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對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是 記作。當(dāng)是奇數(shù)時，，當(dāng)是偶數(shù)時， 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1）； （2）；（3）． （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)椋? 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1． 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 定義域 定義域 值域 值域 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn) 注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出： （1）在上，(且）值域是或； （2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)； （3）對于指數(shù)函數(shù)，總有； 一、化解 ⑴（） (2). 二、比較大小 1、； 2 ；3 ； 4 ； 5 ； 6設(shè)，則的大小關(guān)系是， 三、解指數(shù)方程 1 方程的解是_________。 2 方程的根是 。 四、方程恒過定點(diǎn) 1已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 2已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 五、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題 1指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 2已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是 . 六、指數(shù)函數(shù)的圖像 1若則函數(shù)的圖象必不經(jīng)過（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知函數(shù)，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（ ） 七、指數(shù)函數(shù)中的值域問題 1函數(shù)的值域是_____． 2函數(shù)的值域是 (　　) 八、指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)問題 1若指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值的差是，則底數(shù) 2函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值為14，的值是 九、指數(shù)函數(shù)中的絕對值問題 1 指數(shù)函數(shù)，若有且只有兩實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍 2若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。 十、指數(shù)函數(shù)的綜合問題 1已知當(dāng)其值域?yàn)闀r，求的取值范圍。 2已知，求函數(shù)的最大值和最小值。 習(xí)題 1 等于 A.－ B.－ C. D. 2化簡的結(jié)果是(　　) 3 計算： -1 4 計算： 5 計算：÷ 6計算： ； 7計算： 8 計算：110 9 計算：= 10計算： 11計算： 12計算： 13化簡的結(jié)果為（ 4 ） 14計算： 15化簡： 16計算：＝__-45______。 17計算：； 18計算：的值是_______． 19化簡： －. 20若，則等于（ ） 21已知的值. 22已知的值. 23若，求的值．. 24指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則__ 25已知函數(shù)，若，則＝_____7_____. 26已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的關(guān)系為(　) 27若，則（ ） 28已知，則 29設(shè)函數(shù)則＝_____4_____. 30比較下列兩個值的大?。? （1）和 （2） 和 （3）和 31設(shè)，則（ ） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 32下列各式比較大小正確的是(　　)． A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 33已知函數(shù)若有則的取值范圍為 34若，求的取值范圍。 35設(shè)，則（ ＞＞ ） 36已知，則的大小關(guān)系為(　　) 37設(shè)，且，則等于(　　)． 38求函數(shù)y＝3的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．［1，＋∞． 39函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3，則 2 ． 40指數(shù)函數(shù)在中的最大值比最小值大，則的值為___ 41若函數(shù)(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m，且f(x)是偶函數(shù)，求m＋μ的值。1 42若指數(shù)函數(shù)的定義域和值域都是，則實(shí)數(shù)_______. 43函數(shù)（），恒過點(diǎn)___(2 010，2 011)_____． 44方程的解的個數(shù)為__1____． 45已知是定義在上的奇函數(shù)，則的值域?yàn)開_ 46求函數(shù)在上的值域． 47求函數(shù)的值域． 48求函數(shù)在x∈[－3,2]上的值域 49函數(shù)的值域是____． 50求函數(shù)的值域． 51求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 52函數(shù)的值域是(　　)為 53已知函數(shù) 求值域 54函數(shù)的值域是 55函數(shù)的值域?yàn)? 56設(shè)，求函數(shù)的最大值和最小值． 57求函數(shù)的值域。． 58 解方程 59方程的根是 。 60方程的解為_______. 61若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則有（ B ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 62方程的實(shí)數(shù)解為______. 63若函數(shù)（），滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是 　[2，＋∞) 64若存在負(fù)實(shí)數(shù)使得方程成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (　(2，＋∞) 　) 65已知實(shí)數(shù)滿足等式，下列五個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤.其中不可能成立的關(guān)系式有 (　B) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 66設(shè)函數(shù)若，則的值域?yàn)?　　) 67若關(guān)于的方程（）有兩個不等實(shí)根，則的取值范圍是(　　) 68關(guān)于的方程有負(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____． 69設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間為，求整數(shù)的值是1 70對于函數(shù)的這些性質(zhì)：（1）奇函數(shù)；(2)偶函數(shù)；（3）增函數(shù)；（4）減函數(shù)，函數(shù)具有的性質(zhì)是（ B ） A （1）（4） B （1）（3） C (2)（4） D （3） 71下列各式中正確的是（　D?。? 72設(shè)關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 73函數(shù)與具有不同的單調(diào)性，則與的大小關(guān)系是（ D ） A． ＜ B． ＝ C． ＞ D．不能確定 74若，則（ 2 ） 75下列說法中，正確的是（ B ） ①任取都有； ②當(dāng)時，任取都有；③是增函數(shù)； ④的最小值為1 ； ⑤在同一坐標(biāo)系中，＝與＝的圖象對稱于軸； A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤ 76不等式的解集是 ． 77不等式的解集為____ 78指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 79對于自然數(shù)和實(shí)數(shù)，若, 則與的大小關(guān)系為 79若函數(shù) 則不等式的解集為____________ 80若函數(shù)的圖象存在零點(diǎn)，則的取值范圍是 81設(shè)函數(shù)，求使的的取值范圍． 82已知滿足，, 求的取值范圍。 83滿足條件的正數(shù)的取值范圍是___________________. 