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完美WORD格式資料 七年級數(shù)軸經(jīng)典題型總結(jié)(含答案) 【1、數(shù)軸與實際問題】 例1 5個城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時間（單位：時）在數(shù)軸上表示如下，那么北京時間2006年6月17日上午9時應(yīng)是（ ） A、倫敦時間2006年6月17日凌晨1時 B、紐約時間2006年6月17日晚上22時 C、多倫多時間2006年6月16日晚上20時 D、首爾時間2006年6月17日上午8時 解：觀察數(shù)軸很容易看出各城市與北京的時差 城市名稱 時差 北京時間 當(dāng)?shù)貢r間 紐約 －5－8=－13 17日上午9時 9－13=－4，24－4=20，17日晚上20時 多倫多 －4－8=－12 17日上午9時 9－12=－3，24－3=21，17日晚上21時 倫敦 0－8=－8 17日上午9時 9－8=1，16日凌晨1時 首爾 9－8=＋1 17日上午9時 9+1=10，16日上午10時 例2 在一條東西走向的馬路旁，有青少年宮、學(xué)校、商場、醫(yī)院四家公共場所。已知青少年宮在學(xué)校東300米處，商場在學(xué)校西200米處，醫(yī)院在學(xué)校東500米處。將馬路近似地看成一條直線，以學(xué)校為原點，以正東方向為正方向，用1個單位長度表示100米。 ① 在數(shù)軸上表示出四家公共場所的位置。 ② 計算青少年宮與商場之間的距離。 解： （1） （2）青少年宮與商場相距：3－(－2)=5 個單位長度 所以：青少年宮與商場之間的距離=5×100=500(米) 練習(xí) 1、如圖，數(shù)軸上的點P、O、Q、R、S表示某城市一條大街上的五個公交車站點，有一輛公交車距P站點3km，距Q站點0.7km，則這輛公交車的位置在（　　） A、R站點與S站點之間 B、P站點與O站點之間 C、O站點與Q站點之間 D、Q站點與R站點之間 解：判斷公交車在P點右側(cè)，距離P：(－1.3)+3=1.7(km)，即在原點O右側(cè)1.7處，位于Q、R間 而公交車距Q站點0.7km，距離Q：0.7+1=1.7(km)，驗證了，這輛公交車的位置在Q、R間 2、如圖，在一條數(shù)軸上有依次排列的臺機(jī)床在工作，現(xiàn)要設(shè)置一個零件供應(yīng)站，使這臺機(jī)床到供應(yīng)站的距離總和最小，點建在哪？最小值為多少？ 解： （此題是實際問題，涉及絕對值表示距離，后面會有更深入的理解） 此題揭示了，問題過于復(fù)雜時，要“以退為進(jìn)”，回到問題 的起點，找出規(guī)律。后面你還會遇到這種處理問題的辦法。 （1）假設(shè)數(shù)軸上只有A、B二臺機(jī)床時，很明顯，供應(yīng)站P應(yīng)該是設(shè)在A和B之間的任何地方都行， 反正P到A和P到B的距離之和就是A到B的距離，值為：1－(－1)=2； （2）假設(shè)數(shù)軸上有A、B、C三臺機(jī)床時，我們不難想到，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床B處最合適，因為如果P放在B處，P到A和P到C的距離之和恰好為A到C的距離，而如果把P放在別處，如原點處，P到A和P到C的距離之和仍是A到B的距離，可是B機(jī)床到原點還有一段距離，這是多出來的，所以，P設(shè)在B處時，P到A、B、C的距離總和最小，值為：2－(－1)=3； （3）如果數(shù)軸上有A、B、C、D四臺機(jī)床，經(jīng)過分析，P應(yīng)設(shè)BC之間任何地方，此時P到A、B、C、D的距離總和最小，值為：4－(－1)+BC距離=5+1=6； （4）如果數(shù)軸上有有5臺機(jī)床呢，經(jīng)過分析，P應(yīng)設(shè)在C處，此時P到5臺機(jī)床的距離總和最小，值為：AE距離+BC距離+CD距離=9+1+2=12； （5）擴(kuò)展：如果數(shù)軸上有n臺機(jī)床，要找一點P，使得P到各機(jī)床距離之和最小 ①如果n為奇數(shù)，P應(yīng)設(shè)在第臺的位置 ②如果n為偶數(shù)，P可設(shè)在第臺和第()臺之間任意位置 規(guī)律探索無處不在，你體會到了嗎？ 此題可變?yōu)椋? A、當(dāng)為何值時，式子有最小值，最小值為多少？ B、求的最小值。 3、老師在黑板上畫數(shù)軸，取了原點O后，用一個鐵絲做的圓環(huán)作為工具，以圓環(huán)的直徑在數(shù)軸上畫出單位長1，再將圓環(huán)拉直成一線段，在數(shù)軸的正方向上以此線段長自原點O起截得A點，則A點表示的數(shù)是_____________。 解：由題知：直徑為1個單位長度，那么半徑為的單位長度，圓的周長為：個單位長度 圓從原點沿著數(shù)軸的正方向拉直，那么點A表示的數(shù)就是 要注意審題，此題告訴我們無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來。 