《版導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件：第五篇　數(shù)列必修5 第2節(jié)　等差數(shù)列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《版導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件：第五篇　數(shù)列必修5 第2節(jié)　等差數(shù)列（38頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2 2節(jié)等差數(shù)列節(jié)等差數(shù)列1.1.理解等差數(shù)列的概念理解等差數(shù)列的概念.2.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式.3.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題識解決相應(yīng)的問題.4.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.考綱展示考綱展示 知識鏈條完善知識鏈條完善考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理1.1.等差數(shù)列的相關(guān)概念等差數(shù)列的相關(guān)概念(1)(1)定義定義:

2、一般地一般地,如果一個數(shù)列從第如果一個數(shù)列從第2 2項(xiàng)起項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 都都等于等于 常數(shù)常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為符號表示為_ (n2,n(n2,nN N*,d,d為常數(shù)為常數(shù)).).差差同一個同一個a an n-a-an-1n-1=d=d2aba a1 1+(n-1)d+(n-1)d2.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)(1)若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a a1 1,公差為公差為d,d,則其通項(xiàng)公式為則其通項(xiàng)公式為a an n=.(2)(2)通項(xiàng)的推廣通項(xiàng)的推廣:a:an n=a=a

3、m m+d.d.(n-m)(n-m)1()2nn aanana1 1+(1)2n n d d 2a2am m4.4.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的性質(zhì)的性質(zhì)(1)(1)若若m+n=p+q,m+n=p+q,則則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(其中其中m,n,p,qm,n,p,qN N*),),特別地特別地,若若p+q=2m,p+q=2m,則則a ap p+a+aq q=(p,q,m(p,q,mN N*).).(2)(2)若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,則則S Sk k,S,S2k2k-S-Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k,成

4、等差數(shù)列成等差數(shù)列.(3)(3)若下標(biāo)成等差數(shù)列若下標(biāo)成等差數(shù)列,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列,即即a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,m,(k,mN N*)成等差數(shù)列成等差數(shù)列.(4)(4)若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,則則S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n.5.5.等差數(shù)列的增減性與最值等差數(shù)列的增減性與最值公差公差d0d0時為遞時為遞 數(shù)列數(shù)列,且當(dāng)且當(dāng)a a1 100時時,前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n有最有最 值值;d0;d00時時,前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n有最有最

5、值值.小小大大增增減減6.6.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d可得可得a an n=dn+(a=dn+(a1 1-d),-d),如果設(shè)如果設(shè)p=d,q=ap=d,q=a1 1-d,-d,那那么么a an n=pn+q,=pn+q,其中其中p,qp,q是常數(shù)是常數(shù).當(dāng)當(dāng)p0p0時時,(n,a,(n,an n)在一次函數(shù)在一次函數(shù)y=px+qy=px+q的圖象上的圖象上,即公即公差不為零的等差數(shù)列的圖象是直線差不為零的等差數(shù)列的圖象是直線y=px+qy=px+q上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)上

6、的均勻排開的一群孤立的點(diǎn).當(dāng)當(dāng)p=0p=0時時,a,an n=q,=q,等差數(shù)列為常數(shù)列等差數(shù)列為常數(shù)列,此時數(shù)列的圖象是平行于此時數(shù)列的圖象是平行于x x軸的直線軸的直線(或或x x軸軸)上的上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)均勻排開的一群孤立的點(diǎn).【重要結(jié)論】【重要結(jié)論】1.1.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中,若若a am m=n,a=n,an n=m,=m,則則a am+nm+n=0.=0.2.2.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,若若S Sm m=S=Sn n(mn),(mn),則則S Sm+nm+n=0.=0.3.3.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n

7、 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,若若S Sm m=n,S=n,Sn n=m,=m,則則S Sm+nm+n=-(m+n).=-(m+n).對點(diǎn)自測對點(diǎn)自測B B1.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,若若a a2 2=4,a=4,a4 4=2,=2,則則a a6 6等于等于()(A)-1(A)-1(B)0(B)0(C)1(C)1(D)6(D)6解析解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)由等差數(shù)列的性質(zhì),得得a a6 6=2a=2a4 4-a-a2 2=2=22-4=0,2-4=0,選選B.B.D D2.2.(2018(2018山西太原模擬山西太原模擬)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為

8、項(xiàng)和為S Sn n,若若a a2 2+a+a3 3+a+a1010=9,=9,則則S S9 9等于等于()(A)3(A)3 (B)9(B)9 (C)18 (C)18 (D)27 (D)27C C3.3.(教材改編題教材改編題)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 前前9 9項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為27,a27,a1010=8,=8,則則a a100100等于等于()(A)100(A)100(B)99(B)99 (C)98 (C)98 (D)97 (D)974.4.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=7,=7,公差為公差為d,d,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n=8n

