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第二章 氣體分子運(yùn)動論的基本概念 2-1 目前可獲得的極限真空度為10-13mmHg的數(shù)量級，問在此真空度下每立方厘米內(nèi)有多少空氣分子，設(shè)空氣的溫度為27℃。 解： 由P=n K T可知 n =P/KT= =3.21×109(m –3) 注：1mmHg=1.33×102N/m2 2-2 鈉黃光的波長為5893埃，即5.893×10-7m，設(shè)想一立方體長5.893×10-7m， 試問在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，其中有多少個(gè)空氣分子。 解：∵P=nKT ∴PV=NKT 其中T=273K P=1.013×105N/m2 ∴N=個(gè) 2-3 一容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。若烘烤后壓強(qiáng)增為1.0×10-2mmHg，問器壁原來吸附了多少個(gè)氣體分子。 解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為N。，烘烤后的分子數(shù)為N。根據(jù)上題導(dǎo)出的公式PV = NKT則有： 因?yàn)镻0與P1相比差103數(shù)量，而烘烤前后溫度差與壓強(qiáng)差相比可以忽略，因此 與 相比可以忽略 個(gè) 2-4 容積為2500cm3的燒瓶內(nèi)有1.0×1015個(gè)氧分子,有4.0×1015個(gè)氮分子和3.3×10-7g的氬氣。設(shè)混合氣體的溫度為150℃,求混合氣體的壓強(qiáng)。 解：根據(jù)混合氣體的壓強(qiáng)公式有 PV=（N氧+N氮+N氬）KT 其中的氬的分子個(gè)數(shù)： N氬=（個(gè)） ∴ P=（1.0+4.0+4.97）1015Pa mmHg 2-5 一容器內(nèi)有氧氣，其壓強(qiáng)P=1.0atm,溫度為t=27℃，求 (1) 單位體積內(nèi)的分子數(shù)： (2) 氧氣的密度； (3) 氧分子的質(zhì)量； (4) 分子間的平均距離； (5) 分子的平均平動能。 解：(1) ∵P=nKT ∴n=m-3 (2) (3)m氧=g (4) 設(shè)分子間的平均距離為d，并將分子看成是半徑為d/2的球，每個(gè)分子的體積為v0。 V0= ∴cm (5)分子的平均平動能為： （爾格） 2-6 在常溫下(例如27℃)，氣體分子的平均平動能等于多少ev?在多高的溫度下，氣體分子的平均平動能等于1000ev? 解：(1)（J） ∵leV=1.6×10-19J ∴(ev) (2)T= 2-7 一摩爾氦氣，其分子熱運(yùn)動動能的總和為3.75×103J,求氦氣的溫度。:解: ∴ 2-8 質(zhì)量為10Kg的氮?dú)?，?dāng)壓強(qiáng)為1.0atm,體積為7700cm3 時(shí)，其分子的平均平動能是多少？ 解: ∵ 而 ∴J 2-9 質(zhì)量為50.0g，溫度為18.0℃的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s的速率作勻速直線運(yùn)動。若容器突然靜止，定向運(yùn)動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的動能，則平衡后氦氣的溫度和壓強(qiáng)將各增大多少？ 解：由于容器以速率v作定向運(yùn)動時(shí)，每一個(gè)分子都具有定向運(yùn)動，其動能等于，當(dāng)容器停止運(yùn)動時(shí)，分子定向運(yùn)動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的能量，每個(gè)分子的平均熱運(yùn)動能量則為 ∴△T= 因?yàn)槿萜鲀?nèi)氦氣的體積一定，所以 故△P=，又由 得： ∴△P=（atm ） 2-10 有六個(gè)微粒，試就下列幾種情況計(jì)算它們的方均根速率： (1) 六個(gè)的速率均為10m/s； (2) 三個(gè)的速率為5m/s,另三個(gè)的為10m/s； (3) 三個(gè)靜止，另三個(gè)的速率為10m/s。 解：（1） （2） （3） 2-11 試計(jì)算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K，已知?dú)錃?、氧氣和汞蒸氣的分子量分別為2.02、32.0和201。 解： m/s 2-12 氣體的溫度為T = 273K,壓強(qiáng)為 P=1.00×10-2atm,密度為ρ=1.29×10-5g (1) 求氣體分子的方均根速率。 (2) 求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。 解：（1） （2） m=28.9 該氣體為空氣 2-13 若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？ 解：在地球表面的逃逸速率為 V地逸= 在月球表面的逃逸速率為 V月逸= 又根據(jù) ∴ 當(dāng)時(shí)，則其溫度為 TH2= TO2= 當(dāng)時(shí) TH2= TO2= 2-14 一立方容器，每邊長1.0m，其中貯有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氧氣，試計(jì)算容器一壁每秒受到的氧分子碰撞的次數(shù)。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。 解：按題設(shè)米/秒 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下單位容器內(nèi)的分子數(shù)為n，將容器內(nèi)的分子按速度分組，考慮速度為vi的第i組。