84函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，則的值為 85已知，求函數(shù)的最大值2 86若函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，求的最大值。 87解方程： 88函數(shù)的值域?yàn)? 89函數(shù)的值域是(　(0,1]　) 90 函數(shù)的遞增區(qū)間是_（－∞，1］__________. 91函數(shù)的圖象 A.與的圖象關(guān)于y軸對稱 B.與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 C.與的圖象關(guān)于y軸對稱 D.與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 92指數(shù)函數(shù)在上的最大值是14，求a的值． 93若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，求實(shí)數(shù)的值。5 94函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3，則 ． 95求函數(shù)在的最大值． 96若直線與函數(shù)（）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是_____　 97若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是___ 98設(shè)函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域是 ． 99設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則____－1 100函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，則的大小關(guān)系是________． 101已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則的值為__． 102要使函數(shù)在，上恒成立，求的取值范圍。, 103已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)． 104若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是____ 105定義運(yùn)算：，若，則的值域?yàn)? (0,1] 106若指數(shù)函數(shù)在上的最大值為4，最小值為，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則__________. 107函數(shù)（）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則的取值范圍為(　)． 108已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__． 109已知指數(shù)函數(shù)，且，則的取值范圍是________． 110函數(shù)是(　　)． A．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減 111若函數(shù)（）的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則一定有 A.且 B.且 C.且 D.且 112 設(shè)，且，則下列關(guān)系式中一定成立的是(　D　)． A． B． C． D． 113對于函數(shù)定義域中任意的,有如下結(jié)論：①；②；③；④,當(dāng)時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是______． ①③④ 114已知直線與函數(shù)，的圖象恰好有3個不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　) 115對于函數(shù)，如果存在函數(shù)(為常數(shù))，使得對于區(qū)間上的一切實(shí)數(shù)都有成立，則稱函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的一個“覆蓋函數(shù)”，設(shè),若函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的一個“覆蓋函數(shù)”，則|m－n|的最大值為______1 116已知函數(shù),若存在,當(dāng)時，,則的取值范圍是___ 117設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，則有(　　) A．B．C．D． 118指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍． 1 119在下列圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（ ） 120已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是(　　)． 121指數(shù)函數(shù)（1），（2），（3），（4）的圖象如下，則與1的大小關(guān)系是 A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 122函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系是C 123定義運(yùn)算，則的圖象是(　　) 124函數(shù)(，且)的圖象可能是（ ） 125函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 (　　) A． B． C． D． 126函數(shù)(，且)的圖象可能是(　A　)． k.s.5.u.c.o.m 127在下列圖象中，二次函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（ A ） 128函數(shù)的圖象大致為(　A　) 129設(shè)已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)． (1)可能是奇函數(shù)嗎？ (2)若是偶函數(shù)，求的值． 130 已知函數(shù)，，證明：＝＋． 131 設(shè)是實(shí)數(shù)，，試證明：對于任意在上為增函數(shù)． 132 為何值時，方程，無解？有一解？有兩解？ 133已知函數(shù)， (1)判斷函數(shù)的奇偶性；奇函數(shù) (2)求該函數(shù)的值域； (3)證明是上的增函數(shù)． 134設(shè)，若，試求： (1)求的值；1 (2)求的值．500 135已知 且 (1)求； (2)判斷的奇偶性與單調(diào)性； (3)對于 ,當(dāng)時 , 有,求的集合。 136已知函數(shù)(是常數(shù)且)在區(qū)間上有，試求和的值. 或 137已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，且. （1）求的值； （2）當(dāng)時，關(guān)于的方程有解，求的取值范圍. 138已知函數(shù) (1)若，求的值； (2)判斷時，的單調(diào)性；遞增 (3)若對于恒成立，求的取值范圍。 139已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時，。 (1)求函數(shù)在上的解析式； (2)判斷在上的單調(diào)性； (3)當(dāng)取何值時，方程在上有實(shí)數(shù)解？ 140已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)． (1)求的值； （2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍． 141已知函數(shù)(且)． (1) 求函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)的奇偶性； 偶函數(shù) (3)求的取值范圍，使在定義域上恒成立。 142已知函數(shù)， (1)判斷函數(shù)、的奇偶性；(2) 證明是上的增函數(shù)； (3) 證明：①＝2 ； ②． 143已知 (且)． (1)判斷的奇偶性； (2)討論的單調(diào)性； (3)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍。 144已知函數(shù) (1)若，求的值； (2)若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 145已知函數(shù) (1)求函數(shù)的定義域； (2)討論的奇偶性；偶函數(shù) (3)求證： 146已知函數(shù) (1)若，求的單調(diào)區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 (2)若有最大值3，求的值．1 147設(shè)函數(shù)(且)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)． (1)若，試求不等式的解集； (2)若，且，求在上的最小值．-2 148已知函數(shù)(其中為常量且且)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。 (1)試確定； (2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．