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小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想(史寧中)ppt.ppt

上傳人:sh****n 文檔編號:15605005 上傳時間:2020-08-23 格式:PPT 頁數(shù):30 大?。?07.50KB
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1、小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想,東北師范大學(xué) 史寧中 2014. 9,報告目錄,一、數(shù)學(xué)的基本思想 二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象 三、小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理 四、小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型,一、數(shù)學(xué)的基本思想,1、課程目標(biāo):由雙基到四基、從兩能到四能 實現(xiàn)教育理念的轉(zhuǎn)變 過去的教育理念:以知識為本 教學(xué)大綱 關(guān)心問題是: 應(yīng)當(dāng)教那些內(nèi)容;應(yīng)當(dāng)教到什么程度 考核內(nèi)容是: 規(guī)定的內(nèi)容是否教了;學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求 教學(xué)目標(biāo)是: 基礎(chǔ)知識(概念記憶與命題理解)扎實(記憶) 基本技能(證明技能與運(yùn)算技能)熟練(訓(xùn)練) 教學(xué)形式是: 課堂、教材、教師(凱洛夫的三中心論),現(xiàn)代的教育理念:以

2、人為本 教育方針:育人為本(綱要)、立德樹人(十八大) 課程標(biāo)準(zhǔn) 以學(xué)生的發(fā)展為本 人的成功依賴:知識技能、把握機(jī)遇、思維方法 不僅要記住一些數(shù)學(xué)的知識、掌握一些數(shù)學(xué)的技能 還要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)(素質(zhì)教育) 感悟數(shù)學(xué)的基本思想,積累基本活動經(jīng)驗 課程目標(biāo):基礎(chǔ)知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經(jīng)驗 分析問題、解決問題 + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題 基本活動經(jīng)驗:思維經(jīng)驗、會想問題;實踐經(jīng)驗、會做事情,,2. 什么是數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 研究對象:數(shù)量、圖形 研究內(nèi)容:數(shù)量性質(zhì)與關(guān)系、圖形性質(zhì)與關(guān)系 數(shù)學(xué)的基本思想:數(shù)學(xué)

3、的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想 學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異 抽象、推理、模型 數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任:會抽象、會推理 、會一般性地思考,,通過抽象:現(xiàn)實 數(shù)學(xué) 把研究對象、以及對象之間的關(guān)系形成概念 從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部,數(shù)學(xué)具有一般性 通過推理:數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué) 從假設(shè)前提出發(fā),通過推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果 數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展,數(shù)學(xué)具有邏輯性 通過模型:數(shù)學(xué) 現(xiàn)實 解決現(xiàn)實世界中的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題 從數(shù)學(xué)內(nèi)部到現(xiàn)實世界,數(shù)學(xué)具有應(yīng)用性 得到數(shù)學(xué)的基本特征: 一般性(抽象)、嚴(yán)謹(jǐn)性(邏輯)、應(yīng)用的廣泛性(模型),,,數(shù)學(xué)思想:抽象、推理、模型(不是知識,不靠講

4、解靠感悟) 教學(xué)要點:創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生感悟。 感悟什么?如何感悟? 數(shù)是數(shù)量的抽象,數(shù)量是對現(xiàn)實生活中量的表達(dá)。 同時抽象出關(guān)系:數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少 數(shù)關(guān)系的本質(zhì)是大與小。 抽象有兩種方法:對應(yīng)起名(外延)、述說定義(內(nèi)涵) 對應(yīng):三個蘋果、三只雞 3 (去掉物理屬性) 述說:一個一個多起來(后繼數(shù)): 1 = 0 + 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,4 = 3 + 1,,二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象,,小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育: 開始用對應(yīng)的方法,以后用述說方法 比如數(shù)的認(rèn)識 對應(yīng):負(fù)數(shù) 量相等、意義相反 不能用數(shù)軸解釋、最好不用減法或相反數(shù)解釋 述說:如

5、何認(rèn)識 10000、比 9999 多 1 比如幾何概念 對應(yīng):稱這樣的圖形為直線段、角 述說:角是由兩條端點重合的射線所形成的圖形,,數(shù)的符號表達(dá):簡潔、關(guān)鍵是把握問題的本質(zhì) (基本概念與運(yùn)算法則:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題 高等教育出版社,2013年) 讀數(shù)的關(guān)鍵:十個符號 + 數(shù)位 如何讀 2002 符號 0 很重要: 1 10 1 9 0 和 10 相反數(shù): a + b = 0,b 為相反數(shù),表示為 -a 數(shù)位與數(shù)不同 數(shù)位:個(ones)、十(tens),“十”是十個“個” “萬”是十個“千” 數(shù):10 = 9 + 1 10

