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高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié):集合與函數(shù)概念 一：集合的含義與表示 1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。 把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。 2、集合的中元素的三個(gè)特性： （1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬于。 （2）元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。 （3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合 3、集合的表示：{…} （1）用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列舉法與描述法。 a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……} b、描述法： ①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。 {x?R|x-3>2},{x|x-3>2} ②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。 4、集合的分類： （1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合 （2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合　　 5、元素與集合的關(guān)系： （1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A （2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 6、集合間的基本關(guān)系 （1）.“包含”關(guān)系（1）—子集 定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。 7、集合的運(yùn)算 二、函數(shù)的概念 函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A． （1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域； （2）與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則 函數(shù)的表示方法：（1）解析法：明確函數(shù)的定義域 （2）圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。 （3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。 4、函數(shù)圖象知識(shí)歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上. (2)畫法 A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對(duì)稱變換，即平移。 （3）函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn)： 1）加左減右——————只對(duì)x 2）上減下加——————只對(duì)y 3）函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱得函數(shù)y=-f(x) 4）函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對(duì)稱得函數(shù)y=f(-x) 5）函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得函數(shù)y=-f(-x) 6）函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動(dòng)得 函數(shù)y=|f(x)| 7）函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像得函數(shù)f(|x|) 三、函數(shù)的基本性質(zhì) 1、函數(shù)解析式子的求法 （1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域. （2、求函數(shù)的解析式的主要方法有： 1）代入法： 2）待定系數(shù)法： 3）換元法： 4)拼湊法： 2．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義. 3、相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) 4、區(qū)間的概念： （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 （2）無窮區(qū)間 （3）區(qū)間的數(shù)軸表示 5、值域（先考慮其定義域） （1）觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域； （2）反表示法：針對(duì)分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。 (3)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。 (4)代換法（換元法）：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。 6.分段函數(shù) （1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。 （2）各部分的自變量的取值情況． （3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集． （4）常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù) 7．映射 一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）---B（象）” 對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足： (1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)； (3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。 注意：映射是針對(duì)自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù) 8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值 （1、增減函數(shù) （1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1 （2）如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1< p=""><> 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種 （2、圖象的特點(diǎn) 如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. （3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A)定義法： 任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）． (B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 復(fù)合函數(shù)：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。 復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減” 注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 9：函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)） （1、偶函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． （2、奇函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)． （3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： a、首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若是不對(duì)稱，則是非奇非偶的函數(shù)；若對(duì)稱，則進(jìn)行下面判斷； b、確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； c、作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)． （4）利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性 a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)； 奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)； 奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)； 偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)； 一奇一偶的乘積是奇函數(shù)； a、復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。 注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱， (1)再根據(jù)定義判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定. 10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用 （1、函數(shù)的最值 a利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值 b利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? c利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担? 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)； 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； （2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性； 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。 （3、判斷含糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。 （4）絕對(duì)值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。 （5）在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。（高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0）。 高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié):基本初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù) 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算： 復(fù)習(xí)初中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： am*an=am+n (am)n=amn (a*b)n=anbn 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的 二、對(duì)數(shù)函數(shù) （一）對(duì)數(shù) 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： 三、冪函數(shù) 高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié):函數(shù)的應(yīng)用 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)． 3、函數(shù)零點(diǎn)的求法： （1）（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （2）（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 4、二次函數(shù)的零點(diǎn)： （1）△＞0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． （2）△＝0，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． （3）△＜0，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．