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1、 幾何探究題 （1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)． ①如圖1，求證：； ②探究：如圖1， ； 如圖2， ； 如圖3， ． （2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點(diǎn)． ①猜想：如圖4， （用含的式子表示）； ②根據(jù)圖4證明你的猜想． （1）①證法一：與均為等邊三角形， ， 2分 且 3分 ， 即 4分 ． 5分 證法二：與均為等邊三角形， ， 2分

2、 且 3分 可由繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 4分 ． 5分 ②，，． 8分（每空1分） （2）① 10分 ②證法一：依題意，知和都是正邊形的內(nèi)角，，， ，即． 11分 ． 12分 ，， 13分 ， 14分 證法二：同上可證 ． 12分 ，如圖，延長交于， ， 13分 14分 證法三：同上可證 ． 12分 ． ， 13分 即 14分 證法四：同上可證 ． 12分 ．如圖，連接， ． 13分 即 14分 注意：此題還有其它證法，可相應(yīng)評(píng)分 請(qǐng)閱讀下列材料： 問題：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，

3、連結(jié)．若，探究與的位置關(guān)系及的值． 小聰同學(xué)的思路是：延長交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決． D C G P A B E F 圖2 D A B E F C P G 圖1 請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題： （1）寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值； （2）將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對(duì)角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明． （3）若圖1中，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不

4、變，請(qǐng)你直接寫出的值（用含的式子表示）． 【解析】 ⑴ 線段與的位置關(guān)系是； ． 2分 ⑵ 猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化． 證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連結(jié)． 是線段的中點(diǎn)， ． D C G P A B E F H 由題意可知． ． ， ． ，． 四邊形是菱形， ，． 由，且菱形的對(duì)角線恰好與菱形的邊在同一條直線上， 可得． ． 四邊形是菱形， ． ． ． ，． ． 即． ，， ，． ． 6分 ⑶ ． 8分 如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，

5、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). （1）求AD的長； （2）設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求出BM的長；不存在，請(qǐng)說明理由. （第25題圖） ） （備用圖） （1）解法一：如圖25-1 過A作AE⊥CD，垂足為E . 依題意，DE=. …………………………2分

6、 在Rt△ADE中，AD=. ………5分 圖25-1 解法二：如圖25-2 過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則CE=AB=4 . …2分 ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED是等邊三角形 . ∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 （2）解：如圖25-1 圖25-2 ∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為： S=PD·h ………………………………………6分 =(9－x)·x·s

7、in60° =(9x－x2) =－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分 由題意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 當(dāng)x=時(shí)（滿足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分 （3）證法一：如圖25-3 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . ………………………… 11分 于是9－x=x，x=. 此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖25-3所示，連QP . △PDQ恰為等邊三角形 . 過點(diǎn)Q作QM∥DC，交BC于M，點(diǎn)M即為所

8、求. 連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 . 圖25-3 易證△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四邊形PDQM是平行四邊形 . 又MP=PD , ∴四邊形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分 所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分 [注] 本題僅回答存在，給1分. 證法二：如圖25-4 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . …………………………

9、11分 于是9－x=x，x=. 此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖25-4所示，△PDQ恰為等邊三角形 . 過點(diǎn)D作DO⊥PQ于點(diǎn)O，延長DO交BC于點(diǎn)M，連結(jié)PM、QM，則DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ . 易知∠1=∠C . ∴PQ∥BC . 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD 圖25-4 ∴MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM ∴四邊形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分 所以

10、存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分 已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論：，請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時(shí)，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論． 答：對(duì)圖（2）的探究結(jié)論為____________________________________． 對(duì)圖（3）的探究結(jié)論為_____________________________________． 證明：如圖（2） 結(jié)論均是PA2＋P

11、C2＝PB2＋PD2（圖2 2分，圖3 1分） 證明：如圖2過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N， 因?yàn)锳D∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC 在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 因?yàn)镸N⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四邊形MNCD是矩形 所以MD＝NC，同理AM ＝ BN， 所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋

