《“曲線與方程”的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《“曲線與方程”的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、“曲線與方程〞的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思 2021年10月17日~19日，在嘉興，那是思緒飛揚(yáng)與心情澎湃的日子．盡管西塘古鎮(zhèn)那通向久遠(yuǎn)的小巷故事伴著輕風(fēng)潛入記憶滋潤(rùn)著心靈，但腦海中卻總想著自己要送給孩子們什么？是“曲線的方程〞？還是“方程的曲線〞？或者是別的什么？ 在第七次課題研討會(huì)上，筆者以“曲線與方程〞為課題進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)并進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐．本文是根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施后，通過兩次重新設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐再寫出的反思，希望能為一線教師的教學(xué)提供參考． 第一局部　教學(xué)反思 在秀州中學(xué)上完課后，看著自己眼前的那群孩子，內(nèi)心充滿遺憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中

2、學(xué)一段時(shí)間該多好！ 雖然感慨萬千，但現(xiàn)在想來，最想寫下來的有以下幾點(diǎn)： 1．了解學(xué)生根本情況是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)的重要條件 在設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)時(shí)，筆者不僅關(guān)注概念的形成，而且充分關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系以及知識(shí)所表達(dá)出來的思想方法．但是，如果設(shè)計(jì)離學(xué)生原有的認(rèn)知環(huán)境、認(rèn)知水平有較大差異的話，在教學(xué)實(shí)施時(shí)是很難到達(dá)預(yù)期目標(biāo)的．因此，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，了解學(xué)生是非常重要的． 例如，原設(shè)計(jì)中的“引子〞是想讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法在刻畫點(diǎn)中的重要作用，為將曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)〞與“坐標(biāo)〞之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系作準(zhǔn)備．但是“引子〞中的聚會(huì)地點(diǎn)是深圳市的某個(gè)位置，秀州中學(xué)的學(xué)生是不熟悉的，講解時(shí)學(xué)生腦子中根

3、本沒有這個(gè)位置，所以教師費(fèi)了較多的時(shí)間來說明環(huán)境，這是不可取的． 又如，原設(shè)計(jì)中“臺(tái)風(fēng)〞發(fā)生后輪船航道是否需要變化的問題，是學(xué)生在?數(shù)學(xué)2?中學(xué)習(xí)過的問題，設(shè)計(jì)的意圖是想讓學(xué)生在回憶的根底上重新認(rèn)識(shí)“試驗(yàn)〞的方法不可取，建立坐標(biāo)系后可以通過考察直線與圓的方程所組成的方程組是否有解來解決問題，讓他們體會(huì)坐標(biāo)法的重要作用，為曲線與方程的學(xué)習(xí)提供興趣與動(dòng)力．但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)這個(gè)問題不了解〔似乎沒有學(xué)習(xí)過一樣〕，被提問的學(xué)生答復(fù)說“把臺(tái)風(fēng)范圍與航道畫在紙上就能看出有沒有危險(xiǎn)〞，這說明學(xué)生沒有用坐標(biāo)法思考問題的意識(shí)，這也就使得實(shí)現(xiàn)原設(shè)計(jì)的意圖費(fèi)時(shí)耗力．如果學(xué)生學(xué)習(xí)?數(shù)學(xué)2?時(shí)對(duì)這個(gè)問題所滲透的思

4、想方法有深刻印象，或者課前讓學(xué)生重新回憶了?數(shù)學(xué)2?上的這個(gè)問題，課堂上是可以做到更流暢地實(shí)現(xiàn)意圖的．當(dāng)然，從這個(gè)問題也能看到，教學(xué)中思想方法的滲透是多么重要！ 再如，原設(shè)計(jì)中的的設(shè)計(jì)意圖，一方面是想為歸納曲線與方程提供特例，另一方面，我們知道曲線上的點(diǎn)的幾何特征是求曲線方程的重要根底，而直線是沒有定義的，因而直線上的點(diǎn)的幾何特征難以表述，因此，這里試圖以向量方法來刻畫直線上的點(diǎn)的幾何特征，以方便求出直線的方程，并從“統(tǒng)一性〞的角度說明直線方程的形式是二元一次方程．在實(shí)際教學(xué)中，我們看到學(xué)生對(duì)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)刻畫方式是不熟悉的，這也為課堂教學(xué)增加了難度． 由此可見，應(yīng)充分重視了解學(xué)生、根

