ] 12 12 p 7 , kp+ p] 12 12  k?Z ， k?Z. 第 12 頁 共 21 頁 π 3 橫 坐標擴大為原來的2倍 π 3 1 縱 坐標擴大到原來的3倍 π 6 1 y = sin x

45、 a = - ,0 6 （3）  y =sin x  圖象向左平移 個單位 ???????????? 縱坐標不變  p y =sin( x + ) 3 橫坐標縮短為原來的0.5倍 ???????????? ?? 縱坐標不變  p y =sin(2 x + ) 3 縱坐標擴大到原來的2倍 ??????????? ?? 橫坐標不變 【總結升華】 p y =2sin(2 x + ) 3 ①五點法作  y =A sin(wx +j)( A >0 ,  w >0  )的簡圖時，五點取法是設 

46、t =wx +j，由 t 取 0、  p 2  、 p  、 3p 2  、  2p  來求相應的  x  值及對應的  y  值，再描點作圖； ②由  y =sin x  的圖象變換出  y =A sin(wx +j)  的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出 現，無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母 “角變化”多少；  x  而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是 ③此處的難點是函數圖象的平移，可以選擇畫出圖象后觀察；也可以直接

47、由函數式子利用特殊位置點 （如：首點、波峰、波谷等）的坐標判定，但其前提是兩個函數的名稱以及x 的系數是相同的. 舉一反三： 【變式 1】由  y =sin( x + p 3  )  的圖象得到  y =cos x  的圖象需要向  平移  個單位. 【答案】左， p 6  ； 【解析】∵  y =cos x =sin( x + p 2  )  ， ∴由  y =sin( x + p p p ) 的圖象得到 y =cos x =sin( x + ) 的圖

48、象需要向左平移 個單位. 3 2 6 【變式 2】試述如何由  y = 1 p sin(2 x + ) 3 3  的圖象得到  y =sin x  的圖象. 【解析】 方法一：  y =  1 p 1 p sin(2 x + ) ??????????? ?? y = sin( x + ) 3 3 縱坐標不變 3 3 圖象向右平移 個單位 ???????????? 縱坐標不變  y = sin x ?????????????y =sin x 3 橫坐標不變  . 方法二：  1 p 1

49、 圖象向右平移 個單位 y = sin(2 x + ) y = sin 2 x ???????????? 3 3 3 縱坐標不變 橫坐標擴大為原來的2倍 縱坐標擴大到原來的3倍 ??????????? ?? ????????????? 縱坐標不變 3 橫坐標不變  y =sin x  . 【變式 3】將函數  y =sin  wx (w >0)  的圖象按向量 ? p ? ? ÷ è ?  平移，平移后的圖象如圖所示，則平 第 13 頁 共 21 頁 max 移后的圖象所對應函數的解析式是（ ）

50、 A．  y =sin( x +  p p p p ) B． y =sin( x - ) C． y =sin(2 x + ) D． y =sin(2 x - 6 6 3 3  ) 【答案】C；把點  (  7p 12  , -1)  代入選項即得。 【例 10】求下列函數的值域. （1）  y =  3 sin x +cos x x ?[0,  p]  ；（2）  y = 2 -cos x 3 +sin x  ；（3）  y =sin x +cos x +2sin x

51、cos x 【思路點撥】 三角式確定的函數求解值域 .一般可從兩個途徑入手 .一是將三角式化為一個三角函數的形 式，從而利用三角函數性質求解值域，二是將三角式化為相同形，通過換元轉化為代數函數求解值域. 【解析】 (1)  p y = 3 sin x +cos x =2sin( x + ) 6  ， ∵  x ?[0, p]  ， ∴ p p 7 x + ?[ , p] 6 6 6  . 由正弦函數圖象可知： 當  x + p p p p 7 = 即 x = 時， y =2 ；當 x + = p

52、 6 2 3 6 6  即  x =p  時，  y =-1 min  . 所以函數值域為  [-1,2]  . (2) 由  y =  2 -cos x 3 +sin x  去分母得：  3 y +y sin x =2 -cos x  , 移項整理  y sin x +cos x =2 -3 y  ， 由輔助角公式得：  y 2 +1sin( x +q) =2 -3 y （ cos q=  y  y 2  +1  ,sin q=

53、  1 y 2  +1  ） ∴  sin( x +q)=  2 -3 y y 2 +1  , ∵  -1 ￡sin( x +q)￡1  , ∴  |  2 -3 y y 2 +1  |￡1  , 即  | 2 -3 y |￡  y 2 +1  . 平方整理得:  8 y  2  -12 y +3 ￡0  , 解出：  3 - 3 3 + 3 ￡y ￡ 4 4  ， 第 14 頁 共 21 頁 2 2 2

54、 2 max 所以函數值域為  [  3 - 3 3 + 3 , ] 4 4  . （3）由  (sin x +cos x)  2  =1 +2sin x cos x 得 2sin x cos x =(sin x +cos x )  2  -1 ∴  y =sin x +cos x +2sin x cos x =(sin x +cos x) 2 +(sin x +cos x) -1 令  t =sin x +cos x =  p 2 sin( x + ) ，則 t ?[ - 2,

55、2] 4 ∴  y =t  2 1 5 +t -1 =(t + ) 2 - 2 4  ,  t ?[ - 2, 2] 當  t =- 1 2  時，  y =- min 5 4  ， 當  t = 2  時，  y = 2 +1 max  . 所以函數值域為  [- 5 4  , 2 +1]  . 舉一反三 的  a  x 【變式 1】設關于 的函數 a y 的值，并對此時的 值求  y =2cos