【2、數(shù)軸與比較有理數(shù)的大小】 例3 已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖。則在，，，中，最大的一個是（ ） A． B． C． D． 解： 應(yīng)試法：設(shè)數(shù)代入計算下最快速，如設(shè)a=，b=，C=，一下就可以得出答案D 正式的做法就是分析，a是負(fù)數(shù)且介于0和－1之間，那么是正數(shù)且大于1，是a的相反數(shù)，應(yīng)該在C附近，顯然也是小于1，由圖知趨近于0，綜上，答案還是D 例4 三個有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（ ） A． B． C． D． 解：應(yīng)試法：設(shè)數(shù)代入計算下最快速，如設(shè)c=1，b=2，c=4，代入計算，可以得出答案B 正式的做法就是逐個分析，采取排除法，跳出正確選項。 A中，，顯然錯誤； B中，， ，因此B對 與都是負(fù)數(shù)，絕對值大的，反而小，取倒數(shù)，分母大的，反而小 C、D為什么錯自己試一試分析。 練習(xí) 1、己知，兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）。 A． B． C． D． 解：由題知 ，因此A對。2個負(fù)數(shù)之積大于0，故B錯，數(shù)軸左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，所以C錯，2個負(fù)數(shù)之和還是負(fù)數(shù)，則D錯。 2、如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)實數(shù)、則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 解：由題知，，故B錯 ∵，∴，則，故A、D錯； ∵ ∴，故C對 3、若兩個非零的有理數(shù)a、b，滿足：|a|=a，|b|=-b，a+b＜0，則在數(shù)軸上表示數(shù)a、b的點 正確的是（　　） A、 B、 C、 D、 解：|a|=a，說明，|b|=-b，則，a+b＜0，說明，即b離原點更遠(yuǎn) 故C是對的 【3、尋找、判斷數(shù)軸上的點】 例5 如圖，數(shù)軸上的A、B、C三點所表示的數(shù)分別是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么該數(shù)軸的原點O的位置應(yīng)該在（　?。? A、點A的左邊 B、點A與點B之間 C、點B與點C之間 D、點B與點C之間或點C的右邊 解：答案D，用排除法 例6 如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干點，每相鄰的兩點相距一個單位長度，點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別為整數(shù)a、b、c、d，且。試問：數(shù)軸上的原點在哪一點上？ A B C D M N a b c d 解：由于每相鄰的兩點相距一個單位長度 所以有：，代入式子 則，所以原點在B處 練習(xí) 1、在數(shù)軸上，坐標(biāo)是整數(shù)的點稱為“整點”。設(shè)數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條 長2008厘米的線段AB， 則線段AB蓋住的整點至少有_______個，至多有 個。 解：2008太大，以退為進(jìn)，假設(shè)線段AB長為1，易知AB蓋住的整點至少有1個，至多有2個 假設(shè)線段AB長為2，易知AB蓋住的整點至少有2個，至多有3個，所以： 本題，線段AB蓋住的整點至少有2008個，至多有2009個。 2、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應(yīng)的整數(shù)a、b、c、d， 且，那么數(shù)軸的原點對應(yīng)點是（ ）。 A、A點 B、B點 C、C點 D、D點 解：由題知，，代入 則，所以原點是C點 3、如圖所示，圓的周長為4個單位長度，在圓的4等分點處標(biāo)上字母A，B，C，D，先將圓周上的字母A對應(yīng)的點與數(shù)軸的數(shù)字1所對應(yīng)的點重合，若將圓沿著數(shù)軸向左滾動，那么數(shù)軸上的－2010所對應(yīng)的點將與圓周上字母所對應(yīng)的點（　?。┲睾希? 解：－2010到1之間有： 1－（－2010）+1=2012個數(shù) A對應(yīng)1，B對應(yīng)0，C對應(yīng)－1，D對應(yīng)－2，以此類推，4個數(shù)為1循環(huán)節(jié) 而2012÷4=303 余數(shù)0，正好循環(huán)完，所以數(shù)軸上的－2010所對應(yīng)的點是D 【4、與數(shù)軸有關(guān)的計算】 例7 如圖所示，在數(shù)軸上有六個點，點所表示的數(shù)是，且， 則與點所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是 。 