《【步步高】2014屆高三數學一輪 13.4 數學歸納法課時檢測 理 （含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【步步高】2014屆高三數學一輪 13.4 數學歸納法課時檢測 理 （含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 13.4 數學歸納法 一、選擇題 1．用數學歸納法證明命題“當n是正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是(　　)． A．假設n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋1命題成立 C．假設n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋2命題成立 解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇數，只有D中k為奇數，k＋2為奇數． 答案　D 2．用數學歸納法證明“2n＞n2＋1 對于n≥n0 的正整數 n 都成立”時，第一步證明中的起始值 n0 應取(　　)

2、 A．2 B．3 C．5 D．6 解析 分別令 n0＝2,3,5, 依次驗證即可． 答案 C 3．對于不等式

3、＝k＋1的推理不正確 解析　在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的假設，不是數學歸納法． 答案　D 4.利用數學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”時，在驗證n＝1成立時，左邊應該是(　　) A 1　　　　　　　 B 1＋a C 1＋a＋a2 D 1＋a＋a2＋a3 解析當n＝1時，左邊＝1＋a＋a2，故選C. 答案 C 5．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　)． A．k2＋1 B．(k＋

4、1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析　∵當n＝k時，左側＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時， 左側＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2， ∴當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 答案　D 6．下列代數式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 解析 (1)當k＝1時，顯然只有3(

5、2＋7k)能被9整除． (2)假設當k＝n(n∈N*)時，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除， 那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 這就是說，k＝n＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知，命題對任何k∈N*都成立． 答案 D 7．用數學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(　　)． A. B．－ C.－ D.＋ 解析　∵當n＝k時，左側＝1－＋－＋…＋－，當n＝k＋1時， 左側＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案　C

6、 二、填空題 8．對大于或等于2的自然數 m的n 次方冪有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11, 43＝13＋15＋17＋19. 根據上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的數是21，則m＋n的值為________． 解析 依題意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15. 答案 15 9.用數學歸納法證明： ＋＋…＋＝；當推證當n＝k＋1等式也成立時，用上歸納假設后

7、需要證明的等式是　　　　　. 解析 當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋ 故只需證明＋ ＝即可. 答案 ＋＝ 10．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數共有n(n∈N*)行，在這些數中非1的數字之和是________________． 1 1　　1 1　　2　　1 1　　3　　3　　1 1　　4　　6　　4　　1 … 解析　所有數字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， 除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n. 答案　2n－2n 11．在數列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是________

8、． 解析　當n＝2時，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝； 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝15a3， 即a3＝(a1＋a2)＝； 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4， 即a4＝(a1＋a2＋a3)＝. ∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝， 故猜想an＝. 答案　an＝ 12．用數學歸納法證明“當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，當第二步假設n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真． 解析 ∵n為正奇數，假設n＝2k－1成立后，需證明的應為n＝2k＋1時成立． 答案 2k＋1 三、解答題 13．用數學歸納法證明下

9、面的等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 證明 (1)當n＝1時，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0·＝1， ∴原等式成立． (2)假設n＝k(k∈N*，k≥1)時，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2 ＝(－1)k－1. 那么，當n＝k＋1時，則有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， ∴n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)得對任意n∈N*有 12－22＋32－

10、42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 14．已知數列{an}中，a1＝a(a＞2)，對一切n∈N*，an＞0，an＋1＝. 求證：an＞2且an＋1＜an. 證明　法一　∵an＋1＝＞0， ∴an＞1， ∴an－2＝－2＝≥0， ∴an≥2.若存在ak＝2，則ak－1＝2， 由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2， 與a1＝a＞2矛盾，故an＞2. ∵an＋1－an＝＜0， ∴an＋1＜an. 法二　(用數學歸納法證明an＞2) ①當n＝1時，a1＝a＞2，故命題an＞2成立； ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立， 即ak＞2，那么，ak＋1－2＝

11、－2＝＞0. 所以ak＋1＞2，即n＝k＋1時命題也成立． 綜上所述，命題an＞2對一切正整數成立． an＋1＜an的證明同上． 15．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－. (1)設c＝，bn＝，求數列{bn}的通項公式； (2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范圍． 解析　(1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2， 即bn＋1＝4bn＋2. bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1， 所以是首項為－，公比為4的等比數列， bn＋＝－×4n－1，bn＝－－. (2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2. 用數學歸納法證明：當c＞2時，an

12、＜an＋1. (ⅰ)當n＝1時，a2＝c－＞a1，命題成立； (ⅱ)設當n＝k(k≥1且k∈N*)時，ak＜ak＋1， 則當n＝k＋1時， ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1. 故由(ⅰ)(ⅱ)知當c＞2時，an＜an＋1. 當c＞2時，因為c＝an＋1＋＞an＋， 所以a－can＋1＜0有解， 所以＜an＜，令α＝， 當2＜c≤時，an＜α≤3. 當c＞時，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(α－an)＜(α－an)＜(α－an－1)＜…(α－1)． 當n＞log3時，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，與已知矛盾． 因此c＞不符合要求． 所以c的取值范圍是.

13、 16．是否存在常數a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由． 解析　假設存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立． 當n＝1時，a(b＋c)＝1； 當n＝2時，2a(4b＋c)＝6； 當n＝3時，3a(9b＋c)＝19. 解方程組 解得 證明如下： ①當n＝1時，由以上知存在常數a，b，c使等式成立． ②假設n＝k(k∈N*)時等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)； 當n＝k＋1時， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12 ＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 ＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 ＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)(2k2＋4k＋3) ＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]． 即n＝k＋1時，等式成立． 因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對一切n∈N*都成立． 7