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第6節(jié)　電勢差與電場強度的關系 【知識要點】 要點一 公式U＝Ed的適用范圍和電場強度表達式的對比 公式U＝Ed雖然是由勻強電場導出來的，但該結論具有普遍意義，盡管該公式一般只適用于勻強電場的計算，但對其他非勻強電場亦可用于定性判斷．下表是電場強度的三個公式對比： 公式 區(qū)別 物理含義 引入過程 適用 范圍 E＝ 是電場強度大小的定義式 F∝q，E與F、q無關，反映的是電場的性質 任何電場 E＝k 是真空中點電荷場強的決定式 由E＝和庫侖定律導出 點電荷形 成的電場 E＝ 是勻強電場中場強的決定式 由F＝qE和W＝qU導出 勻強電場 要點二 公式E＝U/d的理解和如何把公式應用到非勻強電場中 1．公式E＝反映了勻強電場中電場強度與電勢差之間的關系，由公式可知，電場強度的方向就是電場中電勢降低最快的方向． 2．公式中d可理解為電場中兩等勢面之間的距離，由此可得出一個結論：在勻強電場中，兩長度相等且相互平行的線段的端點間的電勢差相等． 3．對于非勻強電場，用公式E＝可以定性分析某些問題．例如E越大處，等差等勢面距離d越?。虼丝梢詳喽ǎ葎菝嬖矫艿牡胤诫妶鰪姸纫苍酱螅? 4．E＝適用于勻強電場的計算，但對于某些非勻強電場問題，有時也可以進行定性地分析. 【問題探究】 1.電場強度、電勢和電勢差的區(qū)別與聯系是什么？ 描述電場的物 理量及意義 電場強度E 電勢φ 電勢差UAB 電場的力 的性質 電場的能 的性質 電場中兩點間對電荷做功的本領 對電場中的 電荷的描述 靜電力F 電勢能Ep 靜電力做功W 相互關系 F＝qE Ep＝qφ W＝qUAB W＝－ΔEp，U＝Ed 由表中可以看出，電場強度是描述電場的力的性質的物理量，可以理解為已知電場強度，就可以知道任意電荷在該點的受力情況；同理，已知φ時，可得任意電荷在該點的電勢能；已知UAB時，可得到在AB間移動任意電荷時靜電力所做的功． 2．電場線是直線的電場有哪些常見情況？ (1)點電荷電場(如圖1－6－3所示) 圖1－6－3 (2)等量異種電荷連線(如圖1－6－4所示) 圖1－6－4 (3)勻強電場(如圖1－6－5所示) 圖1－6－5 可見，一條電場線是直線，不一定是勻強電場． 只有在勻強電場中可以直接應用U＝Ed，在非勻強電場中只能對有關問題進行定性分析. 【例題分析】 一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系 【例1】 圖1－6－6所示是勻強電場中的一組等勢面，若A、B、C、D相鄰兩點間距離都是2 cm，則該電場的場強為________ V/m，到A點距離為1.5 cm的P點電勢為________ V. 圖1－6－6 答案　?。?.5 解析　因為電場是勻強電場，所以可用E＝求解，但必須明確d是指A、B兩點在電場線方向上的距離，且各單位必須用國際單位制中的單位． 所以E＝＝＝ V/m＝ V/m UBP＝Esin 60°＝×0.005× V＝2.5 V φP＝－2.5 V 二、非勻強電場中的電場線 【例2】 (1)如圖1－6－7是一非勻強電場，某一電場線上A、B、C三點＝，比較UAB和UBC的大?。? 圖1－6－7 (2)如圖1－6－8所示，在同一幅等差等勢面圖中，為什么等勢面越密的地方場強越大？ 圖1－6－8 答案　(1)UAB>UBC　(2)見解析 解析　(1)由電場線分布可知，AB段的任一點的場強都大于BC段任一點的場強，故AB段場強的平均值E1大于BC段場強的平均值E2，又UAB＝E1·；UBC＝E2·，故UAB>UBC. (2)在同一幅等差等勢面圖中，我們往往把每個相鄰等勢面間的電勢差取一個定值，如果相鄰等勢面的間距越小(等勢面越密)，那么場強E＝U/d就越大. 【對點練習】 1.下列公式適用于任何電場的是(　　) A．W＝qU　　B．U＝Ed　　C．E＝　　D．E＝k 2．如圖1－6－9所示是一個勻強電場的等勢面， 圖1－6－9 每兩個相鄰等勢面相距2 cm，由此可以確定電場強度的方向和數值是(　　) A．豎直向下，E＝100 V/m B．水平向左，E＝100 V/m C．