9、=8時時S Sn n取得最大取得最大值值,則則d d的取值范圍為的取值范圍為 .5.5.下列說法正確的是下列說法正確的是.(1)(1)若一個數(shù)列從第若一個數(shù)列從第2 2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等則這個數(shù)列是等差數(shù)列差數(shù)列.(2)(2)數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列的充要條件是對任意為等差數(shù)列的充要條件是對任意nnN N*,都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2.(3)(3)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的單調(diào)性是由公差的單調(diào)性是由公差d d決定的決定的.(4)(4)數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公

10、式為為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n n的一次函數(shù)的一次函數(shù).(5)(5)數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a an+1n+1-a-an n=n,=n,則數(shù)列則數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(6)(6)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=pn+q(=pn+q(其中其中p,qp,q為常數(shù)為常數(shù)),),則數(shù)列則數(shù)列aan n 一定是等一定是等差數(shù)列差數(shù)列.答案答案:(2)(3)(6)(2)(3)(6)考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算【例例1 1】(2018(2018全國全國卷卷)記記S

11、 Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和,已知已知a a1 1=-7,S=-7,S3 3=-15.=-15.(1)(1)求求aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式;解解:(1)(1)設(shè)設(shè)aan n 的公差為的公差為d,d,由題意得由題意得3a3a1 1+3d=-15.+3d=-15.由由a a1 1=-7=-7得得d=2.d=2.所以所以aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n-9.=2n-9.(2)(2)求求S Sn n,并求并求S Sn n的最小值的最小值.解解:(2)(2)由由(1)(1)得得S Sn n=n=n2 2-8n=(n-4)-8n=(n-4)2

12、 2-16.-16.所以當(dāng)所以當(dāng)n=4n=4時時,S,Sn n取得最小值取得最小值,最小值為最小值為-16.-16.(1)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n n項(xiàng)和公式共涉及五個量項(xiàng)和公式共涉及五個量a a1 1,a,an n,d,n,S,d,n,Sn n,知其中三知其中三個就能求另外兩個個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而而a a1 1和和d d是等是等差數(shù)列的兩個基本量差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知量和未知量

13、是常用方法用它們表示已知量和未知量是常用方法.反思?xì)w納反思?xì)w納【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 1】(1)(1)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,若若S S8 8-S-S4 4=36,a=36,a6 6=2a=2a4 4,則則a a1 1等于等于()(A)-2 (A)-2 (B)0 (B)0 (C)2 (C)2 (D)4(D)4(2)(2)(2018(2018安徽兩校階段性測試安徽兩校階段性測試)若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,且滿足且滿足a a2 2+S+S3 3=4,=4,a a3 3+S+S5 5=12,=12,則則a a4

14、4+S+S7 7的值是的值是()(A)20(A)20(B)36(B)36(C)24(C)24(D)72(D)72考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明【例例2 2】(2018(2018貴州適應(yīng)性考試貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=1,=1,且且nanan+1n+1-(n+1)a-(n+1)an n=2n2n2 2+2n.+2n.(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3;解解:(1)(1)由已知由已知,得得a a2 2-2a-2a1 1=4,=4,則則a a2 2=2a=2a1 1+4,+4,又又a a1 1=1,=1,所以所以a a2 2=6.

15、=6.由由2a2a3 3-3a-3a2 2=12,=12,得得2a2a3 3=12+3a=12+3a2 2,所以所以a a3 3=15.=15.反思?xì)w納反思?xì)w納等差數(shù)列的四個判定方法等差數(shù)列的四個判定方法(1)(1)定義法定義法:證明對任意正整數(shù)證明對任意正整數(shù)n n都有都有a an+1n+1-a-an n等于同一個常數(shù)等于同一個常數(shù);(2)(2)等差中項(xiàng)法等差中項(xiàng)法:證明對任意正整數(shù)證明對任意正整數(shù)n n都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2;(3)(3)通項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法:得出得出a an n=pn+q(p,q=pn+q(p,q是常數(shù)是常數(shù)););(4)(4)前前

16、n n項(xiàng)和公式法項(xiàng)和公式法:得出得出S Sn n=An=An2 2+Bn(A,B+Bn(A,B是常數(shù)是常數(shù)).).【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 2】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an n0,a0,an na an+1n+1=S=Sn n-1,-1,其中其中為常數(shù)為常數(shù).(1)(1)證明證明:a:an+2n+2-a-an n=;=;(1)(1)證明證明:由題設(shè)知由題設(shè)知a an na an+1n+1=S=Sn n-1,a-1,an+1n+1a an+2n+2=S=Sn+1n+1-1,-1,兩式相減得兩式相減得a an+1n+1(a(an+2

