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第二十八講等差數(shù)列,1,回歸課本,2,1.等差數(shù)列的定義及等差中項(xiàng) (1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.定義的表達(dá)式為an+1-an=d(n∈N*).,3,(2)對于正整數(shù)m、n、p、q,若m+n=p+q,則等差數(shù)列中am、an、ap、aq的關(guān)系為am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng),其中,4,2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d;前n項(xiàng)和公式為Sn= 或,5,3.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于自然數(shù)n的一次函數(shù)(d≠0).(n,an)是直線上的一群孤立的點(diǎn),an=an+b(a、b是常數(shù))是{an}成等差數(shù)列的充要條件. (2)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差為d.若其前n項(xiàng)之和可以寫成Sn=An2+Bn,則 當(dāng)d≠0時(shí)它表示二次函數(shù),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn是{an}成等差數(shù)列的充要條件.,6,(3)等差數(shù)列的增減性,d0時(shí)為遞增數(shù)列,且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值.,7,4.與等差數(shù)列有關(guān)的結(jié)論 (1)若數(shù)列{an}和{bn}是等差數(shù)列,則{man+kbn}仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). (2)等差數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列,且公差為k2d(d是原數(shù)列公差). (3)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an},有 S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項(xiàng)); S偶-S奇=nd;,8,(4)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1的等差數(shù)列{an},有 S2n-1=(2n-1)an(an為中間項(xiàng));S奇-S偶=an; S奇?S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和.,9,5.與等差數(shù)列有關(guān)的規(guī)律 (1)等差數(shù)列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),則am+n=0. (2)等差數(shù)列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),則Sm+n=-(m+n). (3)等差數(shù)列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),則Sm+n=0. (4)若{an}與{bn}均為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為Sn與S′n,則,10,6.等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.,11,考點(diǎn)陪練,12,1.設(shè){an}是等差數(shù)列,若a2=3,a7=13,則數(shù)列{an}前8項(xiàng)的和為( ) A.128 B.80 C.64 D.56,答案:C,13,2.(2010·山東煙臺高三診斷)在等差數(shù)列{an}中,若前5項(xiàng)和S5=20,則a3等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.∴a3=4. 答案:A,14,3.(2010·遼寧大連高三一模)在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9- a11的值為( ) A.14 B.15 C.16 D.17,答案:C,15,4.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),則a1000等于( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得該數(shù)列為1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,… 由此可得a1000=-1.,16,解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),兩式相加可得an+3=-an,an+6=an, ∴a1000=a166×6+4=a4=-a1=-1. 答案:D,17,答案:C,18,類型一 等差數(shù)列的判斷與證明 解題準(zhǔn)備:證明一個(gè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的基本方法有兩種: (1)利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(n∈N*); (2)利用等差中項(xiàng)證明,即證明an+2+an=2an+1(n∈N*). 注意:在選擇方法時(shí),要根據(jù)題目的特點(diǎn),如果能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,則可以利用定義法,否則,可以利用等差中項(xiàng)法.,19,【典例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q為常數(shù)). (1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列; (2)求證:對任意實(shí)數(shù)p和q,數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差數(shù)列,則2pn+p+q應(yīng)是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù),所以只有2p=0,即p=0. 故當(dāng)p=0時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.,20,(2)證明:∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p為一個(gè)常數(shù). ∴{an+1-an}是等差數(shù)列.,21,類型二 等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 解題準(zhǔn)備:①等差數(shù)列{an}中,a1和d是兩個(gè)基本量,用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,列方程組解a1和d,是解決等差數(shù)列問題的常用方法; ②由a1,d,n,an,Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量,需選用恰當(dāng)?shù)墓?利用方程組觀點(diǎn)求解.,22,【典例2】已知等差數(shù)列{an}中,a2=8,前10項(xiàng)和S10=185. