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第十單元 無窮級(jí)數(shù) 一、無窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 1、無窮級(jí)數(shù)：，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。其中un稱為通項(xiàng)，也叫一般項(xiàng)。 為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。 收斂：存在，且稱為級(jí)數(shù)的和。 發(fā)散：不存在。 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：中的每項(xiàng)un均為常數(shù)。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：中的項(xiàng)un不全為常數(shù)。 2、基本性質(zhì) 性質(zhì)1、若收斂于S，則收斂于kS； 若發(fā)散，k≠0，則也發(fā)散。 性質(zhì)2、若與皆收斂，則也收斂。 性質(zhì)3、在前面部分去掉或添上有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性。 性質(zhì)4、收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。 性質(zhì)5、（收斂的必要條件）若收斂，則必有。 說明：并不能保證一定收斂。 推論：，則必定發(fā)散。 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)： （1） 等比級(jí)數(shù)： （2） p—級(jí)數(shù)： （3） 調(diào)和級(jí)數(shù)： 例1 若級(jí)數(shù)收斂，記，則（ B ） 例2 若級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)不收斂的是（ B ） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以，收斂，且收斂于。 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、定義：若中的每一項(xiàng)un≥0，（n=1，2，…）則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 2、比較判別法（審斂法） 若與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且0≤un≤vn(n=1,2,…),則 （1） 當(dāng)收斂時(shí)，必收斂； （大斂小必?cái)浚? （2） 當(dāng)發(fā)散時(shí)，必發(fā)散； （小散大必散） 3、比值判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則 （1） 當(dāng)ρ<1時(shí)，收斂； （2） 當(dāng)ρ>1時(shí)，發(fā)散； （3） 當(dāng)ρ=1時(shí)，此法失效。 說明：（1）un中含n!時(shí)，用比值法較為方便； （2）利用比較法時(shí)，要先有個(gè)初步估計(jì)，然后選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)與之比較。 4、極限形式的比較判別法 設(shè)與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則與的收斂性相同。 例1 設(shè)與都是非功過正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un≤vn(n=1,2,…),則下列命題正確的是 （ D ） 例2 判定級(jí)數(shù)的收斂性。 解：因 所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 （推論） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以收斂。 例4判定級(jí)數(shù)（a>0,a≠e）的收斂性。 解： 故當(dāng)a>e時(shí)，收斂； 00)的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。 （2）萊布尼茲定理：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（其中un>0，n=1,2…）滿足① un >un+1，n=k,k+1,…,②, 則必定收斂，且其和S≤u1,余項(xiàng)的絕對(duì)值。 （3）萊布尼茲級(jí)數(shù) ，該級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)。（可作為公式使用） 四、絕對(duì)收斂與條件收斂 1、絕對(duì)收斂：若收斂，則必收斂，此時(shí)稱絕對(duì)收斂。 2、條件收斂：若收斂，而發(fā)散，此時(shí)稱條件收斂。 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判斂的一般步驟： ①先判定的收斂，若收斂，則絕對(duì)收斂。 ②若發(fā)散，再考察的收斂性，如果收斂，則為條件收斂。 例1 當(dāng)滿足下列條件（ D ）時(shí)，收斂。 收斂 例2 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的級(jí)數(shù)是（ C ） 說明：A、B的通項(xiàng)的極限不為零；D絕對(duì)收斂。 例3 級(jí)數(shù)是（ A ） A、絕對(duì)收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、收斂性不能判定 說明：取絕對(duì)值后為的正項(xiàng)p級(jí)數(shù)，故絕對(duì)收斂。 例4 判定級(jí)數(shù)的斂散性。 解：所給級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，，且滿足， 所以，由萊布尼茲定理可知：收斂。 例5 研究級(jí)數(shù)的收斂性，其中常數(shù)a>0。 解：記,則,從而知為p級(jí)數(shù)，且 當(dāng)a>1時(shí)，收斂，故絕對(duì)收斂； 當(dāng)01時(shí)，絕對(duì)收斂； 當(dāng)0R時(shí), 發(fā)散; 當(dāng)︱x︱=R時(shí), 可能收斂也可能發(fā)散.。 則稱R為的收斂半徑，（-R，+R）為的收斂區(qū)間。 說明：在收斂區(qū)間（-R，+R）內(nèi)，絕對(duì)收斂，兩端點(diǎn)處需另外討論，不作要求。 六、收斂半徑的求法 1、對(duì)于不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) 設(shè)冪級(jí)數(shù)的系數(shù)有，則 （1） 當(dāng)0<ρ<+∞時(shí)，有； （2） 當(dāng)ρ=0時(shí)，定義R=+∞； （3） 當(dāng)ρ=+∞時(shí)，定義R=0。 2、對(duì)于缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，例如 令，考察 則當(dāng)ρx2<1，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，可知 （1） 當(dāng)0<ρ<+∞時(shí)，； （2） 當(dāng)ρ=0時(shí)，定義R=+∞； （3） 當(dāng)ρ=+∞時(shí)，定義R=0。 例1 設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=2處收斂，則該級(jí)數(shù)在x=-1處必定（ C ） A、 發(fā)散 B、條件收斂 C、絕對(duì)收斂 D、斂散性不能確定 例2冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（ 1 ） 解：該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，故 所以收斂半徑： 例3 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-∞，+∞）。 例4求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-3，3]。 例5 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，故 所以收斂半徑：，所以僅在x=0處收斂。 例6 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間。 解：該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-1，1）。 例7求的收斂區(qū)間。 （x-x0）型 解：令t=x-1,級(jí)數(shù)變?yōu)? 因 所以R=2，即-20）（1）展開為x的冪級(jí)數(shù)；（2）展開為x-b的冪級(jí)數(shù) (b≠a)。 （與相近） 解：（1） 收斂區(qū)間為：，即-a

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