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圓錐曲線經(jīng)典題型 　 一．選擇題（共10小題） 1．直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1（b＞0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的范圍是（　　） A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞） 2．已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若＜0，則y0的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使得，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（　?。? A． B． C． D． 4．過(guò)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線y=﹣x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點(diǎn)，若=2，則該雙曲線的離心率為（　?。? A． B．2 C． D． 5．若雙曲線=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x﹣2）2+y2=2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　?。? A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞） 6．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，且MF與雙曲線的實(shí)軸垂直，則雙曲線C的離心率為（　?。? A． B． C． D．2 7．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是（　?。? A． B． C．y=2x D．y=4x 8．已知雙曲線的漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相交，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　?。? A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2） 9．如果雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，），且它的一條漸近線方程為y=x，那么該雙曲線的方程是（　?。? A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則△APF的面積為（　?。? A． B． C． D． 　 二．填空題（共2小題） 11．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=8，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是　 ?。? 12．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為　 ?。? 　 三．解答題（共4小題） 13．已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線C：x2﹣=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF1F2=30°． （1）求雙曲線C的方程； （2）過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求?的值． 14．已知曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲線C2：+=1有相同的焦點(diǎn)，曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍． （Ⅰ）求曲線C1的方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是曲線C1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，連AF交曲線C1的右支于點(diǎn)B，作BC垂直于定直線l：x=，垂足為C，求證：直線AC恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)． 15．已知雙曲線Γ：的離心率e=，雙曲線Γ上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為﹣1． （Ⅰ）求雙曲線Γ的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)？若直線l存在，請(qǐng)求直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 16．已知雙曲線C：的離心率e=，且b=． （Ⅰ）求雙曲線C的方程； （Ⅱ）若P為雙曲線C上一點(diǎn)，雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為E、F，且?=0，求△PEF的面積． 　  　 一．選擇題（共10小題） 1．直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1（b＞0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的范圍是（　?。? A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞） 【解答】解：∵直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1（b＞0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴1＞b＞0或b＞1． ∴e==＞1且e≠． 故選：D． 　 2．已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若＜0，則y0的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：由題意，=（﹣﹣x0，﹣y0）?（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0， 所以﹣＜y0＜． 故選：A． 　 3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使得，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：取PF2的中點(diǎn)A，則 ∵， ∴⊥ ∵O是F1F2的中點(diǎn) ∴OA∥PF1， ∴PF1⊥PF2， ∵|PF1|=3|PF2|， ∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|， ∵|PF1|2+|PF2|2=4c2， ∴10a2=4c2， ∴e= 故選C． 　 4．過(guò)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線y=﹣x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點(diǎn)，若=2，則該雙曲線的離心率為（　?。? A． B．2 C． D． 【解答】解：設(shè)F（c，0），則直線AB的方程為y=（x﹣c）代入雙曲線漸近線方程y=﹣x得A（，﹣）， 由=2，可得B（﹣，﹣）， 把B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程﹣=1， 即=1，整理可得c=a， 即離心率e==． 故選：C． 　 5．若雙曲線=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x﹣2）2+y2=2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　?。? A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞） 【解答】解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓（x﹣2）2+y2=2相交 ∴圓心到漸近線的距離小于半徑，即 ∴b2＜a2， ∴c2=a2+b2＜2a2， ∴e=＜ ∵e＞1 ∴1＜e＜ 故選C． 　 6．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，且MF與雙曲線的實(shí)軸垂直，則雙曲線C的離心率為（　?。? A． B． C． D．2 【解答】解：設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=x， 可得F到漸近線的距離為=b， 即有圓F的半徑為b， 令x=c，可得y=±b=±， 由題意可得=b， 即a=b，c==a， 即離心率e==， 故選C． 　 7．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是（　?。? A． B． C．y=2x D．