6、000 = 9999 + 1,,數(shù)的運(yùn)算 與數(shù)的抽象一樣,有兩種方法表示加法:對應(yīng)、定義。 定義: 3 + 1 = 4 ? 4 = 3 + 1 3 + 1 = 4 對應(yīng): 哪邊多 哪邊多? 3 + 1 = 4 理解等號的意義:等號兩邊講兩個故事, 這兩個故事量相等 (方程:含有未知數(shù)的等式?),,點、線、面的抽象 0 維是點、1 維是線、2 維是面、3 維是體。 日常生活看到的幾何圖形都是三維的,點線面是抽象的。,,角的抽象 角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。 稱下面的圖形為角。角由兩條線段所夾部分組成,這兩條線段

7、的一個端點重合。稱這兩條線段為角的邊,角的大小與邊長無關(guān)。 幾何作圖(畫角平分線)的教育價值:培養(yǎng)想象力,,抽象的小結(jié) 抽象出數(shù)學(xué)研究的對象: 把外部世界的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、 圖形與圖形關(guān)系引導(dǎo)數(shù)學(xué)內(nèi)部。 概念:自然數(shù)、負(fù)數(shù)、點、線、面、體、角 關(guān)系:(代數(shù))數(shù)的大小關(guān)系,(幾何)兩點決定一條直線 法則:加法 減法、乘法、除法 抽象的東西不存在:現(xiàn)實中沒有 2,只有具體的兩匹馬、兩頭牛 抽象的東西是理念的存在 鄭板橋:我畫的不是我眼中之竹,而是我心中之竹。,,三、小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理,推理:數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴的是邏輯推理 數(shù)學(xué)的結(jié)論都是命題 數(shù)學(xué)命題:可供正確或者錯誤

8、判斷的陳述 可供判斷,下面陳述不是數(shù)學(xué)命題 這個三角形是美的 僅供判斷,下面兩個陳述都是數(shù)學(xué)命題 三角形內(nèi)角和180度 三角形內(nèi)角和120度 直接推理:對命題的直接判斷 一般推理:一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程,,邏輯推理:命題的內(nèi)涵之間存在一條主線、具有傳遞性。 A P,x A, x P。 x P,x A, A P。 前者:凡人都有死。蘇格拉底是人。/ 蘇格拉底有死。 后者:蘇格拉底是人,蘇格拉底有死。 柏拉圖是人,柏拉圖有死。/ 凡人都有死。 非邏輯推理:命題的內(nèi)涵之間不存在一條主線、無傳遞性。 蘋果是

9、酸的,酸是一種味道,蘋果是一種味道。 兩種邏輯推理 演繹推理:命題內(nèi)涵由大到小。從一般到特殊。 歸納推理:命題內(nèi)涵由小到大。從特殊到一般。,演繹推理,演繹推理需要前提:公理或者假設(shè)。 “數(shù)與代數(shù)”演繹推理的前提 命題1 等式(不等式)關(guān)系具有傳遞性。 a = b (a b),b = c (a b) a = c (a c) 命題2 等式(不等式)兩邊加減相同的量,等式(不等式)不變。 a = b (a b) a + c = b + c (a + c b + c) a - c = b - c (a - c b - c),演繹推理,加上一個正數(shù)比原來的數(shù)大。

10、 符號表示:對于任意的數(shù) a 和正數(shù) b,有 a + b a。 因為 b 為正數(shù),所以 b 0 在上面不等式兩邊分別加上 a,由命題 2 得到 a + b a 結(jié)論成立。 利用類似的方法可以證明對稱命題: 加上一個負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小。,演繹推理,減去一個正數(shù)等于加上這個正數(shù)的相反數(shù) 減去一個正數(shù)比原來的數(shù)小 用數(shù)學(xué)符號表示這個命題: a - b = a + (-b) 其中b 0。因為“減法是加法逆運(yùn)算”: a - b = x a = b + x 由命題2,在右邊等式的兩邊分別加上(-b)等式不變: a + (-b) = b + (-b) + x。 根據(jù)相反數(shù)的定義:

11、a + (-b) = x。由命題 1: a - b = x = a + (-b),演繹推理,減去一個負(fù)數(shù)等于加上這個負(fù)數(shù)的相反數(shù)。 減去一個負(fù)數(shù)等于加上一個正數(shù)。 減去一個負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大。 用數(shù)學(xué)符號表示這個命題 a - (-b) = a + b 令 x = a + b。等式分別兩邊加上b的相反數(shù)(-b),由命題2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的兩邊同時減去(-b),再由命題2: x + (-b) (-b) = a (-b) 因為同樣的數(shù)相減為 0:x = a (-b)。由命題1: a - (-b) = a + b,演繹推理,演