水平向左，E＝200 V/m D．水平向右，E＝200 V/m 3．如圖1－6－10中 圖1－6－10 a、b、c是一條電場線上三個點，電場線的方向由a到c，a、b間的距離等于b、c間的距離，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分別表示a、b、c三點的電勢和電場強度，可以斷定(　　) A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec 4．如圖1－6－11所示 圖1－6－11 的勻強電場中有a、b、c三點，＝5 cm，＝12 cm，其中ab沿電場方向，bc和電場方向成60°角．一個電荷量為q＝4×10－8 C的正電荷從a移到b，靜電力做功為W1＝1.2×10－7 J．求： (1)勻強電場的場強． (2)電荷從b移到c，靜電力做的功． (3)a、c兩點間的電勢差． 【常見題型】 題型一 利用勻強電場中電場線和等勢面的關系求解問題 勻強電場中有a、b、c三點，在以它們?yōu)轫旤c的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°.電場方向與三角形所在平面平行．已知a、b和c點的電勢分別為(2－) V、(2＋) V和2 V．該三角形的外接圓上最低電勢、最高電勢分別為(　　) A．(2－) V、(2＋ ) V　　　　　B．0 V、4 V C．(2－) V、(2＋) V D．0 V、 V [思維步步高] 作出三點位置關系圖象．在勻強電場中電場線和等勢面的分布情況是什么樣的？直角三角形內各個邊之間的數值關系是什么？如何找出等勢線從而找出電場線？ [解析]　如右圖所示， 根據勻強電場的電場線與等勢面都是平行等間距排列，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢均勻降落，取ab的中點O，即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為2 V，故Oc為等勢面，MN為電場線，方向為MN方向，，UON∶UOP=2∶，故UON=2 V，N點電勢為零，為最低電勢點，同理M點電勢為4 V，為最高電勢點． [答案]　B [拓展探究]如圖1所示， 圖1 在地面上方有一個勻強電場，在該電場中取點O作為圓心，以R＝10 cm為半徑，在豎直平面內做一個圓，圓平面平行于勻強電場的電場線，在O點固定一個電荷量為Q＝－5×10－4 C的電荷．當把一個質量為m＝3 g，電荷量為q＝2×10－10 C帶電小球放在圓周上的a點時，它恰好能靜止不動，那么勻強電場的電場線跟Oa線夾角為________．若將帶電小球從a點緩慢移到圓周上最高點b，外力做功W＝________ J. [答案]　arctan　9×10－3 [解析]　分析帶電粒子的受力，粒子受到自身的重力，方向豎直向下，圓心處電荷的吸引力和勻強電場的靜電力，三個力處于平衡狀態(tài)，根據三力平衡之間的關系求出相應的角度，在移動電荷的過程中，圓心處電荷對電荷不做功，有靜電力做功和重力做功． [方法點撥] 確定電場線可以用等勢面，根據是電場線和等勢面垂直；同樣，判斷等勢面也可以用電場線，理由相同，這是高考在電場知識的考查的主要方向之一. 題型二 公式E＝的理解 勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點， 圖2 AB的長度為1 m，D為AB的中點，如圖2所示．已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14 V、6 V和2 V．設場強大小為E，一電荷量為1×10－6 C的正電荷從D點移到C點靜電力所做的功為W，則(　　) A．W＝8×10－6 J，E>8 V/m B．W＝6×10－6 J，E>6 V/m C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m [思維步步高] D點電勢跟A、B兩點間的電勢有什么關系？怎樣根據這個關系求出D點的電勢？從D移動到C靜電力做功和什么因素有關？怎樣求解靜電力做的功？電場線的方向怎樣確定？