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1、2012年河南省普通高等學(xué)校 選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試 高等數(shù)學(xué) 題 號 一 二 三 四 五 總 分 分 值 60 20 50 12 8 150 一、選擇題（每小題2分，共60分） 在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號． 1．函數(shù)的定義域是 A． B． C． D． 解：.選C. 2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 A． B． C． D． 解：A、D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)。選B. 3．當(dāng)時，下列無窮小量中與等價的是 A．

2、B． C． D． 解：時，.選D. 4．設(shè)函數(shù)，則是的 A．連續(xù)點(diǎn) B．可去間斷點(diǎn) C．跳躍間斷點(diǎn) D．第二類間斷點(diǎn) 解：處沒有定義，顯然是間斷點(diǎn)；又時的極限不存在，故是第二類間斷點(diǎn)。選D. 5．函數(shù)在點(diǎn)處 A．極限不存在 B．間斷 C．連續(xù)但不可導(dǎo) D．連續(xù)且可導(dǎo) 解：函數(shù)的定義域為，，顯然是連續(xù)的；又，因此在該點(diǎn)處不可導(dǎo)。選C. 6．設(shè)函數(shù)，其中在處連續(xù)且，則 A．不存在 B．等于 C．存在且等于0 D．存在且等于 解：易知，且， .故不存在。選A. 7．若函數(shù)可導(dǎo)，，則 A． B． C． D． 解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：.選B. 8．曲線有水平漸

3、近線的充分條件是 A． B． C． D． 解：根據(jù)水平漸近線的求法可知：當(dāng)時，，即時的一條水平漸近線，選B. 9．設(shè)函數(shù)，則 A． B． C． D． 解：對兩邊同時求微分有：，所以 .選D. 10．曲線在點(diǎn)處的切線斜率是 A． B． C． D． 解：易知，， ，故.選B. 11．方程（其中為任意實數(shù)）在區(qū)間內(nèi)實根最多有 A．個 B．個 C．個 D．個 解：令，則有，即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，故最多只有一個實根。選D. 12．若連續(xù)，則下列等式正確的是 A． B． C． D． 解：B、C的等式右邊缺少常數(shù)C，D選項是求微分的，等式右邊缺少dx.選A.

4、13．如果的一個原函數(shù)為，則 A． B． C． D． 解：的一個原函數(shù)為，那么所有的原函數(shù)就是 .所以.選C. 14．設(shè)，且，則 A． B． C． D． 解：因為，所以，又，故..選B. 15． A． B． C． D． 解：本題是變下限積分的題。利用公式可知 .選B. 16． A． B． C． D． 解： .選C. 17．下列廣義積分收斂的是 A． B． C． D． 解：A選項中，故發(fā)散； B選項中根據(jù)結(jié)論，當(dāng)時發(fā)散，本題中，故發(fā)散； C選項中根據(jù)結(jié)論，當(dāng)時發(fā)散，本題中，故發(fā)散； D選項中，故收斂。選D. 18．微分方程是 A．二階非線

5、性微分方程 B．二階線性微分方程 C．一階非線性微分方程 D．一階線性微分方程 解：最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)，并且不是線性的。選A. 19．微分方程的通解為 A． B． C． D． 解：這是可分離變量的方程。有，兩邊同時積分有 ，即.選B. 20．在空間直角坐標(biāo)系中，若向量與軸和軸正向的夾角分別為和，則向量與軸正向的夾角為 A． B． C． D．或 解：對空間的任意一個向量有，現(xiàn)有，從而解得，所以為或.選D. 21．直線與平面的位置關(guān)系是 A．直線在平面內(nèi) B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 解：直線的方向向量為，平面的法向量為，且，直線上的點(diǎn)不在平面內(nèi)，所以故該直線

6、和平面平行。選B. 22．下列方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是 A． B． C． D． 解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)，有兩個平方項的系數(shù)相同，故選C. 23． A． B． C． D． 解：.選B. 24．函數(shù)在點(diǎn)處可微是在該點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)和存在的 A．充分條件 B．必要條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件 解：可微可以退出偏導(dǎo)數(shù)存在，但是僅有偏導(dǎo)數(shù)存在退不出可微，故是充分而非必要條件。選A. 25．已知，則 A． B． C． D． 解：.選C. 26．冪級數(shù)的和函數(shù)為 A． B． C． D． 解：由，可知.選B. 27．下列級數(shù)發(fā)散

