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專題:空間角 一、基礎(chǔ)梳理 1.兩條異面直線所成的角 （1）異面直線所成的角的范圍：。 （2）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 垂直，記作。 （3）求異面直線所成的角的方法： （1）通過平移，在一條直線上（或空間）找一點，過該點作另一（或兩條）直線的平行線； （2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。 平移技巧有：平行四邊形對邊平移、三角形中位線平移、補形平移技巧等。 1：三棱柱，平面⊥平面OAB， ，且 ，求異面直線與所成角的余弦。 2．直線和平面所成的角（簡稱“線面角”） （1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角。 一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角。 直線和平面所成角范圍：[0，]。 （2）最小角定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi) 經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成θ角， 且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角， 則有 。 由（3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面 內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一條直 線所成角中最小的角。 考點二：直線和平面所成的角 例2. 如圖，在三棱柱中，四 邊形是菱形，四邊形是矩形， ,， 求與平面所成角的正切。 3：（1）在的二面角的兩個面與內(nèi)分別有兩點，已知點和點到棱的距離分別為，且線段。求： ①直線和棱所成角的正弦值；②直線和平面所成角的正弦值。 （2）（08全國Ⅰ11）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． （3）如圖，在矩形中，，沿對角線將折起，使點移到點，且點在平面上的射影恰在上。求直線與平面所成角的大小。 （4）①為平面的斜線，則平面內(nèi)過 點的直線與所成的最小角為_____________， 最大角為__________________。平面內(nèi)過點的 直線與所成角的范圍為_______________。 ②與平面內(nèi)不過點的直線所成的角的范圍 為_______________________。 ③直線與平面所成的角為，直線與所成角為，則與平面所成角的取值范圍是______________________。 ④設(shè)直線平面，過平面外一點與都成角的直線有且只有 ( ) （Ａ）１條　　 （Ｂ）２條　 ?。ǎ茫硹l　　 （Ｄ）４條 ⑤過正方體的頂點作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫出滿足條件的一個截面________________________（注：只須任意寫出一個），并證明。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。若棱為，兩個面分別為的二面角記為。 （2）二面角的平面角： 過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi) 作棱的兩條垂線，則叫做二面角 的平面角。 說明：①二面角的平面角范圍是，因此二面 角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。 ②二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角， 組成直二面角的兩個平面互相垂直。 （3） 二面角的求法： （4） （一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定義法；②棱的垂面法；③三垂線定理或逆定理法；（注意一些常見模型的二面角的平面角的作法） （二）間接法：面積射影定理的方法。 （4）面積射影定理： 面積射影定理：已知的邊在平面內(nèi)，頂點。設(shè)的面積為，它在平面內(nèi)的射影面積為，且平面與所在平面所成的二面角為，則 。 注：①面積射影定理反映了斜面面積、射影面積 和這兩個平面所成二面角的平面角間的關(guān)系； 可以推廣到任意的多邊形。 ②在二面角的平面角不易作時，經(jīng)常采用 “面積射影定理法”。 例3．如圖，在四棱錐中，底面為 正方形，側(cè)棱底面分別為的中點。 （1）證明平面； （2）設(shè)，求二面角的大小?！? 如圖所示，在直三棱柱中， ，為側(cè)棱上一點， 。 （1）求證：； （2）求二面角的大??； （3）求點到平面的距離。 C D E A B 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，。 ①證明：； ②設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小。 為直角梯形所在平面外一點 面，，求平面與平面 所成二面角的大小。 等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于 。 例4．如圖所示，已知平行六面體 的底面 是矩形，且側(cè)面底面 ， 、分別是、的中點， 是的中點，， 側(cè)棱與底面成的角。 （1）求證：底面； （2）求二面角的大?。? （3）求與平面所成角的大小。 1．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，則 A1B與AC1所成的角為（　　?。? （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200 （2）（08全國Ⅱ10）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ） A． B． C． D． （3）的斜邊在平面內(nèi)，頂點在外，在平面內(nèi)的射影是，則的范圍是________________。 （4）從平面外一點向平面引垂線和斜線，為垂足，為斜足，射線，這時為鈍角，設(shè)，則（ ） A. B. C. D.的大小關(guān)系不確定 （5）相交成60°的兩條直線與一個平面所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面內(nèi)的 射影所成的角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° （6）一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，這條線 段與平面a所成的角是 ；若一條線段與平面不相交，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段所在直線與平面a所成的角是 。 （7）PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，每兩條夾角都是60°，那么直線PC與平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． （8）如圖，在正方體中， 分別是上的點，若， 那么的大小是（ ） A.大于 B.小于 C. D.不能確定 （9）已知所在平面于點，且到三點等距離，若中，有 ，則點（ ） A.必在的某一邊上 B.必在外部（不含邊界） C.必在內(nèi)部（不含邊界） D.以上都不對 （10）如果直角三角形的斜邊與平面平行，兩條直角邊所在直線與平面所成的角分別為 ，則（ ） A． B． C． D． A B a b l （11）如圖， 到的距離分別是和，與所成的角分別 是和，在內(nèi)的射影分別是和，若， 則（ ） A． B． C． D． （12）與正方形各面成相等的角且過正方體三個頂點的截面的個數(shù)是________。 2.已知直三棱柱為上一點，。 （1）若為的中點，為上不同于的任意一點，證明：； （2）若，求與平面所成角的正弦值。 3.已知直角三角形的兩直角邊，為斜邊上的一點，現(xiàn)沿將折起，使點到點，且在面內(nèi)的射影在上。當時，求二面角 的大小。 4．如圖正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱 長為，若經(jīng)過對角線且與對角線平行的平 \面交上底面于。（1）試確定點的位置，并證明你 的結(jié)論；（2）求平面與側(cè)面所成的角及平面 與底面所成的角；（3）求到平面的距離。 5．如圖, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足為E。 （I）求證：BD⊥A1C； （II）求二面角A 1－BD－C 1的大??； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小。 6.如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，，，。 （Ⅰ）證明：四點共面； （Ⅱ）設(shè)，求二面角的大小。 F A B C D E 7．（08江西20）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度均為 2。分別是的中點，H是的中點，過的一個平面與側(cè)棱或其延長線分別相交于，已知。 （1）證明：平面； （2）求二面角的大小。 A B C H F O C1 A1 E B1 8．如圖，已知平行六面體的底面為正方形，、分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是。 （1）求證：平面平面； （2）若點分別在棱上，且，問點在何處時，？ （3）若，求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。 D1 O A1 B D A B1 C C1 9．如圖，正四棱柱，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，是棱的中點。 （1）求證：平面； （2）求二面角的大??； （3）在側(cè)棱上是否存在點，使得平面？證明你的結(jié)論。 D1 A1 B D A B1 C C1 10.如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點。 （Ⅰ）證明：AE⊥PD； （Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值。 11