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第一章 行列式,§1 二階與三階行列式,1. 二階行列式,二元線性方程組,當(dāng),時(shí)，方程組有唯一解,用消元法,得,記,則有,于是,二階行列式，記作,也稱為方程組的系數(shù)行列式。,行標(biāo),列標(biāo),(1,2) 元素,對角線法則:,例. 解方程組,解：,2. 三階行列式,類似地，討論三元線性方程組,為三階行列式, 記作,稱,對角線法則：,,,,,,,例：,§2 全排列與逆序數(shù),定義1：把 n 個(gè)不同的元素排成的一列, 稱為這 n 個(gè)元素的一個(gè)全排列, 簡稱排列。,把 n 個(gè)不同的元素排成一列, 共有 Pn個(gè)排列。,P3 = 3×2×1 = 6,例如：1, 2, 3 的全排列,123，231，312，132，213，321,共有3×2×1 = 6種，即,一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!,P3 = 3×2×1 = 6,標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)號由小到大的排列。,定義2：,在n個(gè) 元素的一個(gè)排列中，若某兩個(gè)元素 排列的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，就稱這兩個(gè) 數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列中所有逆序的 總和稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。,一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：,設(shè) p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一個(gè)排列，,用 ti 表示元素 pi 的逆序數(shù)，即排在 pi 前面并比,t = t1 + t2 + … + tn,pi 大的元素有 ti 個(gè)，則排列的逆序數(shù)為,例4：求排列 32514 的逆序數(shù)。,解：,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。,例如：123 t = 0 為偶排列，,312 t = 2 為偶排列。,321 t = 3 為奇排列，,§3 n 階行列式的定義,觀察二、三階行列式，得出下面結(jié)論：,每項(xiàng)都是處于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積。 2. n 階行列式是 n！項(xiàng)的代數(shù)和。 3. 每項(xiàng)的符號都是由該項(xiàng)元素下標(biāo)排列的奇偶性 所確定。,定義1： n! 項(xiàng),的和,稱為 n 階行列式 (n≥1)，記作,例1：寫出四階行列式中含有因子,的項(xiàng)。,例2：,計(jì)算四階行列式,D =,,,,,,,,,acfh,+ bdeg,– adeh,– bcfg,重要結(jié)論：,(1),上三角形行列式,(2),下三角形行列式,(3) 對角行列式,(4) 副對角行列式,行列式的等價(jià)定義,§5 行列式的性質(zhì),稱 DT 為 D 的轉(zhuǎn)置行列式。,設(shè),則,D 經(jīng)過“行列互換”變?yōu)?DT,性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。,證明：設(shè),則,由行列式定義,性質(zhì)2：互換行列式的兩行 ( 列 )，行列式變號。,互換 s、t 兩行：,互換 s、t 兩列：,“運(yùn)算性質(zhì)”,推論：若行列式有兩行（列）相同， 則行列式為 0 。,性質(zhì)3：用非零數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式。,“運(yùn)算性質(zhì)”,用 k 乘第 i 行：,用 k 乘第 i 列：,推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符號外面。,性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比 例，則行列式等于0 。,性質(zhì)5：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等 于如下兩個(gè)行列式的和。,,性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一數(shù) k 后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素 上去，行列式的值不變。,用數(shù) k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用數(shù) k 乘第 t 列加到第 s 列上：,“運(yùn)算性質(zhì)”,利用行列式性質(zhì)計(jì)算：,（化為三角形行列式）,例1：計(jì)算,,,,,,例2：計(jì)算,“行等和”行列式,例10：設(shè),證明：,,,0,,,證明：利用行的運(yùn)算性質(zhì) r 把,化成下三角形，,再利用列的運(yùn)算性質(zhì) c 把,化成下三角形，,對 D 的前 k 行作運(yùn)算 r，后 n 列作運(yùn)算 c, 則有,,,例,§6 行列式按行（列）展開,問題：一個(gè) n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n－1 階行列式來計(jì)算？,對于三階行列式，容易驗(yàn)證：,定義1：在 n 階行列式中，把元素,所在的第 i 行,和第 j 列劃去后，余下的 n－1 階行列式叫,的余子式, 記為,稱為 (i, j)元素,的代數(shù)余子式。,做 (i, j) 元素,, 同時(shí),例如：,,,考慮( 2, 3) 元素,( 2, 3)元素的余子式,( 2, 3)元素的代數(shù)余子式,定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素與 其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,證明：分三種情況討論，只對行來證明此定理。,(1),利用上一節(jié)例10的結(jié)論有,(2),設(shè) D 的第 i 行除了,把 D 轉(zhuǎn)化為 (1) 的情形,外都是 0 。,先把 D 的第 i 行依次與第 i –1行, 第 i –2行, ···, 第 1 行交換, 經(jīng)過 i –1次行交換后得,,再把 第 j 列依次與第 j–1列, 第 j–2列, ···, 第 1 列交換, 經(jīng)過 j–1次列交換后得,,(3) 一般情形, 考慮第 i 行,例,或者,那么,,推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零， 即,綜上，得公式,例12: 證明范德蒙德( Vandermonde )行列式,證明：用數(shù)學(xué)歸納法,(1) 當(dāng) n = 2 時(shí),,(2) 設(shè) n－1 階范德蒙德行列式成立, 則,,=,有,個(gè)因子!,例：,例：,設(shè),求,解:,例：,D,按第4列展開，然后各列的提出公因子,=,例：,D,例：,D,§7 Cramer 法則,Cramer法則：,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，,即,則線性方程組(11)有唯一解，,其中,證明：,再把 n 個(gè)方程依次相加，得,當(dāng) D≠0 時(shí),方程組(1)也即(11)有唯一的解,于是,例1：用 Cramer 法則解線性方程組。,解：,定理4：,定理4’：,如果線性方程組(11)的系數(shù)行列式 D≠0 則(11)一定有解, 且解是唯一的。,如果線性方程組(11)無解或有兩個(gè)不同的 解，則它的系數(shù)行列式必為零。,Cramer 法則也可以敘述為,定理 4 的逆否命題是,線性方程組,非齊次與齊次線性方程組的概念:,不全為零，則稱此方程,若常數(shù)項(xiàng),組為非齊次線性方程組；若,全為零，,則稱此方程組為齊次線性方程組。,齊次線性方程組,易知，,是(13)的解，稱為零解。,若有一組不全為零的數(shù)是(13)的解，稱為非零解。,定理5：,定理5’：,如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D≠0,則齊次線性方程組沒有非零解。,對于齊次線性方程組有,如果齊次線性方程組有非零解，,則它的系數(shù)行列式必為0。,例：問 l 取何值時(shí)，齊次線性方程組,有非零解？,解：,因齊次方程組有非零解，則 D = 0,故 l = 0, 2, 3 時(shí)齊次方程組可能有非零解。,例: 求平面上兩兩不重合的三條直線,相交于一點(diǎn)的條件。,解：首先,由三條直線相交于一點(diǎn)，故線性方程組,有唯一解。,不妨設(shè) ( x, y, 1) 是方程組(1)的解, 則它是方程組,的非零解。于是有,其次,由三條直線相交于一點(diǎn)，故其中任意二條直線相交于一點(diǎn), 故非齊次線性方程組,都有惟一解。于是,