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1、第一節(jié) 差分方程的基本概念,一、 差分的概念,定義1 設(shè)函數(shù)yt=f(t)在t=,-2,-1,0,1,2,處有定義,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,y-2,y-1,y0,y1,y2,,則函數(shù)yt=f(t)在時(shí)間t的一階差分定義為 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t) 依此定義類推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ,一階差分的性質(zhì),(1) 若yt=C(C為常數(shù)),則Dyt=0; (2) 對(duì)于任意常數(shù)k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt,定義2 函數(shù)yt=f(t)在時(shí)刻t的二

2、階差分定義為一階差分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt 依此定義類推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, 類推,計(jì)算兩個(gè)相繼的二階差分之差,便得到三階差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ,一般地,k階差

3、分(k為正整數(shù))定義為 這里,二、 差分方程,定義3 含有未知函數(shù)yt=f(t)以及yt的差分yt, 2yt,的函數(shù)方程,稱為常差分方程(簡(jiǎn)稱差分方程);出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù),稱為差分方程的階.,n階差分方程的一般形式為 F(t,yt, yt,, nyt)=0, 其中F是t,yt, yt,, nyt的已知函數(shù),且nyt一定要在方程中出現(xiàn),定義3 含有兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù)值yt,yt+1,的函數(shù)方程,稱為(常)差分方程,出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差,稱為差分方程的階,n階差分方程的一般形式為 F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0, 其中F為t,yt,yt+1,，yt

4、+n的已知函數(shù),且yt和yt+n一定要在差分方程中出現(xiàn).,三、 差分方程的解,定義4 如果將已知函數(shù)yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使其對(duì)t=,-2,-1,0,1,2,成為恒等式,則稱yt=j(t)為方程的解.含有n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù)C1,C2,,Cn的解 yt=(t,C1,C2,,Cn) 稱為n階差分方程的通解.在通解中給任意常數(shù)C1,C2,,Cn以確定的值所得的解,稱為n階差分方程的特解.,例如,函數(shù)yt=at+C(a為已知常數(shù),C為任意常數(shù))是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函數(shù)yt=at,yt=at-1,均是這個(gè)差分方程的特解.,由差分方程的通解來(lái)確

5、定它的特解,需要給出確定特解的定解條件.n階差分方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0常見的定解條件為初始條件. y0=a0, y1=a1，,yn-1=an-1， 這里a0,a1,a2,，an-1均為已知常數(shù),只要保持差分方程中的時(shí)間滯后結(jié)構(gòu)不變,無(wú)論對(duì)t提前或推后一個(gè)相同的等間隔值,所得新方程與原方程是等價(jià)的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0 與方程 ayt+2-byt+1=0 都是相互等價(jià)的,四、 線性差分方程及其基本定理,形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2++an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t) 的差分方程,稱為n階非齊次

6、線性差分方程.其中a1(t),a2(t),,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函數(shù),且an(t)0,f(t)0.而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,稱為n階齊次線性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,，n)為t的已知函數(shù),且an(t)0.,如果ai(t)=ai(i=1,2,,n)均為常數(shù)(an0),則有 yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2++an-1yt+1+anyt=f(t)， yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2++an-1yt+1+anyt=0 分別稱為n階常系數(shù)非齊次線性差分方程和

7、n階常系數(shù)齊次線性差分方程.,定理1(齊次線性差分方程解的疊加原理) 若y1(t),y2(t),,ym(t)是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2++an-1yt+1+anyt=0的m個(gè)特解(m2),則其線性組合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)++Amym(t)也是方程 的解,其中A1，A2，，Am為任意常數(shù),定理2 n階齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 ++an-1yt+1+anyt=0一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,定理3(齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理) 如果y1(t),y2(t),,yn(t)是齊次線性差分方程yt+n+a

8、1yt+n-1 +a2yt+n-2 ++an-1yt+1+anyt=0的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則方程 的通解為： yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)++Anyn(t)， 其中A1，A2，，An為n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù),定理4(非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)定理) 如果 (t)是非齊次線性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 ++an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的一個(gè)特解,yA(t)是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 ++an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齊次線性差分方程的通解為： y(t)=yA(t)+ (

9、t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)++Anyn(t)+ (t)， 這里A1，A2,,An為n個(gè)任意(獨(dú)立)常數(shù),第二節(jié) 一階常系數(shù)線性差分方程,一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)為t的已知函數(shù),a0為常數(shù).分別稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程和其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程.,一、 齊次差分方程的通解,將方程yt+1+ayt=0改寫為:yt+1=-ayt, t=0,1,2,,假定在初始時(shí)刻(即t=0)時(shí),函數(shù)yt取任意值A(chǔ),那么由上式逐次迭代,算得 y1=-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2

10、A, ,方程的通解為yt =A(-a)t, t=0,1,2,,如果給定初始條件t=0時(shí)yt=y0,則A=y0,此時(shí)特解為： yt =y0(-a)t,二、 非齊次方程的通解與特解,1. 迭代法求通解,將方程改寫為 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,,逐步迭代,則有 y1=(-a)y0+f(0), y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1), y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), ,由數(shù)學(xué)歸納法,可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)++f(t-1) =(-a)ty0+ , (t=0,1,2,)