說單位體積內(nèi)具有速度vi的分子數(shù)為ni，在時(shí)間內(nèi)與dA器壁相碰的分子數(shù)為ni·vixdt·dA，其中vix為速度vi在X方向上的分量，則第i組分子每秒與單位面積器壁碰撞次數(shù)為ni·vix，所有分子每秒與單位面積器壁碰撞次數(shù)為： 即 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下n=2.69×1025m-3 ∴ 2-15 估算空氣分子每秒與1.0cm2墻壁相碰的次數(shù)，已知空氣的溫度為300K，壓強(qiáng)為1.0atm，平均分子量為29。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。 解：與前題類似，所以每秒與1cm2的墻壁相碰次數(shù)為： 2-16 一密閉容器中貯有水及飽和蒸汽，水的溫度為100℃，壓強(qiáng)為1.0atm，已知在這種狀態(tài)下每克水汽所占的體積為1670cm3，水的汽化熱為2250J/g （1） 每立方厘米水汽中含有多少個(gè)分子？ （2） 每秒有多少個(gè)水汽分子碰到水面上？ （3） 設(shè)所有碰到水面上的水汽分子都凝結(jié)為水，則每秒有多少分子從水中逸出？ （4） 試將水汽分子的平均動能與每個(gè)水分子逸出所需能量相比較。 解：（1）每個(gè)水汽分子的質(zhì)量為： 每cm3水汽的質(zhì)量 則每cm3水汽所含的分子數(shù) （2）可看作求每秒與1cm2水面相碰的分子數(shù)D，這與每秒與1cm2器壁相碰的分子數(shù)方法相同。在飽和狀態(tài)n不變。 （3）當(dāng)蒸汽達(dá)飽和時(shí)，每秒從水面逸出的分子數(shù)與返回水面的分子數(shù)相等。 （4）分子的平均動能 每個(gè)分子逸出所需的能量 顯而易見E，即分子逸出所需能量要大于分子平均平動能。 2-17 當(dāng)液體與其飽和蒸氣共存時(shí)，氣化率和凝結(jié)率相等，設(shè)所有碰到液面上的蒸氣分子都能凝結(jié)為液體，并假定當(dāng)把液面上的蒸氣分子迅速抽去時(shí)液體的氣化率與存在飽和蒸氣時(shí)的氣化率相同。已知水銀在0℃時(shí)的飽和蒸氣壓為1.85×10-6mmHg，汽化熱為80.5cal/g，問每秒通過每平方厘米液面有多少克水銀向真空中氣化。 解：根據(jù)題意，氣化率和凝結(jié)率相等 P=1.85×10-6mmHg =2.47×10-4Nm-2 氣化的分子數(shù)=液化的分子數(shù)=碰到液面的分子數(shù)N，由第14題結(jié)果可知： 則每秒通過1cm2液面向真空氣化的水銀質(zhì)量 2-18 已知對氧氣，范德瓦耳斯方程中的常數(shù)b=0.031831mol-1，設(shè)b等于一摩爾氧氣分子體積總和的四倍，試計(jì)算氧分子的直徑。 解： ∴ 2-19 把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下224升的氮?dú)獠粩鄩嚎s，它的體積將趨于多少升？設(shè)此時(shí)的氮分子是一個(gè)挨著一個(gè)緊密排列的，試計(jì)算氮分子的直徑。此時(shí)由分子間引力所產(chǎn)生的內(nèi)壓強(qiáng)約為多大？已知對于氮?dú)?，范德瓦耳斯方程中的常?shù)a=1.390atm﹒l2mol-2，b=0.039131mol-1。 解：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)西224l的氮?dú)馐?0mol的氣體，所以不斷壓縮氣體時(shí)，則其體積將趨于10b，即0.39131，分子直徑為： 內(nèi)壓強(qiáng)P內(nèi)=atm 注：一摩爾實(shí)際氣體當(dāng)不斷壓縮時(shí)（即壓強(qiáng)趨于無限大）時(shí)，氣體分子不可能一個(gè)挨一個(gè)的緊密排列，因而氣體體積不能趨于分子本身所有體積之和而只能趨于b。 2-20 一立方容器的容積為V，其中貯有一摩爾氣體。設(shè)把分子看作直徑為d的剛體，并設(shè)想分子是一個(gè)一個(gè)地放入容器的，問： （1） 第一個(gè)分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？ （2） 第二個(gè)分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？ （3） 第NA個(gè)分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？ （4） 平均地講，每個(gè)分子的中心能夠自由活動的空間體積是多大？ 由此證明，范德瓦耳斯方程中的改正量b約等于一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。 解：假定兩分子相碰中心距為d，每一分子視直徑為d的小球，忽略器壁對分子的作用。 （1） 設(shè)容器四邊長為L，則V=L3，第一個(gè)分子放入容器后，其分子中心與器壁的距離應(yīng)，所以它的中心自由活動空間的體積V1=（L-d）3。 （2） 第二個(gè)分子放入后，它的中心自由活動空間應(yīng)是V1減去第一個(gè)分子的排斥球體積，即： (3)第NA個(gè)分子放入后, 其中心能夠自由活動的空間體積: (4) 平均地講，每個(gè)分子的中心能夠自由活動的空間為： 因?yàn)?，，所? 容積為V的容器內(nèi)有NA個(gè)分子，即容器內(nèi)有一摩爾氣體，按修正量b的定義，每個(gè)分子自由活動空間，與上面結(jié)果比較，易見： 即修正量b是一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。