解：可用方程來做，沒學(xué)就這么做 因為， 易知：=0.8 ，則 C到F：0.8×3=2.4，因為點所表示的數(shù)是 所以點C表示的數(shù)：8－2.4=5.6， 那么與5.6最接近的整數(shù)是6 例8 上午8點，某人駕駛一輛汽車從A地出發(fā)，向東記為正，向西記為負(fù)。記錄前4次行駛過程如下：-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽車最后回到A地，則最后一次如何行駛？已知汽車行駛的速度為55千米/小時，在這期間他辦事花去2小時，問他回到A地的時間？ 解：前4次行駛完成后，汽車位于： A點東邊20公里處 若要汽車最后回到A地，則最后一次：，即向西行進(jìn)20公里 總共路程：，路上花費(fèi)時間：110÷55=2小時 期間他辦事花去2小時，所以總共耗時4小時，他回到A地的時間：8+4=12 練習(xí) 1、如圖，數(shù)軸上有6個點，且相鄰兩點間的距離都相等，則與D點所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是______。 解：AF=, 則=12÷5=2.4 則 A到C距離：2.4×2=4.8，因為點A所表示的數(shù)是，所以點C表示的數(shù)是： 故與最接近的整數(shù)是0 2、某一電子昆蟲落在數(shù)軸上的某點，從點開始跳動，第1次向左跳1個單位長度到，第2次由向右跳2個單位長度到，第3次由向左跳3個單位長度到，第4次由向右跳4個單位長度到，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時，電子昆蟲在數(shù)軸上的落點表示的數(shù)恰好是2010，則電子昆蟲的初始位置所表示的數(shù)是___________。 解：向左為負(fù)，向右為正，電子昆蟲所走過的路程S為： S== 其中2+4+6+……+100==2550 1+3+5+……+99==2500 故S=2550－2500=50 由題知：+50=2010，故=1960 3、一青蛙要從A點跳到B點，以平均每分鐘2米的速度跳躍。它先前進(jìn)1米，再后退2米，又前進(jìn)3米，再后退4米，…（每次跳躍都在A、B兩點所在的直線上） （1）5分鐘后它離A點多遠(yuǎn)？ （2）若A、B兩點相距100米，它可能到達(dá)B點嗎？如果能，它第一次到達(dá)B點需要多長時間？如果不能，請說明理由。 解： （1） 5分鐘青蛙走過路程S=5×2=10米，路程S還可表示為：S= 設(shè)A點為數(shù)軸原點，記前進(jìn)為正，后退為負(fù)， 5分鐘后青蛙在：，即5分鐘后它離A點2米 （2） 由第一問我們可以看出，青蛙每跳2次，從A點向B點前進(jìn)1米， 因為AB兩點相距100米，所以青蛙要跳200次才可以到達(dá)B點， 所以青蛙青蛙跳躍的總路程為1+2+3+…+199+200=（1+200）×200÷2=20100（米）， 則需要20100÷2=10050（分鐘） 三、利用數(shù)軸，深入認(rèn)識絕對值 例9 觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離 4與－2，3與5，－2與－6，－4與3。 并回答下列各題： （1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？____________ （2）||的幾何意義是數(shù)軸上表示_______的點與________之間的距離； 按照（1）的理解，||_________|－0|（，，）； （3）的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點與表示1的點之間的距離；則 ____ ； （4）的幾何意義是數(shù)軸上表示 ___ 的點與表示 _____ 的點之間的距離， 若，則________ ； （5）的幾何意義是數(shù)軸上表示 __ 的點與表示 _____ 的點之間的距離， 若，則________ ； 解：（1）相等，也就是說，數(shù)軸上二點間的距離與這兩個數(shù)的差的絕對值相等； （2）||的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與原點之間的距離；||=|－0|； （3）1； （4）的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示3的點之間的距離， 若，就是到3的距離為1的點，這樣的點有2個，所以=2或4； （5）可轉(zhuǎn)化為，因此它的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離，若，則0或－4； 例10 的幾何意義是數(shù)軸上表示的點與表示的點之間的距離。 （1）當(dāng)時，則 。 （2）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為_____，取得最小值時的取值范圍為___________。 （3）滿足的的取值范圍為_________________。 解：（1）將直接代入計算，結(jié)果：4 （2）的幾何意義：點到點2的距離加上點到點－3的距離。