11、，,yA(t)=(-a)ty0為 對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解.,解,例,方程的通解,2.待定系數(shù)法求特解,情形 f(t)為常數(shù),方程變?yōu)閥t+1+ayt=b, a,b均為非零常數(shù),試以 (為待定常數(shù))形式的特解代入方程得 +a =(1+a) =b,當(dāng)a-1時(shí),可求得特解,方程的通解為,解,例,情形 f(t)為t的多項(xiàng)式,不妨設(shè)f(t)=b0+b1t(t的一次多項(xiàng)式),即 yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,， 其中a,b0,b1均為常數(shù),且a0,b10,試以特解 =a+bt,(a,b為待定系數(shù))代入方程得 a+b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，,上式對(duì)一切t值均成立

12、,其充分必要條件是：,當(dāng)1+a0時(shí),即a-1時(shí)，,方程的特解為,當(dāng)a=-1時(shí),改設(shè)特解 =(a+bt)t=at+bt2,將其代入方程可求得特解,方程的通解為,解,例,情形 f(t)為指數(shù)函數(shù),不妨設(shè)f(t)=bdt, b,d均為非零常數(shù),方程變?yōu)? yt+1+ayt=bdt, t=0,1,2,,求得特解,當(dāng)a+d0時(shí),設(shè)方程有特解 =mdt, m為待定系數(shù).將其代入方程得 mdt+1+amdt=bdt,,當(dāng)a+d=0時(shí),改設(shè)方程的特解 =tdt,為待定系數(shù),將其代入方程可求得特解 =btdt,方程的通解為,解,例,情形 f(t)為正弦、余弦型三角函數(shù),設(shè)f(t)=b1cost+b2s

13、int,其中b1,b2,均為常數(shù),且 0,b1與b2不同時(shí)為零.于是非齊次方程變?yōu)?yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a0, t=0,1,2,,設(shè)方程有特解 =acost+bsint,a,b均為待定系數(shù).,將其代入方程得 acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint =b1cos t+b2sint,,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =b1cost+b2sint,(acos+bsin +aa)cost+(-asin +bcos +ab)sinwt =b1cost+b2sint,上式對(duì)t=0,1,2,恒成立

14、的充分必要條件是,其系數(shù)行列式,當(dāng)D0時(shí),則可求得其解,當(dāng)D=(a+cosw)2sin2w=0時(shí),則有,改設(shè)特解,代入方程并整理可得,方程的通解為,例 求差分方程yt+1-2yt=cost的通解,解 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 yA(t)=A2t,設(shè)非齊次方程的特解為 =acost+bsint, 其中a, b為待定系數(shù),將其代入原方程,并利用三角函數(shù)的和角公式,得,所給方程的通解為,第三節(jié) 二階常系數(shù)線性差分方程,二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,， 其中f(t)為t的已知函數(shù),a1,a2為已知常數(shù),且a20,稱為二階常系數(shù)非齊次線性

15、差分方程 特別地,當(dāng)f(t)0時(shí),方程變?yōu)?yt+2+a1yt+1+a2yt=0 稱為對(duì)應(yīng)的齊次差分方程,一、 齊次差分方程的通解,稱2a1+a2=0為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程或其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程它的解(或根)稱為方程的特征根(值),特征方程的兩個(gè)根為,(1) 特征根為相異的兩實(shí)根,當(dāng)0時(shí),1, 2為兩相異的實(shí)根. y1(t)= 1t與y2(t)=2t是齊次差分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.,齊次差分方程的通解,1,2由特征方程確定,A1,A2為兩任意(獨(dú)立)常數(shù),例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解,解 特征方程為2-7+12=( -3)( -4)

16、=0,,有兩相異實(shí)特征根 1=3, 2=4,原方程的通解為,(2) 特征根為兩相等的實(shí)根,當(dāng)=0時(shí),=1=2= 為兩相等的實(shí)根.,方程的一個(gè)特解：yt(t)=t,方程的另一個(gè)特解為y(t)=tt，且與t線性無(wú)關(guān).,方程的通解為,例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.,解 特征方程為2-4+4=(-2)2=0，,方程有重特征根 = 1= 2=2,原方程的通解為 yA(t)=(A1+A2t)2t, A1,A2為任意常數(shù),(3) 特征根為一對(duì)共軛復(fù)根,當(dāng)0時(shí),1, 2為一對(duì)共軛復(fù)根.,1,2=i=r(cosisin),y1(t)=rtcost, y2(t)=rtsint 是方程的兩

17、個(gè)線性無(wú)關(guān)特解.,方程的通解為 yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t) 其中 A1，A2為任意常數(shù).,例 求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解,解 特征方程 2-2+2=(-1)21=0,特征根為一對(duì)共軛復(fù)根 1,2=1i,方程的通解為,二、 非齊次方程的特解與通解,例 求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解,解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 yA(t)=A13t+A24t，,原方程的通解為 yt=yA(t)+=A13t+A24t+1， 這里A1,A2為任意常數(shù),由于1+a1+a2=1-7+120,設(shè)特解 =B,B為待定常數(shù),將其代入原方程,求得B=1.,例 求

