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圓錐曲線的幾何性質(zhì) x y o F11 F2 A B 一、橢圓的幾何性質(zhì)（以+=1（a﹥b﹥0）為例） 1、⊿ABF2的周長(zhǎng)為4a(定值) 證明：由橢圓的定義 即 2、焦點(diǎn)⊿PF1F2中： x y o F1 F22 P （1）S⊿PF1F2= （2）（S⊿PF1F2）max= bc （3）當(dāng)P在短軸上時(shí)，∠F1PF2最大 證明：（1）在中 ∵ ∴ ∴ ∴ （2）（S⊿PF1F2）max = （3 x y o F1 F2 P M 當(dāng)=0時(shí) 有最小值 即∠F1PF2最大 3、 過(guò)點(diǎn)F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分線的垂線，垂足為M ， 則M 的軌跡是x2+y2=a2 證明：延長(zhǎng)交于，連接 由已知有 為中點(diǎn) ∴ == 所以M的軌跡方程為 x y o F1 F2 P 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切 證明：取的中點(diǎn)，連接。令圓的直徑，半徑為 ∵ = ∴ 圓與圓內(nèi)切 ∴ 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切 x y o F1 F2 P III R 5、任一焦點(diǎn)⊿PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，連結(jié)PI延長(zhǎng)交長(zhǎng)軸于R， 則 ∣IR∣：∣IP∣=e 證明：證明：連接由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有 ∵ ∴ y x o F1 F2 A B 6、以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。 證明：令到準(zhǔn)線的距離為 以為直徑的圓的圓心為到準(zhǔn)線的距離為。 ∵ ∵ ∵ ∴ ∴以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離 7、A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P在橢圓上，則： （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ x y o F1 F2 P P A· 證明：連接 ∵ ∵ ∴ ∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ x y o F A· 8、A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則 （∣PA∣+）min = A到右準(zhǔn)線的距離 證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d,由橢圓的第二定義有 ∴（∣PA∣+）min = = A到右準(zhǔn)線的距離. 9、焦點(diǎn)⊿PF1F2的旁心在直線 x=±a 上。 證明：令☉I與⊿PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、A x y o F1 F2 P NII A2 I M ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即為橢圓頂點(diǎn)。 ∴ 焦點(diǎn)⊿PF1F2的旁心在直線 x=±a 上 10、P是橢圓上任意一點(diǎn)，PF2的延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于E，K是準(zhǔn)線 上另一任意點(diǎn)，連結(jié)PK交橢圓于Q，則KF2平分∠EF2Q x y o F1 F2 E K Q P 證明：令P,Q到準(zhǔn)線的距離為 由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2平分∠EF2Q x y o F B A 11、 證明：令 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線方程為 ∵ ∴ ∴ = 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)， ∴ x y o F B A P 12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點(diǎn)， 則（定值） 證明：令 ， 則 ∵ ∵ ， ∴ ∴ 13、橢圓的短軸端點(diǎn)為B1、B2，P是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)B1P、B2P分別 交長(zhǎng)軸于N、M兩點(diǎn)，則有∣OM∣*∣ON∣ =a2 證明： x y o N M B2 P B1 ∴ ∵ 由于、、共線 ∴ ∵ 由于、、N共線 ∴ ∴ ∵ ∴ x y o F N A2 P A1 M 14、橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1、A 2，P是橢圓上任一點(diǎn)， 連結(jié)A1P、A2P并延長(zhǎng)，交一準(zhǔn)線于N、M兩點(diǎn)， 則M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900 證明：令， ∴ ∵ 由于、、共線 ∴ ∵ 由于共線 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900 y x o M1 F2 A B 15、過(guò)橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦AB過(guò) 該準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。 證明：設(shè) 則的方程為 即 必過(guò)點(diǎn) 16、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。 證明：設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線：，直線的法線交軸于 直線的法向量為： y x o F1 F2 P l m ∵ ∴ 同理 ∵ 同理 ∴ ∴ 即過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。 （1） ?F1 ?F2 P 二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 為例：） （1）焦點(diǎn)三角形面積： ?F1 ?F2 P M x y （2） (2)、過(guò)作∠F1PF2的內(nèi)角平行線的重線垂足M的軌跡是 F1 F2 P y x (3) (3)、以焦半徑為直徑作圓長(zhǎng)的焦半徑為直徑作圓與內(nèi)切，小的圓與外切。 F1 F2 A y x (4) B (4)、以焦點(diǎn)為直徑作圓與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 F1 F2 P y x (5) I (5)、焦點(diǎn)⊿PF1F2的內(nèi)切圓心橫生標(biāo)為±a即與實(shí)軸的切點(diǎn)一定是實(shí)軸端點(diǎn) （6）焦點(diǎn)弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對(duì)的圓心角為定值∠MCN＝2arccos F1 F2 B y x (6) C A M N F1 F2 P y x (7) A (7)、A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)P為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)=+＝－2a F1 F2 P y x (8) A B (8)、如圖：A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，＋等于A到右準(zhǔn)線的距離 F1 F2 P y x (9) （9）、焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b F1 F2 P y x (10) A B (10)、雙曲線上的任上點(diǎn)到兩漸近線的距離之積等于定值 F1 F2 P y x (11) A B O （11）、P是弦AB中點(diǎn)K．K＝定值 （12）、P為雙線上任一點(diǎn)過(guò)P點(diǎn)作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值ab F1 F2 P y x (12) M O N y ?F1 ?F2 P M x （13） 1 2 (13)、過(guò)P的切線平分∠F1PF2（光學(xué)性質(zhì)）即經(jīng)過(guò)一焦點(diǎn)的光線被雙曲線反射，反射光線的下長(zhǎng)線過(guò)另一焦點(diǎn) F1 F2 ② y x (14) ① ③ ① ② ③ （14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分 雙曲線上的點(diǎn) 漸近線上的點(diǎn) 區(qū)域①的點(diǎn) 區(qū)域②的點(diǎn) 區(qū)域③的點(diǎn) 過(guò)漸近線上的點(diǎn)（除中心）只能作一條切線，過(guò)中心無(wú)切線，沒(méi)有與兩支都相切的切線過(guò)區(qū)域①的點(diǎn)作切線分別在兩支上，過(guò)區(qū)域③的點(diǎn)作切線切點(diǎn)在同一支上，過(guò)區(qū)域②的點(diǎn)沒(méi)切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域①、②的點(diǎn)可作弦的中點(diǎn)，中心是任意過(guò)中心的弦的中點(diǎn)，漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域③的點(diǎn)不可能是弦中點(diǎn) F1 F2 y x (15) A B D C （15）直線L與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，則AC=BD 三、拋物線的幾何性質(zhì) 均以拋物線 X=-P/2 F y x A P (1) 如圖：A為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，＋等于A到準(zhǔn)線的距離 (2) 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）則有： ① X=-P/2 F y x A B ② ③ ④ ⑤ ⑥以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切 （3）過(guò)拋物線頂點(diǎn)作任意互相垂直的弦OA、OB，則弦AB必過(guò)定點(diǎn)（2p,0）；反之亦成立，即過(guò)定點(diǎn)（2p,0）作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則有OA垂直O(jiān)B y x A B F y x P Q R （4）過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，弦PQ的垂直平分線交拋物線的對(duì)稱軸于R，則 （5）過(guò)拋物線H上任一點(diǎn)P（X0,Y0）的切線方程為 14