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1、第2章 單自由度系統(tǒng)的振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.4 阻尼理論,第2章 單自由度系統(tǒng)的振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,第2章 單自由度系統(tǒng)的振動, 構成離散模型的元素,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動, 彈性元件彈簧,最典型的彈性元件，假定無質量 線性彈簧: x2-x1 較小時，F(xiàn)sk(x2-x1) k:彈簧常數(shù)或彈簧剛度，單位（N/m）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,如無特別說明，本課程所說的阻尼均指粘性阻尼 阻尼力 粘性阻尼系數(shù)：比例系數(shù) c ，單位（N-s/m） 阻尼器通常

2、用c 表示。 線性模型,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動, 慣性元件,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,離散系統(tǒng)的質量元件， 慣性力 質量m：比例系數(shù)，單位（kg）。,, 彈性元件的組合,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,系統(tǒng)以固有頻率n 作簡諧振動，稱為簡諧振蕩器 相位角：位移從初始值達到最大值的時間。 無能量損耗，運動會持續(xù)下去（保守系統(tǒng)）,響應曲線,例2-1 半徑為R的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動，試推導此殼體在小幅運動下的運動微分方程，并證明此殼體的運動象簡諧振子

3、，計算振子的自然振動頻率。,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,系統(tǒng)作簡諧振動,令,,那么,,采用瑞雷法時，假定振動形式越接近實際情況，結果越準確,（彈簧并聯(lián)）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,系統(tǒng)的通解,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,系統(tǒng)的通解 :,（2-22）,（2-19）,（2-21）, 系統(tǒng)的通解,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,z 的影響,, 過阻尼( 1),（2-22）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自

4、由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,指數(shù)衰減的響應。,有重根，s1=s2=n,（2-23）, 由表達式 =1時，, 臨界阻尼（ =1）,（2-20）,臨界粘性阻尼, 所以z c/ccr,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,,1, 臨界阻尼是1和1的分界點， =1時，系統(tǒng)的運動趨近于平衡位置的速度最大。, =1也是系統(tǒng)振動與非振動運動的臨界點。, =1,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,有阻尼自由振動頻率：,由于 :,（2-25）,,（2-24）, 弱阻尼（ 0 1）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,0 1 時的響應曲線,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振

5、動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,觀察（2-29）式的指數(shù)關系，可以引入對數(shù)衰減率:,（2-30）,要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測量兩任意相鄰周期的對應點 x1 和 x2 ，計算對數(shù)衰減率,（2-31）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,,對于微小阻尼情況,（2-32）,值得注意的是， 可以通過測量相隔任意周期的兩對應點的位移 ， 來確定。設 、 為 、 對應的時間， 為整數(shù)，則,（2-33）,（2-34）,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自

6、由振動,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,可見彈簧的質量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到,2.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動,第2章 單自由度系統(tǒng)的振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,系統(tǒng)對外部激勵的響應稱為強迫振動。,對于線性系統(tǒng)，根據疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于初始條件的響應和對于外部激勵的響應，然后再合成為系統(tǒng)的總響應。,自由振動依靠系統(tǒng)自身彈性恢復力維持。 強迫振動是由外部持續(xù)激勵引起的。 強迫振動從外界或得能量來補充阻尼的消耗，以維持等幅振動,,持續(xù)激振力,持續(xù)支承運動,（2-41）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,（2-42）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,

7、2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,等于激勵頻率,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,由（2-51）式，可見 的模 等于響應幅值和激勵幅值 的無量綱比，即,稱為幅值因子或振幅放大因子。,（2-53）,（2-52）,這表明復頻響應是彈簧力與實際的外激勵 的無量綱比。這里 中的 是由靜平衡位置算起的。,由（2-50）、（2-51）式,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,幅頻響應曲線,阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小， 阻尼使峰值相對于 w/wn=1 的位置左移。,對(2-53)求導，并令其等于零，得到幅值最大

8、點的,（2-54）,=0時,系統(tǒng)就是簡諧振子。,當驅動頻率=n時共振。,/n1，|H(w)|0。 z =c/2mwn=c/ccr,系統(tǒng)實際阻尼與臨界阻尼之比。 共振區(qū)附近阻尼作用顯著，遠離共振區(qū)，作用很小。,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,阻尼大，帶寬就寬；過共振點時振幅變化平緩，振幅較小。 阻尼小，帶寬就窄；過共振點時振幅變化陡，振幅較大。 Q反映了系統(tǒng)阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。 機械系統(tǒng)中，為平穩(wěn)通過共振，希望Q值小些（阻尼大些）。,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,對于簡諧振動，當n時，x。,（2-61）,2.2 單自由

9、度系統(tǒng)的強迫振動,無阻尼,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動, 考慮摩擦阻尼的SDOF自由振動,常見，非線性,fskx fdm mg （與運動方向相反）,,令,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,解：設初始位移足夠大，彈簧恢復力超過靜摩擦力，開始運動。,,1）x(0)=x0, v(0)=0. 運動從右向左。v < 0,求解,,是滿足速度為零（將變號）的最小時間,此時,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2) 若x(t1)足夠大，彈簧恢復力大于靜摩擦力，則從左向右運動,求解,初始條件,,平均響應-xD，（II）比（I）的幅值減小了2xD,（II）,t=t22p/wn，速度再次為零，（II）式成立的時間：t