18、差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解,解 特征方程為2-3+2=(-1)(-2)=0,,特征根1=1,2=2.,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 yA(t)=A1+A22t,因1+a1+a2=1-3+2=0,故應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解為 =Bt,B為待定系數(shù),將其代入原方程,求得B=-4,原方程的通解為 yt=yA(t)+ =A1+A22t-4t， 這里A1,A2為任意常數(shù),例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.,解 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 yA(t)=(A1+A2t)2t,此式對(duì)t=0,1,2,恒成立的充要條件是 B0-2B1=3, B1=2. 由此解得：B0=7，B1=2

19、,設(shè)非齊次方程有特解 =B0+B1t,B0,B1為待定系數(shù).將其代入原方程中,得 (B0-2B1)+B1t=3+2t,,所求非齊次方程的特解為,原方程的通解為,A1,A2為任意常數(shù),例 求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解,解 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 yA(t)=(A1+A2t)2t,設(shè)所給非齊次方程的特特為 =B5t,B為待定系數(shù).,將其代入所給方程,可得 B5t+2-4B5t+1+4B5t=5t,非齊次方程的特解為,所給方程的通解為,其中A1,A2為任意常數(shù),常系數(shù)線性齊次差分方程的一般形式為,其中,為差分方程的階數(shù)，其中,為差分方程,的系數(shù)，且,對(duì)應(yīng)的特征方程,,(1),

20、1 特征根為單根(互不相同的根),設(shè)差分方程(1)有,個(gè)單特征根(互不相同的根),則該差分方程(1)的通解為,為任意常數(shù)，且當(dāng)給定初始條件,時(shí)，可以確定一個(gè)特解。,其中,2 特征根為重根,設(shè)差分方程(1)有,。則該差分方程(1)的通解為,,,,個(gè)根 ，重?cái)?shù)分別為,，且,,,3 特征根為復(fù)根,一對(duì)共軛復(fù)根,和相異的,個(gè)單根,,。則該差分方程(1)的通解為,,其中,，,設(shè)差分方程具有形如,的特解.,若,當(dāng) 時(shí)，(*)式左端為 次多項(xiàng)式，要使 (*) 式成立，則要求,故可設(shè)差分方程（8）具有形如,的特解.,前面三種情況都是差分方程（8）的特殊情形：,當(dāng) 時(shí)，取 否則，取,第四節(jié)差分

21、方程平衡點(diǎn)、穩(wěn)定性,對(duì)于k階差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1),若有xn = x (n), 滿足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k )) = 0,,則稱xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含 個(gè)任意常數(shù)的解稱為(1)的通解, x0, x1, , xk-1為已知時(shí)稱為(1)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(1)的特解.,若x0, x1, , xk-1已知, 則形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).,若有常數(shù)a是差分方程(1)的

22、解, 即,F (n; a, a, , a ) = 0, 則稱 a是差分方程(1)的平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程(1)的任意由初始條件確定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的. 一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b為常數(shù), 且a -1, 0)的通解為 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn), 由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).,二階常系數(shù)線性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r為常數(shù).,當(dāng)r = 0時(shí), 它有一特解 x*

23、= 0； 當(dāng)r 0, 且a + b + 1 0時(shí), 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方程 2 + a + b = 0 的兩個(gè)根分別為 =1, =2., 當(dāng)1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 當(dāng)1, 2=是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為 xn= x* + (C1 + C2 n)n; 當(dāng)1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易

24、知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 |i |1時(shí), 平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的.,則,對(duì)于一階非線性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程 x = f (x) 解出. 為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程,市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型,問(wèn) 題,供大于求,現(xiàn) 象,商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定,當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定,,描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律,數(shù)量與價(jià)格在振蕩,蛛 網(wǎng) 模 型,xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格,消費(fèi)者的需求關(guān)系,生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系,減函數(shù),增函數(shù),f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn),一旦xk=

25、x0，則yk=y0,,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,,設(shè)x1偏離x0,x1,,,,,,,,P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn),P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn),,曲線斜率,蛛 網(wǎng) 模 型,,在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線,,,P0穩(wěn)定,P0不穩(wěn)定,,,方 程 模 型,方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致, 商品數(shù)量減少1單位, 價(jià)格上漲幅度, 價(jià)格上漲1單位, (下時(shí)段)供應(yīng)的增量,考察 , 的含義, 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度, 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度,小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定, 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定,結(jié)果解釋,xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格,結(jié)果解釋,經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法,1. 使 盡量小，如 =0,以行政手段控制價(jià)格不變,2. 使 盡量小，如 =0,靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變,結(jié)果解釋,模型的推廣,生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。,生產(chǎn)者管理水平提高,設(shè)供應(yīng)函數(shù)為,需求函數(shù)不變,,二階線性常系數(shù)差分方程,x0為平衡點(diǎn),研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件,,方程通解,(c1, c2由初始條件確定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:,平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件,比原來(lái)的條件 放寬了,,模型的推廣,