AB方向是不是電場線方向？ [解析]　電場是勻強電場，所以AB中點處D點的電勢是AB間電勢的中間值，為10 V，DC間的電勢差為8 V，靜電力做功W＝qUDC＝8×10－6 J；由圖及各點電勢可知，電場線不平行于AB，根據E＝，其中d為沿著電場線方向的距離，所以電場強度E>＝8 V/m. [答案]　A [拓展探究]a、b、c、d是勻強電場中的四個點， 圖3 它們正好是一個矩形的四個頂點．電場線與矩形所在的平面平行．已知a點的電勢是20 V，b點的電勢是24 V，d點的電勢是4 V．如圖3所示，由此可知，c點的電勢為(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V [答案]　B [解析]　勻強電場中，ab之間的電勢差等于dc之間的電勢差，可知c點電勢為8 V. [方法點撥] 在勻強電場中，電勢差和電場強度存在E＝，但要注意的是d不是兩點之間的距離，而是兩點所處等勢面的距離，或者說是兩點沿著電場線方向的距離. 【課后作業(yè)】 一、選擇題 1．下列說法正確的是(　　) A．勻強電場中各處場強相等，電勢也相等 B．等勢體各點電勢相等，場強也相等 C．沿電場線方向電勢一定越來越低 D．電勢降低的方向就是電場線的方向 2．下列關于勻強電場中場強和電勢差的關系，正確的說法是( 　) A．在相同距離上的兩點，電勢差大的其場強也必定大 B．場強在數值上等于每單位距離上的電勢降落 C．沿著電場線方向，任何相同距離上的電勢降落必定相等 D．電勢降低的方向必定是電場強度的方向 3．下圖中，A、B、C是勻強電場中的三個點，各點電勢φA＝10 V、φB＝2 V、φC＝6 V，A、B、C三點在同一平面上，下列各圖中電場強度的方向表示正確的是(　　) 4．如圖4所示，勻強電場場強E＝100 V/m，A、B兩點相距10 cm，A、B連線與電場線夾角為60°，則UBA之值為(　　) 圖4 A．－10 V　　　B．10 V　　　C．－5 V　　　D．－5 V 5．如圖5所示， 圖5 A、B、C三點都在勻強電場中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一個電荷量q＝10－5 C的正電荷從A移到B，靜電力做功為零；從B移到C，靜電力做功為－1.73×10－3 J，則該勻強電場的場強大小和方向為(　　) A．865 V/m，垂直AC向左 B．865 V/m，垂直AC向右 C．1 000 V/m，垂直AB斜向上 D．1 000 V/m，垂直AB斜向下 6．如圖6所示， 圖6 在沿著x軸正方向的勻強電場E中，有一動點A以O點為圓心、以r為半徑逆時針轉動，θ為OA與x軸正方向之間的夾角，則O、A兩點之間的電勢差為(　　) A．UOA＝Er B．UOA＝Ersin θ C．UOA＝Ercos θ D．UOA＝ 7．如圖7所示， 圖7 在電場強度E＝2×103 V/m的勻強電場中有三點A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且MA邊平行于電場線，把一電荷量q＝2×10－9 C的正電荷從B移動到M點，再從M點移動到A點，靜電力做功為(　　) A．0.16×10－6 J B．0.12×10－6 J C．－0.16×10－6 J D．－0.12×10－6 J 二、計算論述題 8．如圖8所示， 圖8 MN板間勻強電場E＝2.4×104 N/C，方向豎直向上．電場中A、B兩點相距10 cm，AB連線與電場方向夾角θ＝60°，A點和M板相距2 cm. (1)此時UBA等于多少？ (2)一點電荷Q＝5×10－8 C，它在A、B兩點電勢能之差為多少？若M板接地，A點電勢是多少？B點電勢是多少？ 9. 圖9 在一個勻強電場中有A、B、C三點，AB長為5 cm，AC長為3 cm，BC長為4 cm，如圖9所示．電場強度方向平行于紙面，電子在靜電力作用下由C運動到A，動能減少120 eV，質子在靜電力作用下由C運動至B，動能增加120 eV，求該勻強電場的大小和方向． 10．如圖10所示的電場， 圖10 等勢面是一簇互相平行的豎直平面，間隔均為d，各等勢面的電勢已在圖中標出．