17、n+2-a an n)=a)=an+1n+1,由于由于a an+1n+10,0,所以所以a an+2n+2-a-an n=.=.(2)(2)是否存在是否存在,使得使得aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列?并說明理由并說明理由.考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)【例例3 3】(1)(1)(2018(2018吉林省百校聯(lián)盟聯(lián)考吉林省百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,若若2a2a1111=a=a9 9+7,+7,則則S S2525等于等于()答案答案:(1)D(1)D答案答案:(2)A(2)A(3)(3)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的

18、前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,若若S S3 3=9,S=9,S6 6=36,=36,則則a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=.解析解析:(3)(3)由由aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,得得S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差數(shù)列成等差數(shù)列,即即2(S2(S6 6-S-S3 3)=S)=S3 3+(S+(S9 9-S-S6 6),),得到得到S S9 9-S-S6 6=2S=2S6 6-3S-3S3 3=45,=45,即即a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=45.=45.答案答案:(3)45(3)45反思?xì)w納反思?xì)w納一般地一般地,運(yùn)用等差數(shù)

19、列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程,但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如如m+n=p+q,m+n=p+q,則則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(m,n,p,q(m,n,p,qN N*).).答案答案:(1)D(1)D(2)(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,若若a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=25,=25,則則a a2 2+a+a8 8=.解析解析:(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閍an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,所以所以a a3 3+a+a7 7=a=a4 4+a+a6 6=a=a2 2+a+a8 8=2

20、a=2a5 5,a a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=5a=5a5 5=25,=25,所以所以a a5 5=5,a=5,a2 2+a+a8 8=2a=2a5 5=10.=10.答案答案:(2)10(2)10考點(diǎn)四等差數(shù)列的最值問題考點(diǎn)四等差數(shù)列的最值問題【例例4 4】等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的首項(xiàng)的首項(xiàng)a a1 10,0,設(shè)其前設(shè)其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,且且S S5 5=S=S1212,則則S Sn n有最大值有最大值時時,n=,n=.答案答案:8 8或或9 9反思?xì)w納反思?xì)w納求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的最值項(xiàng)和的最值,常用的方法常用的方

21、法:(1):(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng);(2);(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得和的最值便可求得和的最值;(3);(3)將將等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=An=An2 2+Bn(A,B+Bn(A,B為常數(shù)為常數(shù))看作二次函數(shù)看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值性質(zhì)求最值.要注意要注意a an n=0=0的情形的情形.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4 4】(1)(1)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,已知已知a a1 1=13,S=13,S3 3=S=

22、S1111,當(dāng)當(dāng)S Sn n最大最大時時,n,n的值是的值是()(A)5(A)5(B)6(B)6(C)7(C)7(D)8(D)8解析解析:(1)(1)法一法一由由S S3 3=S=S1111,得得a a4 4+a+a5 5+a+a1111=0,=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得可得a a7 7+a a8 8=0.=0.根據(jù)首項(xiàng)等于根據(jù)首項(xiàng)等于1313可推知這個數(shù)列遞減可推知這個數(shù)列遞減,從而得到從而得到a a7 70,a0,a8 80,0,d0,則其前則其前n n項(xiàng)和取最小值時項(xiàng)和取最小值時n n的值為的值為()(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9解析

23、解析:(2)(2)等差數(shù)列的公差為正數(shù)等差數(shù)列的公差為正數(shù),則則a a1111=-a=-a6 60,0,所以所以a a6 6+a+a1111=a=a8 8+a+a9 9=0,=0,據(jù)此可得據(jù)此可得a a8 80,a0,0,則其前則其前n n項(xiàng)和取最小值時項(xiàng)和取最小值時n n的值為的值為8.8.故選故選C.C.備選例題備選例題【例例1 1】(2018(2018東北三校聯(lián)考東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為3,b3,bn n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,且且b bn n=a=an+1n+1-a-an n(n(nN N*),若若b b3 3=-2,b=-2,b2 2=12,=12,則則a a8 8等于等于()(A)0(A)0(B)-109(B)-109(C)-181(C)-181(D)121(D)121【例例2 2】若一個等差數(shù)列前若一個等差數(shù)列前3 3項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為34,34,最后最后3 3項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為146,146,且所有項(xiàng)的和為且所有項(xiàng)的和為390,390,則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()(A)13(A)13(B)12(B)12(C)11(C)11(D)10(D)10點(diǎn)擊進(jìn)入點(diǎn)擊進(jìn)入 應(yīng)用能力提升應(yīng)用能力提升