5、據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)問題的重要性．如果是給自己不了解情況的學(xué)生上課，教學(xué)設(shè)計(jì)中的問題應(yīng)在能到達(dá)目標(biāo)的前提下盡可能簡(jiǎn)單． 2．?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)容的地位與作用決定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)的份量產(chǎn)生教學(xué)重點(diǎn) 如果不明確教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，或者不明確數(shù)學(xué)內(nèi)容的地位與作用，我們就不可能制定出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，就不可能通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的能力與素質(zhì)．因此，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解析，不僅可以明確內(nèi)容中所涉數(shù)學(xué)概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且還是確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)．但有些情況下教學(xué)目標(biāo)是不唯一的，不同目標(biāo)在教學(xué)中所占的份量〔或比重〕也是不同的．因此，按照各教學(xué)目標(biāo)所占的份量來產(chǎn)生教學(xué)重點(diǎn)就是一件自然的事情．筆者認(rèn)為，應(yīng)該

6、在對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行解析時(shí)給出教學(xué)重點(diǎn)． 例如，對(duì)曲線與方程的內(nèi)容進(jìn)行分析后，我們確立了四個(gè)教學(xué)目標(biāo)〔見后〕，在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解析時(shí)，我們指出了目標(biāo)中的〔1〕、〔2〕分別為第一課時(shí)、第二課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)． 3．教學(xué)過程的設(shè)計(jì)，必須緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)〔特別是教學(xué)重點(diǎn)〕 設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生思考是教學(xué)過程設(shè)計(jì)的重點(diǎn)之一，設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是有利于以最小的教學(xué)資源〔如教學(xué)時(shí)間〕來達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，也就是說所設(shè)計(jì)的問題必須緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)，必須始終關(guān)注學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建和思想方法的提煉． 例如，在曲線與方程的第一課時(shí)中，我們的問題始終是圍繞“曲線的方程〞和“方程的曲線〞的概念形成〔也是第一課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)〕來設(shè)計(jì)的；而在

7、曲線與方程的第二課時(shí)中，我們的問題就是圍繞“求曲線的方程，并證明方程就是曲線的方程〞〔也就是第二課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)〕來設(shè)計(jì)．在對(duì)原設(shè)計(jì)進(jìn)行修改時(shí)，第一課時(shí)刪去原來的，增加、、,修改原來的為現(xiàn)在的，并把原來的作為第二課時(shí)的，第二課時(shí)設(shè)置、、，就是基于上述原因． 4．教學(xué)支持條件不應(yīng)僅是客觀條件〔如信息技術(shù)〕，更重要的是學(xué)生的認(rèn)知根底 就本節(jié)課而言，學(xué)生對(duì)函數(shù)及其圖象的了解，以及在?數(shù)學(xué)2?的學(xué)習(xí)中對(duì)直線方程和圓的方程的了解均是現(xiàn)在學(xué)習(xí)曲線與方程的重要支持條件．同時(shí)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)與向量運(yùn)算的掌握程度，也是教學(xué)設(shè)計(jì)得以順利實(shí)施的重要條件．如果沒有這些根底，學(xué)生對(duì)曲線與方程的理解會(huì)更困難，也直接影響

8、到教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施． 第二局部　反思后的教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析 1．內(nèi)容： 〔1〕曲線的方程與方程的曲線的概念；〔2〕求曲線的方程；〔3〕坐標(biāo)法的根本思想. 其中〔1〕、〔3〕為第一課時(shí)的內(nèi)容，〔2〕、〔3〕為第二課時(shí)的內(nèi)容． 2．內(nèi)容解析： “曲線與方程〞是?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容．這一內(nèi)容既是直線與方程、圓與方程理論的一般化，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的指導(dǎo)思想．盡管學(xué)習(xí)這一內(nèi)容是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線與其方程的根底，但是更為重要的是使人們通過坐標(biāo)系這座橋，可以利用方程以及代數(shù)的運(yùn)算來研究曲線，這正是這一內(nèi)容成為數(shù)學(xué)的核心概念的原因，也是曲