現有一質量為m的帶電小球以速度v0、方向與水平方向成45°角斜向上射入電場，要使小球做直線運動．問： (1)小球應帶何種電荷？電荷量是多少？ (2)在入射方向上小球最大位移是多少？(電場足夠大) 參考答案 【對點練習】 1.答案　AC 2.答案　B 解析　電場線和等勢面的關系是相互垂直的，所以電場線是水平方向的，又因為電勢隨著電場線方向逐漸降低，所以電場強度方向水平向左．根據E＝＝＝100 V/m. 3.答案　A 解析　一條電場線可以判斷電勢的高低，但是不能判斷場強的大?。驗橐粭l電場線無法確定疏密程度． 4.答案　(1)60 V/m　(2)1.44×10－7 J　(3)6.6 V 解析　(1)設a、b間距離為d，由題設條件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝＝ V/m＝60 V/m. (2)W2＝qE·cos 60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7 J (3)電荷從a移到c靜電力做功：W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝＝ V＝6.6 V 【課后作業(yè)】 一、選擇題 1.答案　C 2.答案　C 3.答案　D 4.答案　C 5.答案　D 解析　把電荷q從A移到B，靜電力不做功，說明A、B兩點在同一等勢面上，因該電場為勻強電場，等勢面應為平面，故圖中直線AB即為等勢線，場強方向應垂直于直線AB，可見，選項A、B不正確． UBC＝＝ V＝－173 V B點電勢比C點低173 V，因電場線指向電勢降低的方向，所以場強方向必垂直于AB斜向下，場強大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m 6.答案　C 解析　OA之間沿電場線方向的距離是d＝rcos θ，根據U＝Ed＝Ercos θ，選項C正確． 7.答案　C 二、計算題 8.答案　(1)－1 200 V　(2)6×10－5 J?。?80 V?。? 680 V 解析　(1)在勻強電場中等勢面與電場線垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA為負值．又因為在勻強電場中E＝，則UAB＝E·dAB.題目中已知AB連線與電場線夾角60°，則AB連線與等勢面夾角為30°，dAB＝xAB·sin 30°＝xAB＝5 cm＝0.05 m，UAB＝2.4×104×0.05 V＝1 200 V，則UBA＝－1 200 V. (2)正電荷在電勢高處電勢能大，電勢能差為：ΔEp＝EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8 C×1 200 V＝6×10－5 J．若M板接地，M板電勢為0，A點電勢比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝480 V，則φA＝－480 V，φB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V. 9.答案　5.0×103 V/m　場強方向垂直AB的直線斜向上 解析　電子由C運動到A，減少的動能轉化為電子的電勢能，因電子帶負電，則可知C點電勢高于A點，兩點間電勢差為120 V．質子由C點移到B點，減少的電勢能轉化為動能，則C點電勢高于B點，兩點間電勢差亦為120 V，由此可知A、B兩點位于同一等勢面上． 因為該電場為勻強電場，根據電場線與等勢面的關系可知，場強方向垂直AB的直線斜向上，如右圖所示，場強方向可用CD來表示．由已知條件得，所以場強大小為 V/m. 10.答案　(1)正電　　(2) 解析　(1)作電場線如下圖(a)所示，由題意，只有小球受到向左的靜電力，靜電力和重力的合力與初速度才可能在一條直線上．如圖(b)所示，只有當F合與v0在一條直線上才可能使小球做直線運動．所以小球帶正電，小球沿v0方向做勻減速運動．由圖(b)知qE＝mg.相鄰等勢面間的電勢差用U表示，所以E＝，所以q＝＝. (2)由圖(b)知 F合= = mg(因為qE=mg) 由動能定理合· = 所以 14 / 14