y=4x 【解答】解：由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a， 又|PF1|=2|PF2|， 得|PF2|=2a，|PF1|=4a； 在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2， ∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2， 則b2=4a2．即b=2a， 雙曲線=1一條漸近線方程：y=2x； 故選：C． 　 8．已知雙曲線的漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相交，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　?。? A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2） 【解答】解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓x2+（y﹣2）2=1相交 ∴圓心到漸近線的距離小于半徑，即＜1 ∴3a2＜b2， ∴c2=a2+b2＞4a2， ∴e=＞2 故選：C． 　 9．如果雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，），且它的一條漸近線方程為y=x，那么該雙曲線的方程是（　?。? A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【解答】解：由雙曲線的一條漸近線方程為y=x， 可設(shè)雙曲線的方程為x2﹣y2=λ（λ≠0）， 代入點(diǎn)P（2，），可得 λ=4﹣2=2， 可得雙曲線的方程為x2﹣y2=2， 即為﹣=1． 故選：B． 　 10．已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則△APF的面積為（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：由雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)F（2，0）， PF與x軸垂直，設(shè)（2，y），y＞0，則y=3， 則P（2，3）， ∴AP⊥PF，則丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面積S=×丨AP丨×丨PF丨=， 同理當(dāng)y＜0時(shí)，則△APF的面積S=， 故選D． 　 二．填空題（共2小題） 11．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=8，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是　20?。? 【解答】解： ∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8 ∵雙曲線x2﹣=1的通徑為==8 ∵PQ=8 ∴PQ是雙曲線的通徑 ∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4 ∵由題意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2 ∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12 ∴△PF2Q的周長(zhǎng)=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20， 故答案為20． 　 12．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為　?。? 【解答】解：取PF2的中點(diǎn)A，則 ∵， ∴2?=0， ∴， ∵OA是△PF1F2的中位線， ∴PF1⊥PF2，OA=PF1． 由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2a， ∵|PF1|=|PF2|， ∴|PF2|=，|PF1|=． △PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2， ∴（）2+（）2=4c2， ∴e=． 故答案為：． 　 三．解答題（共4小題） 13．已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線C：x2﹣=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF1F2=30°． （1）求雙曲線C的方程； （2）過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求?的值． 【解答】解：（1）設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為， 因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以，即，所以， 在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分） 由雙曲線的定義可知： 故雙曲線C的方程為：…（6分） （2）由條件可知：兩條漸近線分別為…（8分） 設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q（x0，y0），設(shè)兩漸近線的夾角為θ， 則點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離分別為，…（11分） 因?yàn)镼（x0，y0）在雙曲線C：上， 所以，又cosθ=， 所以=﹣…（14分） 　 14．已知曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲線C2：+=1有相同的焦點(diǎn)，曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍． （Ⅰ）求曲線C1的方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是曲線C1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，連AF交曲線C1的右支于點(diǎn)B，作BC垂直于定直線l：x=，垂足為C，求證：直線AC恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)． 【解答】（Ⅰ）解：由題知：a2+b2=2，曲線C2的離心率為…（2分） ∵曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍， ∴=即a2=b2，…（3分） ∴a=b=1，∴曲線C1的方程為x2﹣y2=1； …（4分） （Ⅱ）證明：由直線AB的斜率不能為零知可設(shè)直線AB的方程為：x=ny+ …（5分） 與雙曲線方程x2﹣y2=1聯(lián)立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分） 由題可設(shè)點(diǎn)C（，y2）， 由點(diǎn)斜式得直線AC的方程：y﹣y2=（x﹣） …（9分） 令y=0，可得x=== …（11分） ∴直線AC過(guò)定點(diǎn)（，0）． …（12分） 　 15．已知雙曲線Γ：的離心率e=，雙曲線Γ上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為﹣1． （Ⅰ）求雙曲線Γ的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)？若直線l存在，請(qǐng)求直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可得e==， 當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，可得PF取得最小值， 即有c﹣a=﹣1， 解得a=1，c=，b==， 可得雙曲線的方程為x2﹣=1； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）假設(shè)存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)， 且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)． 設(shè)R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1， 兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1+x2=2，y1+y2=2， 可得直線l的斜率為k===2， 即有直線l的方程為y﹣1=2（x﹣1），即為y=2x﹣1， 代入雙曲線的方程，可得2x2﹣4x+3=0， 由判別式為16﹣4×2×3=﹣8＜0， 可得二次方程無(wú)實(shí)數(shù)解． 故這樣的直線l不存在． 　 16．已知雙曲線C：的離心率e=，且b=． （Ⅰ）求雙曲線C的方程； （Ⅱ）若P為雙曲線C上一點(diǎn)，雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為E、F，且?=0，求△PEF的面積． 【解答】解：（Ⅰ）∵C：的離心率e=，且b=， ∴=，且b=， ∴a=1，c= ∴雙曲線C的方程； （Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q 由雙曲線定義：|p﹣q|=2a=2 平方得：p2﹣2pq+q2=4 ?=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12 所以pq=4 即S=|PE|?|PF|=2． 　 第14頁(yè)（共14頁(yè)）