要使距離之和最小 需分情況討論： ①如圖，當(dāng)， ②如圖，當(dāng)， ③如圖，當(dāng)， 顯然③圖時，距離之和最小，就是-3與2的距離|-3-2|=5 （3）的幾何意義：找出一個點，使得到與到的距離之和大于3， 按照（2）的分析，點在與之間時，， 故點只要不在與之間即可。所以的取值范圍是：或 練習(xí) 1、如圖表示數(shù)軸上四個點的位置關(guān)系，且它們表示的數(shù)分別為，，，。 若，，，則 _______ 。 解： 表示P、r之間距離10， 表示P、s之間距離12，所以 r、s之間距離是2，，表示q、s之間距離9， 表示q、r之間的距離，它等于q、s間距離減去r、s間距離，即： 2、不相等的有理數(shù)，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A，B，C，如果，那 么點A，B，C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是（ ） A．點A在點B，C之間 B．點在點，之間 C．點在點A，B之間 D．以上三種情況均有可能 解：的幾何意義：a點到b點的距離加上b點到c點的距離之和等于a點到c點的距離。顯然b點在a、c之間。 3、（1）閱讀下面材料（距離公式的證明，應(yīng)該自己能分析）： 點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，A、B兩點這間的距離表示為 ①當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1， 此時a=0，；當(dāng)A、B兩點都不在原點時， ②如圖2，點A、B都在原點的右邊； ③如圖3，點A、B都在原點的左邊； ④如圖4，點A、B在原點的兩邊。 綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。 （2）回答下列問題： ①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是 ，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是 ， 數(shù)軸上表示1和3的兩點之間的距離是 ； ②數(shù)軸上表示和1的兩點A和B之間的距離是 ，如果，那么為 ； ③當(dāng)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是 ； ④求的最小值。 解：（1）數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是3， 數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是4； （2）數(shù)軸上表示和－1的兩點A和B之間的距離是， 如果，即到－1距離為2的點，有2個分別是1、3，所以為；1或3 （3）當(dāng)代數(shù)式取最小值時，意味著：點到1的距離與點到2的距離之和最小，此時點應(yīng)該在1與2之間，即相應(yīng)的的取值范圍是； （4）求的最小值，實際是找一個點使得該點到1、2、3…….1997的距離之和最小，根據(jù)前面所講，這時，問題轉(zhuǎn)化為： 求 2（1+2+3+….+998）= 【2、利用數(shù)軸，絕對值化簡】 例11 知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）。 c 0 b a A．　　 B．　　 C．　　 D． 解：由圖知，，且| ∵，∴，則 ∵，∴ == 例12 已知化簡 解：∵，∴，c的正負(fù)無法確定，需要分2種情況討論： ①當(dāng)時，∵，∴，則 ∵，∴，則 ∵，∴，則 ∵，∴，又∵，∴，則 故= ①當(dāng)時，∵，∴ ∵，∴ ∵，∴，則 ∵，∴，又∵，∴，一個負(fù)數(shù)與一個整數(shù)的和，無法判別 與的大小，故又需要分3種情況討論： ⑴當(dāng)=時， 故= ⑵當(dāng)>時，有，故 故= ⑶當(dāng)<時，有，故 故= 練習(xí) 1、如圖所示，根據(jù)數(shù)軸上給出的a、b、c的條件，試說明的值與c無關(guān)。 解：由題知 把握一條數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù) 則 故= 小心去括號錯誤 結(jié)果與C無關(guān) 2、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖：則化簡后的結(jié)果是（ ） A、 B、 C、 D、 解：由題知 = 3、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示： 且求的值。 解：由圖知， 因為 所以，那么： 所以 =5 【3、編外：非負(fù)性解題】 （1）若有 x，y 滿足，則 解：∵，故要使，則必有 ，所以 （2）已知|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，試求下式的值． 解：|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，即 故， = = = 專業(yè)整理分享