10、1tt2,只要彈簧恢復力大于靜摩擦力，則上述過程不斷重復,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,運動模式 系統(tǒng)運動頻率為wn的簡諧運動定常分量（解的平均值） 每半個周期，解的平均值在-xD到xD之間交替變化 每半個周期，解的幅值減小2xD2m mg/k 對于摩擦阻尼，振幅衰減是線性的，而粘性阻尼，衰減是指數(shù)形式。 位移不足以產生足夠的恢復力時，運動停止 令n等于運動停止前的那半個周期，那么n是滿足下式的最小整數(shù)解： x0(2n-1)xD < (1+ms /m) xD ms：靜摩擦系數(shù),2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,例 有兩個帶有偏心的質量m/2反向旋轉，旋轉角速度為常數(shù)w，不平

11、衡質量的垂直位移為x+lsinwt，x由靜平衡算起。求x(t)。,解:系統(tǒng)的運動方程:,簡化為:,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,響應,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,相角由（2-38）式給出,響應幅值,無量綱比,激振力幅值可變，與轉速平方成正比 l1,Mx/ml1 振動振幅與初始條件無關 初始條件至影響瞬態(tài)響應,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動, 基礎激振,解:運動微分方程 :,基礎振動,簡化為:,設基礎作簡諧運動:,系統(tǒng)響應,基礎運動相當于系統(tǒng)上施加了兩個激振力 兩者相位不同,將 寫成,那么,振幅放大因子,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,,， X/A=1 l

12、sqrt(2), 振幅小于基礎運動振幅，阻尼大的系統(tǒng)振幅反而大 支承運動還可以用速度或加速度表達。,2.2.2 系統(tǒng)對周期激勵的響應,,在工程振動中，也遇到大量其他類型的非簡諧周期激勵。F(t)=F(t+kT), k=1,2,3..，可以寫成,（2-72）,（2-73）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,系統(tǒng)運動方程,a0是常力，只影響系統(tǒng)的靜平衡位置，只要坐標原點取在靜平衡位置，該項就不會出現(xiàn)。 系統(tǒng)響應分為：齊次解/瞬態(tài)解，非齊次解/穩(wěn)態(tài)解 穩(wěn)態(tài)響應,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,當某個pw0接近系統(tǒng)的自然頻率wn時，響應中此簡諧分量將占主導地位。 當pw0=wn時，發(fā)生共振，即周期激勵也

13、可激起系統(tǒng)共振。,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,若z較小，可近似看成無阻尼,例：某儀器質量500kg，用4個剛度為323.4N/cm的彈簧支撐，若地基運動為兩個垂直正弦波的合成，振幅均為1微米，頻率分別為f1=3Hz, f2=15Hz，設儀器允許的振動速度為v=0.05mm/s，求設備最大振動速度，是否滿足要求。,解,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,激勵為正弦波，響應也為正弦函數(shù),無阻尼,必須調整彈簧剛度，降低固有頻率，增加l1,l2, 減小,,2.2.3 非周期激勵的響應,在非周期激勵的情況下，響應將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。 求解系統(tǒng)在非周期激勵下瞬態(tài)響應的方法有多種 將激勵

14、描述成一系列脈沖，通過求各個脈沖的響應，然后疊加來求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是常見的方法之一。,單位脈沖函數(shù),當 時,（2-82）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,（2-86）,表示在 區(qū)間內系統(tǒng)速度的變化。 由于脈沖作用時間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即 。,（2-87）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,（2-92）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,（2-93）,初始條件靜止下的響應。 根據卷積的性質，可寫成另一種形式,（2-94）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,杜哈默積分,單位脈沖響應,（2-92）,2.2

15、單自由度系統(tǒng)的強迫振動, 階躍響應,單位階躍函數(shù),（2-95）,函數(shù)在t=a處不連續(xù)，在此點處，函數(shù)值由0變?yōu)? 。 如果不連續(xù)點在t=0 ，則單位階躍函數(shù)用u(t)表示。,單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關系,（2-96）,反過來有,（2-97）,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,杜哈默積分法是時域法求解一般激勵的響應。 Fourier變換法頻域法。,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動, Fourier變換法,周期激勵：將激振力用傅立葉級數(shù)展開，分別對各階諧波進行響應分析，然后線性疊加。 一般激勵：采用傅立葉變換，將一般激振力作付氏變換。,付氏正變換,時域頻域,付氏逆變換,頻域時域,,付氏變換對,

16、,,,頻譜圖是連續(xù)曲線,譜函數(shù),付氏變換的性質,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,基本公式,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,注,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,例：無阻尼單自由度系統(tǒng)在矩形沖擊載荷作用下振動，求響應及其頻譜圖。,激振力的付氏變換。,位移響應,,系統(tǒng)頻響函數(shù),位移響應的時間歷程,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,付氏逆變換,查表,零初始狀態(tài)下的時間響應,,位移響應的時間歷程,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,或,,t,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動, Laplace變換法頻域法。對于復雜激勵求解較方便。,拉氏變換,拉氏域/s域,重 要 性 質,2.2 單