9、線與方程這一概念的核心之所在．因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線. 事實(shí)上，研究曲線與方程的過程，就是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，并通過代數(shù)中的運(yùn)算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關(guān)系來得出曲線的幾何性質(zhì)，并到達(dá)利用曲線為人們效勞的目的．因此，學(xué)習(xí)這一局部?jī)?nèi)容可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)． 在平面直角坐標(biāo)系建立以后，任何曲線都有惟一的方程，任何方程也都有惟一確定的曲線(或點(diǎn)集)．曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，是通過曲線上的點(diǎn)所成

10、的集合與方程所有解所成的集合之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來建立的．因此，曲線的方程是曲線的惟一表示．這種表示，不僅為我們研究曲線提供了方便，還為人們表達(dá)自己的思想觀點(diǎn)提供了一種標(biāo)準(zhǔn)，這是人們應(yīng)該具備的根本素養(yǎng)． 二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析 1．目標(biāo)： 〔1〕通過實(shí)例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系； 〔2〕通過實(shí)例體會(huì)求曲線的方程的根本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程； 〔3〕通過實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線方程的影響，體會(huì)如何“恰當(dāng)〞地建立平面直角坐標(biāo)系. 〔4〕通過一些簡(jiǎn)單曲線的方程及其研究，體會(huì)坐標(biāo)法的根本思想

11、． 2．目標(biāo)解析： 教學(xué)目標(biāo)〔1〕、〔4〕是第一課時(shí)應(yīng)該完成的目標(biāo)，其中〔1〕是教學(xué)重點(diǎn)；〔2〕、〔3〕、〔4〕是第二課時(shí)應(yīng)該完成的目標(biāo)，〔2〕是教學(xué)重點(diǎn)．教學(xué)時(shí)，落實(shí)好目標(biāo)〔1〕、〔2〕和〔3〕是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)〔4〕的前提與保證. 學(xué)生通過函數(shù)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)曲線的方程與方程的曲線有了初步認(rèn)識(shí)，但這只是一種意會(huì)，我們現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義〞的角度去理解這些概念. 教學(xué)目標(biāo)〔3〕是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易到達(dá)的目標(biāo)，教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線〔比方直線，圓等〕在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度，讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn)．

12、對(duì)許多與曲線有關(guān)的具體問題而言，原本是沒有坐標(biāo)系的．因此，通過這樣的問題，可以使學(xué)生體會(huì)如何建立坐標(biāo)系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，這應(yīng)該是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)〔4〕的一種較好的方法． 三、教學(xué)問題診斷分析 1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系〞，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問題，也是第一課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn). 這個(gè)教學(xué)問題可以結(jié)合“直線與其方程〞、“圓與其方程〞進(jìn)行說明． 2．在求曲線的方程時(shí)，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問題，也是第二課時(shí)的教學(xué)難

13、點(diǎn)．教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的根本要點(diǎn)，并用具體問題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì)． 3．在將曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程〞的問題．對(duì)于有些復(fù)雜的等式，化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問題，學(xué)生在此極易出錯(cuò)，這是第三個(gè)教學(xué)問題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，因此教學(xué)時(shí)可適當(dāng)使用信息技術(shù)工具以解決這個(gè)問題. 4．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個(gè)教學(xué)問題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng). 四、教學(xué)支持條件 1．在進(jìn)行曲線與方程的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)及其圖象，在數(shù)學(xué)

14、必修2中學(xué)習(xí)了直線的方程與圓的方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要條件，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)予以充分注意，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括. 2．向量是刻畫直線的幾何特征、位置關(guān)系以及進(jìn)行運(yùn)算的重要工具，學(xué)生在數(shù)學(xué)4時(shí)學(xué)習(xí)了平面向量，這就使其成為學(xué)習(xí)本內(nèi)容的重要支持． 3．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算，因此，圖形計(jì)算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學(xué)時(shí)充分注意這一條件，不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考，而且可以對(duì)實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)不加“修飾〞地進(jìn)行分、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 第一課時(shí) 如果你邀請(qǐng)朋友在你所在城市的某餐館聚會(huì)，你會(huì)怎樣告訴他〔她〕聚會(huì)地