7、的是 A． B． C． D． 解：A選項中一般項趨于，故發(fā)散； B、C選項是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故收斂；D選項根據(jù)結(jié)論中時收斂，本題中，故收斂。選A. 28．若級數(shù)在點(diǎn)處條件收斂，則在，，，，中使該級數(shù)收斂的點(diǎn)有 A．個 B．個 C．個 D．個 解：該級數(shù)的中心點(diǎn)是2，又在點(diǎn)處條件收斂，所以可以確定收斂區(qū)間為.故在，處收斂。選C. 29．若是曲線上從點(diǎn)到的一條連續(xù)曲線段，則曲線積分的值為 A． B． C． D． 解：，，且有，因此該積分與積分路徑無關(guān)。令該積分沿直線上點(diǎn)到積分，可有.選C. 30．設(shè)，則交換積分次序后，可化為 A． B． C． D． 解：積

8、分區(qū)域可寫為： ，在圖象中表示為 1 2 1 x y 由此可知，積分區(qū)域還可表示為.因此積分可表示為.選A. 二、填空題（每小題2分，共20分） 31．已知，則 ． 解：，，因此. 32．設(shè)函數(shù)，則 ． 解：，. 33．如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且為的極小值，則 ． 解：因為極值點(diǎn)是或者不存在的點(diǎn)，現(xiàn)已知函數(shù)在點(diǎn)處 可導(dǎo)，所以. 34．曲線的拐點(diǎn)是 ． 解：，.令，可得，此時； 并且當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此拐點(diǎn)為. 35．不定積分 ． 解： 36．微分方程滿足的特解為 ． 解：原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為，可

9、解得.用常數(shù) 變易法，可求得非齊次線性微分方程的通解為.將代入有.所以對應(yīng)的特解為. 37．向量在上的投影為 ． 解：，，， 故向量在向量上的投影. 38．設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為，則 ． 解：令.則有，所以 .由于時，.代入可知. 39．設(shè)積分區(qū)域為：，則 ． 解：，而積分區(qū)域表示的是以為圓心，2為半徑的圓，所以 ，即. 40．若（），則正項級數(shù)的斂散性為 ． 解：，由比較判別法的極限形式可知，級數(shù)和 有相同的斂散性，故正項級數(shù)是發(fā)散的。 三、計算題（每小題5分，共50分） 41．求極限． 解：原式 ． 42．已知參數(shù)方程（為參數(shù)

10、），求． 解：因為 所以 ． 43．求不定積分． 解：令，則，且 于是 原式 ． 44．求． 解：原式． 45．求微分方程的通解． 解：原方程的特征方程為 特征方程的根為 所以原方程的通解為 ． 46．求函數(shù)的極值． 解：由解得駐點(diǎn) 又 對于駐點(diǎn)，因為 所以，于是點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)． 對于駐點(diǎn)有 于是 所以函數(shù)在點(diǎn)處取極大值為． 47．求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程． 解：因為所求直線平行于直線

11、 所以所求直線的方向向量為 由直線的點(diǎn)向式方程可得，所求的直線方程為 ． 48．求函數(shù)的全微分． 解：由于 所以 ． 49．計算，其中為圓環(huán)：． 解：在極坐標(biāo)系下，區(qū)域（如第49題圖所示）可以表示為 所以 ． 50．求冪級數(shù)的收斂域． 解：因為 所以原級數(shù)的收斂半徑為 也就是，當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂． 當(dāng)時，原級數(shù)為是交錯級數(shù)且滿足，，所以它是收斂的； 當(dāng)時，原級數(shù)為，這是一個的級數(shù)，所以它是發(fā)散的； 所以，原級數(shù)的收斂域為． 四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分） 51．求函數(shù)在時的最大值，并從數(shù)

12、列，，，，，，中選出最大的一項（已知）． 解：因為 令，解得唯一駐點(diǎn)． 又因為在區(qū)間內(nèi)，嚴(yán)格單調(diào)增加；在區(qū)間內(nèi)，嚴(yán)格單調(diào)減少；而又在區(qū)間連續(xù)，所以在處取最大值． 已知，由上知于是數(shù)列的第三項是此數(shù)列中最大的一項． 52．過點(diǎn)作曲線的切線，該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形．試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解：設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)（如第52題圖所示）， 第52題圖 由于 則切線方程為 因為切線經(jīng)過點(diǎn)， 所以將代入上式得切點(diǎn)坐標(biāo)為 從而切線方程為 因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 ． 五、證明題（8分） 53．證明不等式：，其中為正整數(shù)． 證明：設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件， 于是，至少存在一點(diǎn)，使得 又因為，故，從而有 所以 ． 15