12、繹推理只能用來驗證知識,不能用來發(fā)現(xiàn)知識。 論證問題的形式是: 已知 A 求證 B 其中 A 和 B 都是確定性命題,沒有新的知識 發(fā)現(xiàn)知識需要下面兩個能力: 從條件預(yù)測結(jié)果的能力,從結(jié)果探究成因的能力 因此,需要歸納推理:從經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗的東西,歸納推理,歸納推理需要前提:經(jīng)驗或者想象 經(jīng)驗:從個別到一般,從具體到符號 加法交換律 3 + 5 = 8,5 + 3 = 8 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15,9 + 6 = 15 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1,(-2) + 3 = 1 3 + (-2) = (-2) +

13、3 a + b = b + a 結(jié)論的正確與否需要演繹證明,歸納推理,探究成因 混合運(yùn)算:先算括號、先乘除后加減 為什么?舉例說明 (3 + 2)6 = 56 = 30 3 + 26 = 3 + 12 = 18 上: 一隊同學(xué),每排3名女生2名男生,共6排,問有多少同學(xué)。 下:操場上有3名同學(xué),又來了一隊同學(xué),2人一排共6排,問現(xiàn) 在操場上有多少同學(xué)。 現(xiàn)在同學(xué)數(shù) = 原來同學(xué)數(shù) + 后來同學(xué)數(shù) = 3 + 26 混合運(yùn)算講兩個以上的故事。 除分?jǐn)?shù)等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù),歸納推理,類比的方法:幾何 一個點把直線分為兩個部分。如何表達(dá)? 一條直線把

14、平面分為兩個部分。如何表達(dá)?兩條直線呢? 一個平面把空間分為兩個部分。如何表達(dá)?兩個平面呢? 數(shù)學(xué)推理:通過歸納推理得到結(jié)論,通過演繹推理證明結(jié)論。 因為歸納推理和演繹推理都是是邏輯推理, 因此數(shù)學(xué)的結(jié)果具有一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性,進(jìn)而具有應(yīng)用的廣泛性。,,四、小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型,抽象:把現(xiàn)實世界的數(shù)量與關(guān)系、圖形與關(guān)系引到數(shù)學(xué) 推理:基于概念得到命題,數(shù)學(xué)自身得到發(fā)展 模型:把數(shù)學(xué)的結(jié)果一般性地應(yīng)用于現(xiàn)實世界,回歸現(xiàn)實 模型:是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁 用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事 力是什么? F = ma 重力是什么? s = gt2/2,,課標(biāo)中主要要求兩個模型 總量模型(加法模型):總量

15、 = 部分 + 部分 部分 = 總量部分 順序模型:現(xiàn)在 = 過去 + 變化 路程模型(乘法模型):路程 = 速度 時間 速度 = 路程 / 時間 植樹模型、工程模型,,如果在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中 一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核,一方面又添加了“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”,必將會出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式。 就必將會出現(xiàn)“外國沒有的我們有,外國有的我們也有”的局 面,到了那一天,我們就能自豪地說,中國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于 世界。,,謝謝!,,改造于九章算術(shù)方程篇第八題。 在漢朝的時候,有一個人做了三次

16、牲畜買賣,收支情況如下: 第一次 賣牛收入24錢,賣羊收入25錢,買豬支出39錢,合計收入10錢; 第二次 賣牛收入36錢,買羊支出45錢,賣豬收入90錢,合計收支相當(dāng); 第三次 買牛支出60錢,賣羊收入30錢,賣豬收入24錢,合計支出6錢。 如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)?,,文字形式 牛 羊 豬 合計 第一次 收入24 收入25 支出39 收入10 第二次 收入36 支出45 收入90 0 第三次 支出60 收入30 收入24 支出6 數(shù)字形式 牛 羊 豬 合計 第一次 24 25 -39 10 第二次 36 -45 90 0 第三次 -60 30 24 -6 負(fù)數(shù)與自然數(shù):數(shù)量相等(絕對值)、意義相反。,,,除以一個分?jǐn)?shù)等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。為什么? 有鵝4只,是鴨子的三分之一,問有幾只鴨子? 教學(xué)目的:4 1/3 = 4 3 = 12 為什么用除法:有鵝4只,是鴨子的2倍,問有幾只鴨子? 為什么乘倒數(shù):破題,解釋什么是1/3 1只鵝對應(yīng)3只鴨子,2只鵝對應(yīng)6只鴨子,3只鵝對應(yīng)9只鴨子, 所以:4只鵝對應(yīng)12只鴨子。,,

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