15、點(diǎn)？例如，如果聚會(huì)地點(diǎn)在“深圳市筍崗路南，寶安路東的澳葡街〞〔如圖一〕，你會(huì)怎樣說？ 　　　 　　　　　　〔圖一〕　　　　　　　　　　　　　　　　〔圖二〕 意圖：通過建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來刻畫點(diǎn)的位置，為后面用點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來研究曲線與方程的關(guān)系作準(zhǔn)備，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法思想． 師生活動(dòng)：教師提出問題讓學(xué)生思考，然后通過建立平面直角坐標(biāo)系，給出聚會(huì)地點(diǎn)的坐標(biāo)〔如圖二〕． 請(qǐng)你先在紙上畫出一條直線與一個(gè)圓，然后與你同桌同學(xué)所畫的圖形進(jìn)行比擬，你們所畫的圖形一致嗎？如果要大家畫的直線與圓都一樣，然后研究直線與圓的位置關(guān)系，該怎么辦？ 意圖：通常情況下，不同學(xué)生畫出的圖形是不

16、一致的．如果是在平面直角坐標(biāo)系中，只要給出了直線與圓的方程，那么不同學(xué)生畫出的直線與圓應(yīng)該是一樣的位置關(guān)系，提此問題主要是讓學(xué)生增加曲線與方程的感性認(rèn)識(shí)，并由此認(rèn)識(shí)坐標(biāo)系的重要作用，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法思想． 師生活動(dòng)：〔1〕教師提出問題后讓學(xué)生先畫一條直線與一個(gè)圓，然后同桌進(jìn)行比擬． 〔2〕給出直線與圓的方程分別為、，然后讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系〔兩軸上的單位長(zhǎng)為1 cm〕中畫出圖形． 〔3〕計(jì)算圓心與直線的距離，并答復(fù)直線與圓的位置關(guān)系．〔4〕學(xué)生答復(fù)以下問題． 為什么說方程表示一、三象限的平分線？ 意圖：學(xué)生已經(jīng)知道平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，也知道方程確實(shí)可以表示一、三象限

17、的平分線，但并不知道這是為什么，而這正是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．因此，本問題是為引出曲線與方程的概念作準(zhǔn)備． 師生活動(dòng)：〔1〕教師提出問題后讓學(xué)生說說“為什么表示一、三象限的平分線？〞 〔2〕指出：一、三象限的平分線上的點(diǎn)組成集合，方程的全部解組成集合，那么P、Q之間有什么關(guān)系呢？ 〔3〕通過說明P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)方程與一、三象限的平分線可以互相表示的原因． 我們知道，圓心在(0,1)，半徑為2的圓C可用方程表示，可這是為什么呢？ 意圖：通過對(duì)本問題的研究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓與其方程之間的關(guān)系和直線與其方程之間的關(guān)系完全類似，以此豐富學(xué)生對(duì)曲線與方程的認(rèn)識(shí)，為歸納得出曲線與

18、方程的概念作進(jìn)一步的準(zhǔn)備． 師生活動(dòng)：〔1〕教師結(jié)合講解給出以下過程： 設(shè)點(diǎn)是圓C上任意一點(diǎn)，那么 ， 因此，即的坐標(biāo)是方程的解． 反過來，設(shè)是方程的解，那么 ， 即　　　　　　　　　　． 所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M滿足，即點(diǎn)M在(0,1)為圓心，2為半徑的圓C上． 〔2〕給出，，幫助學(xué)生體會(huì)到：P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 對(duì)一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：讓學(xué)生在歸納概括、的根底上，給出曲線的方程與方程的曲線的概念. 師生活動(dòng)：〔1〕讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教科書上的“定義〞，給出曲線的方程與方程的曲線的概念：如果曲

