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1、第七章,第二節(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量的線性運算,二、向量的坐標(biāo)表示,一、向量的概念及線性運算,二、向量的模與方向余弦,向量的表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量。,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,注意: 如不特殊說明，以后討論的向量都是自由向量,,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩

2、向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,,則稱此,k個向量共面 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,3. 向量與數(shù)的乘法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)乘符合下列運算規(guī)律

3、：,（1）結(jié)合律：,（2）分配律：,1. 某向量的單位向量,按照向量數(shù)乘的定義，,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 向量的共線,若一組向量平行于同一條直線（認(rèn)為零向量平行于任何一條直線），則稱它們是共線的，這組向量也稱共線向量（或平行向量）,幾個常用概念：,證明：,充分性：顯然。,定理1:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,必要性：,結(jié)論成立,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩式相減，得,例1:試用向量方法證明：對角線互相平分的 四邊形必是平行四邊形.,證,,,,,,,,,,,結(jié)論得證.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3、向量在軸上的投影與投影定理,,空間一點在軸上的投

4、影,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,空間一向量在軸上的投影,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或,,,,,說明：,投影為正；,投影為負(fù)；,投影為零。,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,關(guān)于向量的投影定理（1）,,證,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,關(guān)于向量的投影定理（2）,,,,,,,,,（可推廣到有限多個）,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于向量的投影定理（3）,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,空間一點在平面上的投影,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,空間一向量在平面上的投影,

5、三、向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下，起點在坐標(biāo)原點的向量,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,稱為向徑。,向量，,因為，我們所討論的向量都是自由,所以，在空間直角坐標(biāo)系下,,,設(shè)點,則,沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.,,,,,,,,,,M 的坐標(biāo)為,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,向量線性運算的坐標(biāo)表示,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如：,說明：,解,,,由題意知：,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,正確答案是：(4),半徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時

6、 ,,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,其上一,定點的軌跡稱為擺線.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,2a,2a,,a,,t,,a,,,a,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,a,解：,故擺線的方程為,,四、向量的模與方向余弦,空間兩向量的夾角的概念：,,,,特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可取0與 之間任意取值.,設(shè),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量模長的坐標(biāo)表示式,方向角與方向余弦,與三坐標(biāo)軸,方向角的余弦稱為方向余弦.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的夾角 , , ,方向角：,方向余弦：,,,,稱為其方向角。,方向余弦的性質(zhì),,（2）

7、,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,（1）,解：,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量的概念,向量的加減法,向量與數(shù)的乘法,（注意與標(biāo)量的區(qū)別）,（平行四邊形法則）,（注意數(shù)乘后的方向）,五、小結(jié),向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).,向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.,（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,習(xí)題6-2(P10) 4 , 8, 11, 13, 16,作業(yè)：,解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,解：,3.,設(shè),求以向量,為邊的平行四邊形的對角線的長度 .,,,,,該平行四邊形的對角線的長度各為,對角線的長為,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,