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排列組合公式/排列組合計算公式 排列 P------和順序有關 組合 C -------不牽涉到順序的問題 排列分順序,組合不分 例如 把5本不同的書分給3個人,有幾種分法. "排列" 把5本書分給3個人,有幾種分法 "組合" 1．排列及計算公式 從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1). 2．組合及計算公式 從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列與組合公式 從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n為下標，m為上標)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是階乘符號）；Pnn（兩個n分別為上標和下標） =n??；0！=1；Pn1（n為下標1為上標）=n 組合（Cnm(n為下標，m為上標)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）?。籆nn（兩個n分別為上標和下標） =1 ；Cn1（n為下標1為上標）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。 公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。 N-元素的總個數(shù) R參與選擇的元素個數(shù) ！-階乘 ，如9?。?*8*7*6*5*4*3*2*1 從N倒數(shù)r個，表達式應該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); ?????因為從n到（n-r+1)個數(shù)為n－（n-r+1)＝r 舉例： Q1:?有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？ A1:? 123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。 ??上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應該有9-1種可能，個位數(shù)則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積） Q2:?有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”？ A2:? 213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計算范疇。 ??上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、組合的概念和公式典型例題分析 　　例1 　設有3名學生和4個課外小組．（1）每名學生都只參加一個課外小組；（2）每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加．各有多少種不同方法？ 解（1）由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法． （2）由于每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有 種不同方法． 點評?? 由于要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算． ??例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？ 　　解依題意，符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出： 　　　　∴ 符合題意的不同排法共有9種． 　　點評?? 按照分“類”的思路，本題應用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學模型． 　　例３　判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果． 　?。?）高三年級學生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ 　　（2）高二年級數(shù)學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學競賽，有多少種不同的選法？ 　?。?）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？ 　?。?）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 　　分析?。?）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題．其他類似分析． 　（1）①是排列問題，共用了 封信；②是組合問題，共需握手 （次）． ?。?）①是排列問題，共有 （種）不同的選法；②是組合問題，共有 種不同的選法． 　（3）①是排列問題，共有 種不同的商；②是組合問題，共有 種不同的積． ?。?）①是排列問題，共有 種不同的選法；②是組合問題，共有 種不同的選法． 　　例４　證明 ． 　　證明　 左式 　　　　　　　　　　　　 右式． 　　　　　∴ 等式成立． 　　點評　這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得以簡化． 　　例5　化簡 ． 　　解法一　原式 　　　　　　　　　　　　　 　　解法二　原式 　　點評?? 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì)，都使變形過程得以簡化． 　　例6　解方程：（1） ；（2） ． 　　解 （1）原方程 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 解得 ． 　　　?。?）原方程可變?yōu)? 　　　　　∵ ， ， 　　　　　∴ 原方程可化為 ． 　　　　　即 ，解得 第六章??排列組合、二項式定理 一、考綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題. 2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題. 3.掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題. 二、知識結(jié)構(gòu) ??????? 三、知識點、能力點提示 (一)加法原理乘法原理 說明??加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關問題提供了理論根據(jù). 例1??5位高中畢業(yè)生，準備報考3所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有多少種? 解：??5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每個學生都有3種不同的 報名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有 3×3×3×3×3=35(種) (二)排列、排列數(shù)公式 說明??排列、排列數(shù)公式及解排列的應用題，在中學代數(shù)中較為獨特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應用題，都是選擇題或填空題考查. 例2??由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有(????) A.60個????????B.48個????????C.36個????????D.24個 解??因為要求是偶數(shù)，個位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個位數(shù)的排法有P33，得P13P33P12＝36(個) 由此可知此題應選C. 例3??將數(shù)字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種? 解：??將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應3種填法，因此共有填法為 3P13=9(種). 例四　例五可能有問題，等思考 三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個性質(zhì) 說明??歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查. 例4??從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有(????) A.140種??????B.84種??????C.70種???????D.35種 解：??抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有C14·C25種；甲型2臺乙型1臺的取法有C24·C15種 根據(jù)加法原理可得總的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70(種 ) 可知此題應選C. 例5??甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1 項，丙、丁公司各承包2項，問共有多少種承包方式? 解：??甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 C38種； 乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C15種； 丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C24種； 丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種. 根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(種). (四)二項式定理、二項展開式的性質(zhì) 說明??二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的展開法則，在數(shù)學中它是常用的基礎知識 ，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項展開式中通項公式等，題型主要為選擇題或填空題. 例6??在(x- )10的展開式中，x6的系數(shù)是(????) A.-27C610????????B.27C410????????C.-9C610????????D.9C410 解??設(x- )10的展開式中第γ+1項含x6， 因Tγ+1=Cγ10x10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4 于是展開式中第5項含x 6，第5項系數(shù)是C410(- )4=9C410 故此題應選D. 例7????(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展開式中的x２的系數(shù)等于???????????????? 解：此題可視為首項為x-1，公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項的和，則其和為 在(x-1)6中含x3的項是C36x3(-1)3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是-2 0. (五)綜合例題賞析 例8??若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為(????) A.1????????????????????????B.-1?????????????C.0???????????D.2 解：A. 例9??2名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2 名護士，不同的分配方法共有(????) A.6種????????????B.12種??????????C.18種????????????D.24種 解??分醫(yī)生的方法有P22＝2種，分護士方法有C24=6種，所以共有6×2＝12種不同的分配方法。 應選B. 例10??從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其 中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同取法共有(????). A.140種??????????B.84種??????????C.70種???????????D.35種 解：取出的3臺電視機中，甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形. ∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70. ∴應選C. 例11??某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2 名代表，至少有1名女生當選的不同選法有(????) A.27種??????B.48種??????C.21種???????D.24種 解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類： ∵C13·C1 7+C23=3×7+3=24， ∴應選D. 例12??由數(shù)學0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的 六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(????). A.210個??????????????????B.300個 C.464個??????????????????D.600個 解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應有P15·P 55=600個. 由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半. ∴有 ×600=300個符合題設的六位數(shù). 應選B. 例13??以一個正方體的頂點為頂點的 四面體共有(????). A.70個???????????????????B.64個 C.58個???????????????????D.52個 解：如圖，正方體有8個頂點，任取4個的組合數(shù)為C48=70個. 其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如(ADB1C1 )的有4組. ∴能形成四面體的有70-6-2-4=58(組) 應選C. 例14??如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱 錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有(????). A.12對??????????????????????B.24對 C.36對??????????????????????D.48對 解：設正六棱錐為O—ABCDEF. 任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對. ∴共有C16×4=24對異面直線. 應選B. 例15??正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中三個點 為頂點的三角形共?????????個(以數(shù)字作答). 解：7點中任取3個則有C37=35組. 其中三點共線的有3組(正六邊形有3條直徑). ∴三角形個數(shù)為35-3=32個. 例16??設含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則 的值為????????????????。 解??10個元素的集合的全部子集數(shù)有： S＝C010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024 其中，含3個元素的子集數(shù)有T=C310=120 故 = 例17????????例17????????在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品，從中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共 ???????????種(用數(shù)字作答). 解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”. ∴C34·C246+C44·C146=4186(種) 例18??有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、 丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有(????). A.1260種?????????????????????B.2025種 C.2520種?????????????????????D.5040種 解：先從10人中選2個承擔任務甲(C210) 再從剩余8人中選1人承擔任務乙(C1 8) 又從剩余7人中選1人承擔任務乙(C1 7) ∴有C210·C1 8C1 7=2520(種). 應選C. 例19??集合｛1，2，3｝子集總共有(????). A.7個??????B.8個??????C.6個???????D.5個 解??三個元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一個，由一個元素組成的子集數(shù) C13，由二個元素組成的子集數(shù)C23。 由3個元素組成的子集數(shù)C33。由加法原理可得集合子集的總個數(shù)是 C13+C23+C33+1=3+3+1+1＝8 故此題應選B. 例20??假設在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有兩件次品的抽法有(????). A.C23C3197種????????B.C23C3197 +C33C2197 C.C5200-C5197????????????????D.C5200-C 13C4197 解：5件中恰有二件為次品的抽法為C23C3197， 5件中恰三件為次品的抽法為C33C2197， ∴至少有兩件次品的抽法為C23C3197+C33C2197. 應選B. 例21??兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座(每人一個座位)，則不同座法的總數(shù)是(????). A.C58C38?????????B.P12C58C38　　　C.P58P38?