17、自由度系統(tǒng)的強迫振動,常用公式,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,拉氏變換法求解一般激勵的響應。,對方程作拉氏變換。,拉氏域,令,,,逆變換,時域,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,,應用卷積公式,將函數(shù)化為標準形式后，查表得到逆變換,查表,杜哈默積分！,初始擾動的自由響應,零初始條件響應,,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,拉氏變換法可以得出受迫振動的全部解。,SDOF系統(tǒng)，,傳遞函數(shù)H(s)：在零初始條件下，位移響應（輸出）的拉氏變換與激振力（輸入）的拉氏變換之比：,傳遞函數(shù)與輸入、輸出無關，它完全由系統(tǒng)本身特性所決定。 傳遞函數(shù)完全描述了系統(tǒng)的動力學特性。 拉氏變換與時域分析關系：傳遞函數(shù)的

18、逆變換就是脈沖響應函數(shù)h(t),2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,例：無阻尼SDOF系統(tǒng)受到三角形沖擊載荷的響應。設初始條件為0。,解：,設,利用時移特性,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動, 初始狀態(tài)不是靜止,在激振力開始作用的t=0時刻，存在初始位移x0和初速度v0, 支承運動y引起的振動,,,相當于受到兩個力的激勵,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,設初始狀態(tài)靜止, 支承運動的加速度 已知,,,用相對位移處理將更為方便，令,,,已知,,,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫

19、振動,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,,和矩形脈沖響應相似，因此，重物最大相對位移。,鋼絲繩伸長與剎車時間成反比，如果t1很小，,2.2 單自由度系統(tǒng)的強迫振動,除這種情況外，最大伸長發(fā)生在,階段，若,緩慢剎車對于減小鋼絲繩張力非常重要。,第2章 單自由度系統(tǒng)的振動,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,,ha,與基礎振動下的幅頻響應曲線相同。 要隔振，必須有 。 當 時 ，阻尼增加，隔振效果反而不好。,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用,2.3 單自由度系統(tǒng)的工程應用

20、,2.4 阻尼理論,簡諧力一個周期做的功與激勵和響應的幅值、及其相位有關。,,2.4 阻尼理論,將力與位移用旋轉矢量表示 將力分解為兩部分： F1與位移同相 F2與速度同相，F(xiàn)2F0siny 只有與速度同相的分力才在一個周期內作功，與位移同相的分力不作功,2.4 阻尼理論,,2.4 阻尼理論,粘性阻尼力在一個周期內所消耗的能量,簡諧力，相位超前位移90o,阻尼力在一個周期做的功與幅值平方、振動頻率成正比。 旋轉矢量圖上，cBw=F2=F0siny,,阻尼力所作的功/消耗的能量激振力的功 共振時yp /2，激振力阻尼力 激振力所作功最大 阻尼作用: 強迫振動中，限制共振時振幅 遠離共振點，阻尼對

21、振幅的影響很小,2.4 阻尼理論,, 阻尼理論,如果系統(tǒng)中存在非粘性阻尼，可用一個等效粘性阻尼系數(shù)ce來近似計算 思路：一個周期內，非粘性阻尼消耗的能量等效粘性阻尼力消耗的能量,假設：系統(tǒng)采用ce后仍作簡諧運動,實際阻尼作的功,等效粘性阻尼做的功,1）等效粘性阻尼,,只要計算出實際阻尼作的功，即可求出等效粘性阻尼。,2.4 阻尼理論,, 例子,在受迫振動過程中，摩擦力是一個常力，方向與運動相反。 從平衡位置最大位移處（T/4），摩擦力的功FB 最大位移處平衡位置（T/4），摩擦力的功FB 重復上述過程一個周期內，摩擦力的功Wd4FB,* 干摩擦阻尼,,干摩擦的等效粘性阻尼與摩擦力成正比，頻率和

22、振幅成反比。,2.4 阻尼理論,, 例子,物體以較大速度在粘性較小的流體（包括空氣和液體）中運動時，阻力與速度平方成正比 ，方向與速度相反。,* 流體阻尼,,流體阻力的等效粘性阻尼與頻率和振幅成正比。,大量實驗表明 ：對于大多數(shù)金屬（鋼、鋁）結構，結構在一個周期內消耗的能量與振幅平方成正比，而且在很大頻率范圍內與頻率無關。,2.4 阻尼理論,, 例子,材料本身的內摩擦造成的阻尼。 材料力學應變-應力曲線。 線彈區(qū)，沒有殘余應變 滯回區(qū)面積一個循環(huán)消耗的能量 材料不是完全線彈性，加載-卸載會引起滯回，產生結構阻尼,* 結構阻尼,,運動方程,,2.4 阻尼理論,2.4 阻尼理論,第二章完,