56、 x -2a cos x -(2 a +1) 的最大值。  的最小值為  f (a )  ，試確定滿足  f ( a) = 1 2 【答案】令 則  cos x =t ， t ?[ -1,1]， a a 2 y =2t -2 at -(2 a +1) =（2t - ) -( +2 a +1) 2 2  ， 開口向上，對稱軸  t =  a 2  ， 當 a 2  <-1，即 a <-2時，函數 y 在 t ?[ -1,1]  上遞增，  y =1 1 min

57、1 2  ； 當 a 2  >1  ，即  a >2  時，函數  y  在  t ?[ -1,1]  上遞減，  y =-4a +1 = min 1 1 ，得 a = 2 8  與  a >2  矛盾； 當  a -1￡ ￡1 2  ，即  -2 ￡a ￡2  時，  a 2 y =-( +2 a +1) = min  1 2  ，解得  a =-1  或  a =-3  （舍）， ∴  a

58、 =-1，此時 y =-4a +1 =5  . 【變式 2】已知函數  f ( x ) =a cos 2 x +2 3a sin x cos x +2 a +b  的定義域為  [0,  p 2  ]  ，值域為  [-1,5]  ， 求常數 a 、 b 的值． 【答案】  f ( x) =a cos 2x + 3a sin 2 x +2 a +b =2 a sin(2 x +  p 6  ) +2 a +b ∵  x ?[0, p 2  ] ， ∴ 2 x +

59、p p 7p ?[ , ] 6 6 6 （1）若 a =0  ，不符合題意. 第 15 頁 共 21 頁 p p = 2 ( ) ( ) ( ) p p p 7p （2）若 a >0 ，有 2 x + = 時， 4a +b =5 ； 2 x + = 6 2 6 6  時 a +b =-1，∴ a =2 ， b =-3  . （3）若  a <0  ，有 p p p 7p 2x + = 時， 4a +b =-1； 2 x + = 6 2 6 6  時  a +b =

60、5  ，∴  a =-2  ，  b =7  . 故 a =2  ， b =-3  或 a =-2  ， b =7  . 類型五、函數 y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質的綜合應用 【例 11】已知函數 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的圖象與 x 軸的交點中，相鄰兩個 2 2p 交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為 M( ,-2). 3 2 (1)求 f(x)的解析式； (2)當 x∈［ p p , ］時，求 f(x)

61、的值域. 12 2 p T p 【思路點撥】由與 x 軸的交點中相鄰兩交點的距離為 可得 ，從而得 T=π，即可得ω.由圖象最 2 2 低點得 A 及 的值，從而得函數 f(x)的解析式，進而得 f(x)的值域. 2p p 【解析】(1)由最低點為 M( ,-2),得 A=2.由 x 軸上相鄰兩個交點之間的距離為 ,得 3 2  T p = 2 2  ,即 T=π, ∴ω= 2p 2p = T p 2p 2p 4p =2.由點 M( ,-2)在圖象上得 2sin(2× +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3

62、 故 4p p 11p +j=2kp- k ?Z , \j=2kp- k ?Z . 3 2 6 p p p 又j?(0, ),\j= , 故f x =2sin(2x + ). 2 6 6 （2） p p p p 7p x ?［ , ］,\2x + ?［ , ］. 12 2 6 3 6 p p p 當 2x+ = ,即 x= 時，f(x)取得最大值 2; 6 2 6 p 7p p 當 2x+ = ,即 x= 時,f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域為［-1,2］. 6 6 2 【總結升華】確定  y =A sin(wx

63、+j)  +b 的解析式的步驟： （1）求 A，b 確定函數的最大值 M 和最小值 m，則 A=  M -m M +m ，b= 。 2 2 （2）求ω，確定函數的周期 T，則  w = 2p T  ； （3）求 j ，常用方法有： ⅰ、代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時，A、ω、b 已知）或代入圖象與直線 y=b 的交點求解。 （此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）； 第 16 頁 共 21 頁 ? ? ÷ ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ 向 左平移 個單位

64、 橫 坐標縮短到原來的 倍 ⅱ、五點法：確定j值時，往往以尋找“五點法”中的第一零點（- j w  ，0）作為突破口。具體如下： 第一點（即圖象上升時與 x 軸的交點）為  wx +f=0  ；第二點（即圖象的“峰點”）為  wx +f= p 2  ； 第三點（即圖象下降時與 x 軸的交點）為  wx +f=p  ；第四點（即圖象的“谷點”）為  wx +f= 3 2  p  ；第 五點為  wx +f=2p 舉一反三： 【變式 1】把函數  y =sin

65、x ( x ?R )  p 的圖象上所有的點向左平行移動 個單位長度，再把所得圖象上所有 3 點的橫坐標縮短到原來的 1 2  倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（ ） A．  y =sin 2 x - è  p? 3 ?  ，x ?R  B．  y =sin  ?x p? + ，x ?R è2 6 ? C．  y =sin 2 x + è  p? 3 ?  ，x ?R  D．  y =sin 2 x + è  2p? 3 ?  ，x ?R

66、 【解析】 y=  sin x  p ????3???  p y =sin( x + ) 3  1 ???????2 ?  p y =sin(2 x + ) 3  ，故選（C）。 【變式 2】在同一平面直角坐標系中，函數  y =cos( x 3p 1 + )( x ?[0，2p]) 的圖象和直線 y = 2 2 2  的交點個數 是( ) （A）0  （B）1  （C）2  （D）4 【解析】原函數可化為： x 3p x y =cos( + )( x ?[0，2p]) = sin , x ?[0, 2p]. 2 2 2  作出原函數圖像， 截取  x ?[0,2  p  ] 1 部分，其與直線 y = 的交點個數是 2 個 2 【例 12】已知函數  f ( x) =sin 2 ( p 3 +x ) - 4 2  cos 2 x （1）求函數 f ( x )  的最