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1、工程中的結(jié)構(gòu)有些可簡(jiǎn)化為單自由度體系分析,單層工業(yè)廠房,,水塔,有些不能作為單自由度體系分析，需簡(jiǎn)化為多自由度體系進(jìn)行分析,多層房屋、高層建筑,,不等高廠房排架和塊式基礎(chǔ),10-5 多自由度體系的自由振動(dòng),按建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，多自由度體系自由振動(dòng)的求解方法有兩種：剛度法和柔度法。剛度法通過(guò)建立力的平衡方程求解，柔度法通過(guò)建立位移協(xié)調(diào)方程求解，二者各有其適用范圍。多自由度體系自由振動(dòng)的問(wèn)題，主要是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。,1、剛度法：（建立力的平衡方程） 兩個(gè)自由度的體系,,,,,,,,,,,,,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)平衡方程:,即:

2、,設(shè):,結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型.,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(其它點(diǎn)位移=0)時(shí),在i點(diǎn)需施加的力(稱為剛度系數(shù)).,振型計(jì)算公式,頻率計(jì)算公式,頻率方程,,振型方程,與2相應(yīng)的第二振型：,因?yàn)镈=0，兩個(gè)振型方程式線性相關(guān)的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求與1相應(yīng)的第一振型：,,2 的兩個(gè)根均為實(shí)根；,矩陣k為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主 子式全部大于零。,故矩陣k為正定矩陣。,k11k22-k12k210,2 的兩個(gè)根均為正根；,,與2相應(yīng)的第二振型

3、：,求與1相應(yīng)的第一振型：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,多自由度體系能夠按某個(gè)主振型自由振動(dòng)的條件是：初始位移和 初始速度應(yīng)當(dāng)與此主振型相對(duì)應(yīng)。,幾點(diǎn)注意： 12必具有相反的符號(hào)。 多自由度體系自振頻率的個(gè)數(shù)= 其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。 每個(gè)自振頻率相應(yīng)一個(gè)主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。 自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。,一般解：,在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的 振動(dòng)，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。,,< 0, 0,例,質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ，,層間側(cè)移剛度為k1、

4、k2,,,k21,k11,解：求剛度系數(shù)：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,,,,k22,k12,k22=k2 , k12=k2,1)當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=k,代入頻率方程：,求振型：,1第一主振型：,,,Y21=1.618,,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,,Y22=0.618,,Y12=1,第二主振型,,,,2)當(dāng)m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2,求頻率：,求振型：,如n=90時(shí),當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂部位移很大。 （鞭梢效應(yīng)）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,,例 試求圖示體系的頻率和振型,解,(1)求剛度系數(shù),(2

5、)求頻率,,解得,,(3)求振型,例 求圖所示兩層剛架的自振頻率和振型。已知橫梁為剛性，各立柱的抗彎剛度，立柱的質(zhì)量忽略不計(jì)，橫梁的質(zhì)量m1= m2=5000 kg，每層的高度5 m。,解：兩個(gè)自由度體系，設(shè)m1的位移為y1，m2的位移為y2,2、柔度法,建立振動(dòng)微分方程：（建立位移協(xié)調(diào)方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)應(yīng)等于體系在當(dāng)時(shí)慣性力,作用下所產(chǎn)生的靜力位移。,柔度法建立的振動(dòng)微分方程,,頻率方程,振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全為零。,求得頻率：,,頻率方程和自振頻率：,設(shè)各質(zhì)點(diǎn)按相同頻率和初相角作簡(jiǎn)諧振動(dòng),Y1 ，Y2是質(zhì)點(diǎn)位移幅值,體系頻率的數(shù)目總等于

