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1、,哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 矩陣論教學(xué)團(tuán)隊(duì),Department of Mathematics, College of Sciences,書后要求的習(xí)題,主動(dòng)自覺做,抽查和不定時(shí)收取,使用教材, 矩陣論教程國防工業(yè)出版社 2012,其他輔導(dǎo)類參考書（自選）,課 程 要 求,作業(yè)要求,矩陣論網(wǎng)站,,,授課預(yù)計(jì) (8學(xué)時(shí)),第一章 線性空間與線性映射,線 性 空 間,線 性 子 空 間,線性映射與線性變換,線性變換的不變子空間,線性空間的同構(gòu),,,教 學(xué) 內(nèi) 容 和 基 本 要 求,,2, 掌握子空間與維數(shù)定理，理解子空間的相關(guān)性質(zhì)；,3, 理解線性映射及線性變換的概念，掌握線性映射及變

2、 換 的矩陣表示。掌握線性映射的值域、核等概念 .,重點(diǎn): 線性空間的概念；子空間的維數(shù)定理；線性映射 及線性變換;不變子空間 難點(diǎn): 基變換與坐標(biāo)變換;不變子空間,4, 理解線性變換的不變子空間得相關(guān)概念和性質(zhì),1，理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式；,,線性空間是解析幾何和線性代數(shù)中向量概念的抽象化。 本章將給出線性映射和線性變換的概念與性質(zhì)，同時(shí)也建立了矩陣和線性映射及線性變換之間的一種關(guān)系,線性空間既是代數(shù)學(xué)的基本概念，也是矩陣論的基本概念之一，本章首先介紹這一概念。學(xué)習(xí)過這一部分內(nèi)容的同學(xué)可以將本章作為對(duì)所學(xué)知識(shí)的回顧和延伸。,,對(duì)于一個(gè)有限維的n維線性空間V

3、，設(shè)T是一個(gè)線性變換，總有TVV，如何才能選到V的一個(gè)基，使T關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有盡可能簡單的形式. 由于一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣是相似的. 因而問題也可以這樣提出：在一切彼此相似的n階矩陣中，如何選出一個(gè)形式盡可能簡單的矩陣？,線性變換的不變子空間,1.4,本節(jié)介紹一個(gè)關(guān)于線性變換的重要概念不變子空間. 同時(shí)利用不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系.,,,,定義1,設(shè) 是數(shù)域F上線性空間V的線性變換，,則稱W是的不變子空間，簡稱為 子空間.,W是V的的子空間，若 有,,Hot,定理1,兩個(gè)子空間的交與和仍是子空間,,子空間,設(shè) 則W是,證

4、： 顯然成立.,任取 設(shè),則,,定理2,的充要條件是,故 為 的不變子空間.,所以， 也為 的不變子空間.,又任取 有,例1.,證：,對(duì)存在 使,于是有:,為 的不變子空間.,若 則 與 都是 子空間.,其次，由 對(duì),有 所以,只需證明 即有:,例2.,,故 為 的不變子空間.,例3.任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間.,例4. 線性變換 的特征子空間 是 的,有,不變子空間.,例5.由 的特征向量生成的子空間是 的不變子空間,的特征向量.,,為 的不變子空間.,證：設(shè) 是的分別屬于特征值,任取,事實(shí)上，因?yàn)閃是

5、V的不變子空間.,均可被,線性表出.,即，,從而，,設(shè),,,在這組基下的矩陣為,若 ，則,為V的一組基，且在這組基下 的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角陣,設(shè) 是 維線性空間V的線性變換， 都是,的不變子空間，而 是 的一組基，且,（1）,定理4,,的子空間 為 的不變子空間，且V具有直和分解：,由此即得：,下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角矩陣(1), 則由生成,V的線性變換在某組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形,V可分解為一些的不變子空間的直和.,反之，若 在基,,,設(shè)3維線性空間V的線性變換在基,下的矩陣為,證明： 是的不變子空間.,令,由,練習(xí)1,解答,有,即,故W為的不變子空間.,Good,Bye,