12、DM2＋BN2＋PN2 即PA2＋PC2＝PB2＋PD2 如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA＝3，OC＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處． （第22題） （1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)； （2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式； （3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 解：（1）；．

13、 （2）在中，， ． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中， 頂點(diǎn)， 設(shè)拋物線解析式為． ①如圖①，當(dāng)時(shí)，， ． 解得（舍去）；． ． ． 解得． 拋物線的解析式為 ②如圖②，當(dāng)時(shí)，， ． 解得（舍去）． ③當(dāng)時(shí)，，這種情況不存在． 綜上所述，符合條件的拋物線解析式是． （3）存在點(diǎn)，使得四邊形的周長最?。? 如圖③，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別與軸、軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求點(diǎn)． ，． ． ． 又， ，此時(shí)四邊形的周長最小值是． 如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正

14、方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系； ②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷． （2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由． （3）

15、在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值． (1)① ………………………………………………………………2分 ②仍然成立 ……………………………………………………1分 在圖（2）中證明如下 ∵四邊形、四邊形都是正方形 ∴ ，， ∴…………………………………………………………………1分 ∴ （SAS）………………………………………………………1分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ …………………………………………………………………………1分 （2）成立，不成立 ……………………

16、……………………………2分 簡要說明如下 ∵四邊形、四邊形都是矩形， 且，，，(，) ∴ ， ∴ ∴………………………………………………………………………1分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ……………………………………………………………………………1分 （3）∵ ∴ 又∵，， ∴ ………………………………………………1分 ∴ ………………………………………………………………………1分 正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥CD

17、于點(diǎn)F。如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF＝CF． ⑴如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E。 ①求證：DF＝EF； ②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； O D C B A 圖3 P ⑵若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請(qǐng)完成圖3并判斷⑴中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明） 圖2 O D C B A E F P F P(O) D C B A 圖1 ⑴ ①略；②PC－

18、PA＝CE；⑵結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時(shí)②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA－PC＝CE； 將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）． （1）用含的代數(shù)式表示； （2）當(dāng)時(shí)，如圖1，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2．問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由． 圖1 O P A x B D C Q y （第24題圖） 圖2 O P A

19、 x B C Q y E 解：（1），． 圖1 O P A x B D C Q y 圖2 O P A x B C Q y 圖3 O F A x B C y E Q P （2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交于，如圖1， 則，， ，． （3）①能與平行． 若，如圖2，則， 即，，而， ． ②不能與垂直． 若，延長交于，如圖3， 則． ． ． 又，， ， ，而， 不存在． A B D C 圖 1 （1）探究新知： 如圖1，已知△ABC

20、與△ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由． （2）結(jié)論應(yīng)用： x O y N M 圖 2 E F x N ① 如圖2，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，過點(diǎn)M作ME⊥y軸，過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)． 試證明：MN∥EF． x O y D M 圖 3 N ② 若①中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N 的位置如圖3所示，請(qǐng)判斷 MN與EF是否平行． （1）證明：分別過點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB， 垂足為G，H，則∠CGA＝∠DH

21、B＝90°．……1分 ∴ CG∥DH． ∵ △ABC與△ABD的面積相等， ∴ CG＝DH． …………………………2分 x O y N M 圖 2 E F ∴ 四邊形CGHD為平行四邊形． ∴ AB∥CD． ……………………………3分 （2）①證明：連結(jié)MF，NE． …………………4分 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2）． ∵ 點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上， ∴ ，． ∵ ME⊥y軸，NF⊥x軸， x O y D N M 圖 3 E F ∴ OE＝y(tǒng)1，OF＝x2． ∴ S△EFM＝， ………………5分 S△EFN＝． ………………6分 ∴S△EFM ＝S△EFN． ……………… 7分 由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF． ………8分 ② MN∥EF． …………………10分 （若學(xué)生使用其他方法，只要解法正確，皆給分．）