6、其自由度數(shù)目,,主振型(normal mode shape),不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它們的比值。,,第一主振型,第二 主振型,頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目,主振型是體系由此主振型慣性力幅值,所引起的靜力位移。,例 求簡(jiǎn)支梁的自振 頻率和主振型。,解：1）求柔度系數(shù),,,,,求得頻率：,求得主振型：,例 求簡(jiǎn)支梁的自振 頻率和主振型。,另解：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì) 量分布都是對(duì)稱的，則主 振型不是對(duì)稱就是反對(duì)稱。 故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算 ：,對(duì)稱情況：,反對(duì)稱情況：,例 求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI =常數(shù)。,解 ：將原結(jié)構(gòu)化成正對(duì)稱和反對(duì)稱半結(jié)構(gòu)分別計(jì)算（圖b、c）

7、。,，,當(dāng)=1時(shí)，振型為正對(duì)稱，則,當(dāng)=2時(shí)，振型為反對(duì)稱，則,,例：求圖示體系對(duì)稱振動(dòng)情況下的頻率。,,2,1,0.5,,1,,1,0.875,0.25,,,Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與計(jì)算柔度系數(shù)時(shí)置于其上的單位力方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位力方向相反。,例 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）計(jì)算頻率,（2）振型,,,第一振型,第二振型,例 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,例 求圖示體系的頻率、振型,解:,令,,,,,y1,yi,yn,ri,動(dòng)平衡方程：,,ri,ri 應(yīng)滿足剛度方程,kij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，使點(diǎn)j

8、產(chǎn)生單位位移（其它點(diǎn)位移為零） 時(shí)在點(diǎn)i所需施加的力。,..,..,多自由度體系,或：,設(shè)解為： y=Ysin(t+),得振幅方程： ( K2 M )Y=0,得頻率方程： K2 M0,可求出個(gè)頻率,與相應(yīng)的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0 不過(guò)只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。 標(biāo)準(zhǔn)化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。,..,..,..,例：,質(zhì)量集中在樓層上，,層間側(cè)移剛度如圖。求自振頻率,解：1）求剛度系數(shù)：,k,,k33=k/5,剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M：,展開得：234222252250 解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027,2）求頻

9、率：代入頻率方程： K2 M0,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后兩式： （令Y3i=1）,（a）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。,,利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：,由剛度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0 令=1/2 ( M I )Y=0 得頻率方程： M I =0 其展開式:,是關(guān)于的n次代 數(shù)方程,先求出i 再求出頻率i,將i代入 (

10、M i I )Y(i)=0 可求出n個(gè)主振型.,可見(jiàn)剛度法、柔度法實(shí)質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng) 計(jì)算體系的柔度系數(shù)方便時(shí)用柔度法（如梁）；當(dāng)計(jì)算體系的 剛度系數(shù)方便時(shí)用剛度法（如橫梁剛度為無(wú)窮大的多層剛架）。,例：,質(zhì)量集中在樓層上，,層間側(cè)移剛度如圖。=1/k,11=,解：1）求柔度系數(shù)：,k,柔度矩陣和質(zhì)量矩陣M：,21,31,32=4,22=4,13=,23=4,33=9,12=,展開得:,解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151,三個(gè)頻率為：,3）求主振型： （令Y3i=1）將1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前兩式：,2）求頻率：,解得：,同理可得第

11、二、 第三振型,例 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù),,,m,,m,,,,,,,,l/4,l/4,l/4,,,l/4,,m,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,令每個(gè)振型的第一個(gè)元素為1，得,幾點(diǎn)說(shuō)明：,1)按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。,2)發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.,4)N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型,頻率方程,解頻率方程得 ,從小到大排列,依次稱作第一頻率,第二頻率...,第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.,將頻率代入振型方程,得N個(gè)振型,N個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的.,3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素?zé)o關(guān).,多自由度體系自由振動(dòng)的計(jì)算步驟：,建立體系自身的質(zhì)量矩陣M：,根據(jù)頻率方程計(jì)算結(jié)構(gòu)的各階自振頻率i,計(jì)算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣 ：,計(jì)算結(jié)構(gòu)的主振型向量Yi,