19、線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f (x,y) = 0 的解；反過來，以方程f (x,y) = 0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)，那么，方程f (x,y) = 0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f (x,y) = 0的曲線. 〔2〕教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：假設(shè)，，那么“方程f (x,y) = 0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f (x,y) = 0的曲線〞等價(jià)于“P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系〞． 我們知道，直線x-y = 0上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，你認(rèn)為到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是否為x-y = 0？ 意圖：讓學(xué)生根據(jù)曲線與方程的概念來判斷，以此加深對(duì)概念的理解，并得到“方程是曲線的方程

20、〞或“曲線是方程的曲線〞否認(rèn)方法． 師生活動(dòng)：〔1〕學(xué)生思考、交流，發(fā)現(xiàn)“直線x-y = 0上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等〞，但是，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)〔－1,1〕到兩坐標(biāo)軸的距離相等，但〔－1,1〕的坐標(biāo)不是方程的解，而是方程的解． 〔2〕得出結(jié)論：“到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程不是x-y = 0，而是〞． 〔3〕在教師啟發(fā)下，幫助學(xué)生總結(jié)出“方程是曲線的方程〞或“曲線是方程的曲線〞的否認(rèn)方法：假設(shè)曲線C上存在點(diǎn)，其坐標(biāo)不是方程f (x,y) = 0 的解，或方程f (x,y) = 0存在解為坐標(biāo)的點(diǎn)不是曲線C上的點(diǎn)，那么方程f (x,y) = 0不是曲線C的方程，曲線C也不是方程f (x,y)

21、= 0的曲線. 〔4〕學(xué)生完成教科書P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO〔O為原點(diǎn)〕所在直線的方程〞修改為“中線AO〔O為原點(diǎn)〕的方程〞后，提問學(xué)生結(jié)論有無改變？ 〔5〕學(xué)生完成P37練習(xí)第2題． 你能畫出函數(shù)的圖象嗎？圖象上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點(diǎn)都在圖象上？ 意圖：在一定意義上，這個(gè)問題是的延續(xù),用以幫助學(xué)生穩(wěn)固剛得到的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)如何判斷“方程不是曲線的方程〞或“曲線不是方程的曲線〞．同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系，其實(shí)就是方程與曲線之間的關(guān)系，以此可以豐富并穩(wěn)固對(duì)曲線與方程之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí). 師生

22、活動(dòng)：〔1〕師生畫出函數(shù)的圖象〔可以利用信息技術(shù)工具〕． 〔2〕學(xué)生思考“圖象上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征〞，利用信息技術(shù)工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)〞． 〔3〕學(xué)生思考：“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象上〞嗎？ 〔4〕師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是〞． 〔5〕證明所得結(jié)論，完成教科書P35例1． 你能說說本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么嗎？ 意圖：對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，并以此幫助學(xué)生歸納與概括學(xué)習(xí)內(nèi)容． 師生活動(dòng)：讓學(xué)生明確本節(jié)課主要研究的內(nèi)容是：〔1〕滿足怎樣的條件，方程f (x,y) =

23、0與曲線C的可以互相表示？〔2〕怎樣證明一個(gè)方程是曲線的方程，或曲線是方程的曲線？ 第二課時(shí) 閱讀教科書P35“2．1．2求曲線的方程〞的第一段內(nèi)容，你能得出什么結(jié)論？ 意圖：明確解析幾何研究的根本內(nèi)容：〔1〕根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；〔2〕通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)． 師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教科書并提煉答復(fù)內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生答復(fù)，教師點(diǎn)評(píng)．教師指出，本節(jié)課的主要任務(wù)是求曲線的方程． 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線是惟一確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？ 意圖：直線是沒有定義的，因此要想像圓那樣把直線上的點(diǎn)所滿

24、足的幾何特征表達(dá)出來是一件困難的事情，但蘊(yùn)含了刻畫直線上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何特征的一種方式，并且這種方式具有普遍意義．同時(shí)，還給出了求曲線方程的最重要的環(huán)節(jié)：將曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足的“幾何特征〞等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的“數(shù)量關(guān)系〞. 師生活動(dòng)：〔1〕教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)兩個(gè)向量平行的刻畫方式：在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)，那么　 〔2〕教師講解：設(shè)點(diǎn)是所求直線上的任一點(diǎn)，那么點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何特征是： 　　　　　　　　　　　?。? 因此，所求直線可以看成點(diǎn)集． 因?yàn)?，又，所? 　　　?。? 設(shè)，下面證明所求的直線方程為： 　　　　　　　　　　?。　　　　、? 設(shè)點(diǎn)是所求直線上的任一點(diǎn)，由上面的過程

