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第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu) 【知識(shí)概要】 一、集合的概念、關(guān)系與運(yùn)算 1. 集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性. 在應(yīng)用集合的概念求解集合問(wèn)題時(shí)，要特別注意這三個(gè)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，元素的互異性往往就是檢驗(yàn)的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列舉法、描述法. 有的集合還可用Venn圖表示，用專用符號(hào)表示，如等。 3. 元素與集合的關(guān)系：我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，若元素是集合A的元素，則，否則。 4. 集合與集合之間的關(guān)系： ì 1 ①子集：若，則，此時(shí)稱集合A是集合B的子集，記作。 ②真子集：若，且存在元素，且，則稱A是B的真子集，記作：A B. ③相等：若，且，則稱集合A與B相等，記作A＝B.。 5. 集合的基本運(yùn)算： ①交集： ②并集： ③補(bǔ)集：，其中為全集，。 6. 集合運(yùn)算中常用結(jié)論： ①，。 ②，。 ③，， ，。 ④由個(gè)元素所組成的集合，其子集個(gè)數(shù)為個(gè)。 互為 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 若p，則q 若q，則p 互逆 逆否 互為 互 否 互 否 互逆 逆否 ⑤空集是任何集合的子集，即。在解題中要特別留意空集的特殊性，它往往就是導(dǎo)致我們?cè)诮忸}中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)對(duì)象，避免因忽視空集而出現(xiàn)錯(cuò)誤。 ●7.含參數(shù)的集合問(wèn)題是本部分的一個(gè)重要題型，應(yīng)多根據(jù)集合元素的互異性挖掘題目的隱含條件，并注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用。 二、命題及其關(guān)系 ●1．命題的概念：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。 ●2．四種命題的相互關(guān)系： ●3. “若則”是真命題，即；“若則”是假命題，則。 ●4. 在判斷命題真假的問(wèn)題中，一方面可以直接寫出命題進(jìn)行判斷，也可以通過(guò)命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷，即原命題與逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)。 ●5. 充分必要條件的判斷是本部分的一個(gè)重要題型，在解題中應(yīng)注意： （1）注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式，我們知道，①是的充分不必要條件是指且；②的必要不充分條件是是指且。這兩種說(shuō)法是在充分必要條件推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆的說(shuō)法，在解題中一定要注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式，弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。 （2）要善于舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。 （3）恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)化，由原命題與逆否命題等價(jià)可知：若是的充分不必要條件，則是的必要不充分條件；若是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件。 ●6. 證明是的充要條件 （1）充分性：把當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出； （2）必要性：把當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出。 三、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 ●1．含有“且（）”“或()”“非（）”命題的真假性： 真、真 真 真 假 真、假 假 真 假 假、真 假 真 真 假、假 假 假 真 ●2．全稱量詞與存在量詞：命題中的“對(duì)所有”、“任意一個(gè)”等短語(yǔ)叫做全稱量詞，用符號(hào)“”表示，“存在”、“至少有一個(gè)”等短語(yǔ)叫做存在量詞，用符號(hào)“”表示。 含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，全稱命題：“對(duì)中任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。 含有存在量詞的命題叫做特稱命題，特稱命題：“存在中任意一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為。 ●3．全稱命題與特稱命題的關(guān)系： P 的否定 全稱命題： 特稱命題： 特稱命題： 全稱命題： 第二章 函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu) 一..函數(shù)的概念及其表示 （1）函數(shù)的概念 ①設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作． ②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則． ③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)． （2）區(qū)間的概念及表示法 ①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做． 注意：對(duì)于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須 ． （3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： ①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)． ②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)． ③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合． ④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1． ⑤中，． ⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零． ⑦若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集． ⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出． ⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論． ⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義． （4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法： ①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值． ②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值． ③判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值． ⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題． ⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值． ⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值． ⑧函數(shù)的單調(diào)性法 （5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種． 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． （6）映射的概念 ①設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作． ②給定一個(gè)集合到集合的映射，且．如果元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象． 二．函數(shù)的基本性質(zhì) 1.單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì)，是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。 ⑴函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間．如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的______兩個(gè)值，，當(dāng)<時(shí)，都有_____，那么在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)_____區(qū)間. 如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的______兩個(gè)值，，當(dāng)<時(shí)，都有_____，那么在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，稱為的單調(diào)_____區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上具有________. 點(diǎn)評(píng) 單調(diào)性的等價(jià)定義： ①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，有 ； ②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，有 ； ⑵函數(shù)單調(diào)性的判定方法 ①定義法；②圖像法；③復(fù)合函數(shù)法；④導(dǎo)數(shù)法；⑤特值法（用于小題），⑥結(jié)論法等. 注意： ①定義法（取值——作差——變形——定號(hào)——結(jié)論）：設(shè)且，那么在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)。 ②導(dǎo)數(shù)法（選修）：在區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有（），則在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)；反之，在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)，且處處可導(dǎo)，則（）。請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。 點(diǎn)評(píng) 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號(hào)；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。 提醒 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，不忘定義域；多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“”連接；單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，可舉反例。 ⑶與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論 ①若與同增（減），則＋為增（減）函數(shù)，為增函數(shù)； ②若增，為減，則－為增函數(shù)，－為減函數(shù)，為減函數(shù)； ③若函數(shù)在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值，則與在相同的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反； ④函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間； ⑤函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，函數(shù)與函數(shù)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。 2.奇偶性 函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，還是關(guān)于軸成軸對(duì)稱，是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)； ⑴函數(shù)奇偶性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于_____的，都有_____，那么函數(shù)是偶函數(shù). 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于_____的，都有_____，那么函數(shù)是奇函數(shù). 如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù)具有________. 注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，確定函數(shù)奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 ⑵圖象特征 函數(shù)為奇（偶）函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）成中心（軸）對(duì)稱圖形。 注意 定義域含的偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)；定義域含的奇函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn)；利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問(wèn)題。 點(diǎn)評(píng) ①函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件. ②是奇函數(shù). ③是偶函數(shù). ④奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則. ⑤在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)： （?。┢婧瘮?shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性； （ⅱ）奇函數(shù)有相反的最值（極值），偶函數(shù)有相同的最值（極值）。 ⑥是偶函數(shù). ⑶奇偶性的判定方法 若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后，再判斷其奇偶性. 如判斷函數(shù)的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下：①定義（等價(jià)定義）法；②圖像法；③結(jié)論法等. 點(diǎn)評(píng) 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱，再求，接著考察與的關(guān)系，最后得結(jié)論.判斷函數(shù)不具有奇偶性時(shí)，可用反例。 ⑷與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論 ①若與同奇（偶），則±為奇（偶）函數(shù)，和為偶函數(shù)，為奇（偶）函數(shù)； ②若與一奇一偶，則和為奇函數(shù)，為偶函數(shù)； ③定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。 ⑸函數(shù)按奇偶性分類 ①奇函數(shù)非偶函數(shù)，②偶函數(shù)非奇函數(shù)，③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，④非奇非偶函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可。如函數(shù)＝ 。 3.周期性 函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律； ⑴函數(shù)周期性的定義 一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)________的常數(shù)，使得定義域內(nèi)的________ 值，都滿足，那么函數(shù)稱為周期函數(shù)，________常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù)的所有的周期中存在一個(gè)________的____數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)的最小周期正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。 點(diǎn)評(píng) ①非零常數(shù)是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì)，與自變量的取值無(wú)關(guān)；②若非零常數(shù)是函數(shù)的周期，則非零常數(shù)的非零整數(shù)倍（，且也是函數(shù)的周期；③若函數(shù)的周期為，則函數(shù)（其中，，為常數(shù)，且，）的周期為；④定義中的等式是恒等式；⑤函數(shù)的周期是。 ⑵三角函數(shù)的周期 ① ；② ；③； ④ ；⑤； ⑶函數(shù)周期的判定 ①定義法（試值） ②圖像法 ③公式法（利用（2）中結(jié)論）④結(jié)論法。 ⑷與周期有關(guān)的一些結(jié)論 ①或 的周期為； ②是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱的周期為； ③奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱的周期為； ④關(guān)于點(diǎn),對(duì)稱的周期為； ⑤的圖象關(guān)于直線,對(duì)稱函數(shù)的周期為； ⑥的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，直線軸對(duì)稱周期為4； ⑦對(duì)時(shí),或的周期為； ⑧函數(shù)滿足，且為非零常數(shù)的周期為4； ⑨函數(shù)滿足（為非零常數(shù)）的周期6。 點(diǎn)評(píng) 注意對(duì)稱性與周期性的關(guān)系。 4.對(duì)稱性 函數(shù)的對(duì)稱性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形或關(guān)于某一條直線成軸對(duì)稱圖形）； ⑴函數(shù)對(duì)稱性的定義 如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線成____對(duì)稱或點(diǎn)成______對(duì)稱，那么具有對(duì)稱性。 注意 利用函數(shù)的對(duì)稱性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問(wèn)題。 ⑵函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明 證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上； ⑶與對(duì)稱性性有關(guān)的一些結(jié)論 ①函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱。特別地，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)。 ②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。特別地，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。 點(diǎn)評(píng) 函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱性的特殊情況。 ③若對(duì)時(shí),恒成立,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱； ④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱。 5.有界性 函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況，重點(diǎn)是通過(guò)研究函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ涤颍﹣?lái)研究有界性問(wèn)題。 ⑴函數(shù)最大（?。┲档亩x 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖冢沟脤?duì)于____的，都有____，那么稱為的最大值，記為__________；如果存在，使得對(duì)于____的，都有____，那么稱為的最小值，記為__________. 