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an; (2)若從數(shù)列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…項(xiàng),按原來的順序排成一個(gè)新的數(shù)列,試求新數(shù)列的前n項(xiàng)和An.,23,24,(2)∵An=a2+a4+a8+…+a2n =(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+…+(3×2n+2) =3×(2+4+8+…+2n)+2n =3× +2n=3×2n+1+2n-6. [反思感悟]先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后用通項(xiàng)公式表示出新數(shù)列中的各項(xiàng),再求和.,25,類型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成的是公差為k2d的等差數(shù)列,從中我們可以體會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷,應(yīng)注意運(yùn)用.,26,【典例3】在等差數(shù)列中,Sn表示{an}的前n項(xiàng)和, (1)a3+a17=10,求S19的值; (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求項(xiàng)數(shù)n; (3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.,27,28,(3)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差數(shù)列,又S4=1,S8-S4=3. ∴新的數(shù)列前5項(xiàng)分別為1,3,5,7,9. ∴S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.,29,類型四 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 解題準(zhǔn)備:求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題,主要有以下方法:①二次函數(shù)法:將Sn看作關(guān)于n的二次函數(shù),運(yùn)用配方法,借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合,使問題得解; ②通項(xiàng)公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值;,30,③不等式法:借助Sn最大時(shí),有 解此不 等式組確定n的范圍,進(jìn)而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn的最值).,31,【典例4】已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=10,S6=72. 若bn= an-30,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值. [分析]先判斷{an}是等差數(shù)列,求an,再求bn,由{bn}的通項(xiàng)研究數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最值.,32,[解]∵2an+1=an+an+2, ∴{an}是等差數(shù)列, 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公差為d, 由a3=10,S6=72,得,33,34,[反思感悟]除上面方法外,還可將{an}的前n項(xiàng)和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)問題,利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解.,35,錯(cuò)源一 忽略數(shù)列項(xiàng)數(shù) 【典例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=10n-n2(n∈N+),求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. [錯(cuò)解]當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=9; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=11-2n. 由于n=1時(shí),a1=9也滿足an=11-2n, 因此an=11-2n. 由11-2n0,得,36,即從第6項(xiàng)開始數(shù)列各項(xiàng)為負(fù),那么 Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52) =n2-10n+50. [剖析]錯(cuò)解中忽視了“項(xiàng)數(shù)”,默認(rèn)了n5,事實(shí)上,n完全可以小于或等于5.顯然,當(dāng)n≤5時(shí),結(jié)論就是錯(cuò)的.,37,[正解]對n進(jìn)行分類: (1)由上述可知an=11-2n. 當(dāng)n5時(shí),同上述錯(cuò)解,得Tn=n2-10n+50; (2)當(dāng)n≤5時(shí), Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=10n-n2.,38,39,錯(cuò)源二 忽略為零的項(xiàng) 【典例2】在等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求n取何值時(shí),Sn有最大值,并求出最大值.,40,41,[剖析]這是一個(gè)首項(xiàng)為正的遞減的等差數(shù)列,零是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)嗎?由于a1=10,d= ,得10+(13-1)× 也就是說零是這個(gè)數(shù)列的第13項(xiàng),于是答案就出錯(cuò)了.,42,[正解]由于a1=100,d= 即數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為正的遞減的等差數(shù)列,又由于a13=0,由上述解法可知,該數(shù)列的前12或13項(xiàng)的和最大,其值為65.,43,錯(cuò)源三 對數(shù)列的有關(guān)概念理解有誤 【典例3】已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.,44,[錯(cuò)解]因?yàn)閍n=n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù),且n≥1,所以 ≤1,解得λ≥-2. [剖析]數(shù)列是以正整數(shù)N+(或它的有限子集{1,2,…,})為定義域的函數(shù),因此它的圖象只是一些孤立的點(diǎn),滿足條件的此數(shù)列的點(diǎn)分布如圖.,45,[正解]解法一:由圖分析得, ,所以λ-3. 解法二:由{an}是遞增數(shù)列,得an-(2n+1). 而-(2n+1)≤-3,所以λ-3. [答案](-3,+∞),46,技法一 活用變式,出奇制勝 【典例1】已知等差數(shù)列{an}中,ap=q,aq=p(q≠p),求ap+q. [解題切入點(diǎn)]由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可得變式:①an=am+(n-m)d或② (n≠m),利用此變式可快速求解.,47,[解]解法一:由變式①得:q=p+(p-q)d, 所以d=-1. 所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. 解法二:由變式②得: 所以 所以ap+q=0.,48,解法三:因?yàn)閍n=a1+(n-1)d,所以點(diǎn)(n,an)在一條直線上.,49,不妨設(shè)pq時(shí),同理可得ap+q=0.,50,[方法與技巧]在解題時(shí),巧妙地利用等差數(shù)列的變式,常常能出奇制勝,達(dá)到簡捷明快的目的.,51,技法二 設(shè)而不求,化繁為簡 【典例2】在等差數(shù)列{an}中,Sm=Sn(m≠n),求Sm+n.,52,[方法與技巧]在解有關(guān)等差數(shù)列習(xí)題時(shí),設(shè)出其基本量a1,d,利用設(shè)而不求,整體代入能使題目避繁就簡.,53,