注意 ①函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值；②函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模畲螅ㄐ。┲挡煌跇O大（?。┲?。 ⑵值域與最值 注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系，理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問(wèn)題。 ⑶與函數(shù)最值有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 ①若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則，； ②若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則，； ③若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則； ④若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則。 ⑷恒成立問(wèn)題的處理方法 恒成立問(wèn)題的處理方法：⑴分離參數(shù)法(最值法)； ⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題。如：①方程有解(為的值域)；②不等式恒成立 ,不等式恒成立。 6.極值 函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問(wèn)題角度有所不同。 ⑴極值的定義 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果的值比附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（?。瑒t稱是函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲怠O大值和極小值統(tǒng)稱為極值。取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的取值，極值是指函數(shù)值。 ⑵極值的求法 ①圖像法；②導(dǎo)數(shù)法。 7.零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn) 7.1函數(shù)的零點(diǎn) ⑴定義 一般地，我們把使函數(shù)的值為_____的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn). 點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)的零點(diǎn)，就是它的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系，可以解決很多函數(shù)與方程的問(wèn)題。這就是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容——函數(shù)與方程的思想運(yùn)用。 ⑵函數(shù)零點(diǎn)的存在性 一般地，若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且 ﹤______，則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，此時(shí)實(shí)數(shù)為函數(shù)的零點(diǎn). 點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線，且﹤0，則有惟一的實(shí)數(shù)，使得。 7.2不動(dòng)點(diǎn) 方程的根叫做函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，也是函數(shù)的零點(diǎn)。 7.3函數(shù)、方程與不等式三者之間的關(guān)系 一般地，不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合；不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸下方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合； 點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，可求不等式或的解集；利用函數(shù)圖象并結(jié)合相應(yīng)方程的解，可求不等式或的解集等； 7．4基本方法 求函數(shù)零點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)的方法 ⑴直接法（通過(guò)解方程（組））；⑵圖像法；⑶二分法。 點(diǎn)評(píng) 注意函數(shù)上述幾大性質(zhì)相互之間的聯(lián)系。 三．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1.指數(shù)函數(shù) （1）根式的概念 ①叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)． ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，． ③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ． （2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 ①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0． ②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)． （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ① ② ③ （4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 0 1 0 1 函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 定義域 值域 （0,+∞） 過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn)（0,1），即當(dāng)x=0時(shí)，y=1． 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 變化對(duì) 圖象的影 響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，越大圖象越低，越靠近x軸． 在第一象限內(nèi)，越小圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，越小圖象越低，越靠近x軸． 2.對(duì)數(shù)函數(shù) （1）對(duì)數(shù)的定義 ①若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)． ②對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：． （2）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即（其中…）． （3）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式:　　 ，，． （4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么 ①加法： ②減法： ③數(shù)乘： ④ ⑤ ⑥換底公式： （5）對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，． 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 變化對(duì) 圖象的影響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一象限內(nèi)，越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6) 反函數(shù)的求法 ①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出； ③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域． （7）反函數(shù)的性質(zhì) ①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱． 即，若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上． ②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域． 3.冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的圖象(需要知道x=12,1,2,3與y=1x的圖像) （2）冪函數(shù)的性質(zhì) ①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象． ②過(guò)定點(diǎn)：圖象都通過(guò)點(diǎn)． 4.二次函數(shù) （1）二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式： ②頂點(diǎn)式： ③兩根式： （2）求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式． ②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式． ③若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便． （3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì) ①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。 ②在二次函數(shù)中 當(dāng)時(shí)，圖象與軸有 個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng) 時(shí)，圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng) 時(shí)，圖象與軸有沒(méi)有交點(diǎn)． ③當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，f(x)min= ； 當(dāng) 時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，f(x)max= ． （4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布． 設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：①開口方向： ②對(duì)稱軸位置： ③判別式： ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結(jié)論可直接由⑤推出．