25、知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的解；反過來，設(shè)是方程①的解，由于以上每一步都可逆，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在所求直線上． 所以，方程①就是所求的直線方程． 〔3〕教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)中的直線進(jìn)行分析，然后指出：方程①可以表示平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線，由此可以看到：任何直線的方程均是二元一次方程，任何一個(gè)二元一次方程均表示直線． 如果給出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-1)，(3,7)，動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等. 你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？ 意圖：學(xué)生通過已學(xué)知識(shí)知道，本問題中的點(diǎn)的軌跡是直線〔而且是線段AB的垂直平分線〕，他們可能會(huì)用中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)，并通過求出AB的斜率而得出直

26、線的斜率，最后用直線的點(diǎn)斜式寫出直線方程．但如果問學(xué)生：為什么問題中的點(diǎn)的軌跡是直線？如果所求軌跡不是直線，你怎么能用求直線方程的方法去求呢？很有可能學(xué)生答復(fù)不出原因來，這就為用求曲線方程的一般方法求出軌跡方程，并用的結(jié)論說明“點(diǎn)P的軌跡是直線〞提供了可能．這個(gè)問題的另一個(gè)意圖是讓學(xué)生體會(huì)求曲線方程的步驟． 師生活動(dòng)：〔1〕教師給出問題后問學(xué)生：你知道點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？你會(huì)怎樣求出點(diǎn)P的軌跡？ 〔2〕如果學(xué)生是用求線段AB的中垂線的方式求出點(diǎn)P的軌跡方程，那么問點(diǎn)P的軌跡為什么是線段AB的中垂線？ 〔3〕教師按教科書P35例2　的方式求出點(diǎn)P的軌跡方程，并按定義證明自己的結(jié)論． A

27、，B 是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等. 你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？ 意圖：［問題11］可以讓學(xué)生體會(huì)到求曲線方程的根本步驟，但由于問題中已經(jīng)建立了坐標(biāo)系，所以步驟不完整．本問題的一個(gè)重要作用就是讓學(xué)生體會(huì)如何建立平面直角坐標(biāo)系，并以此完善求曲線方程的步驟． 師生活動(dòng)：〔1〕讓學(xué)生比擬［問題12］與［問題11］有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)． 〔2〕讓學(xué)生嘗試著建立平面直角坐標(biāo)系，體會(huì)建立平面直角坐標(biāo)系的要點(diǎn)． 〔3〕教師幫助學(xué)生總結(jié)出以下兩種建立坐標(biāo)系的方式： 〔4〕師生一起總結(jié)建立坐標(biāo)系的要點(diǎn)：如果曲線〔或軌跡〕有對(duì)稱中心，通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn)；如果曲線

28、〔或軌跡〕有對(duì)稱軸，通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；盡可能使曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)在坐標(biāo)軸上. 你能簡(jiǎn)要地說出求曲線方程的步驟嗎？ 意圖：幫助學(xué)生總結(jié)求曲線方程的根本步驟，并了解各個(gè)步驟的地位與作用． 師生活動(dòng)：通過引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)［問題11］與［問題12］的求解過程，得出以下求曲線方程的步驟： (1)建系設(shè)點(diǎn)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x,y〕； (2)寫出集合：P={M|p(M)}； (3)寫出方程：根據(jù)p(M〕寫出f(x,y)=0; (4)化簡(jiǎn)方程：化f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式； (5)驗(yàn)證結(jié)論：解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上. 平面上的線段的長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)位于線段所在直線的同一側(cè)，且向線段所張的角恒為，

29、動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否有有限長(zhǎng)度？假設(shè)有，你能求出其長(zhǎng)度嗎？ 意圖：學(xué)生通過平面幾何知識(shí)可以知道動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，但他們并不知道這是為什么，或者說很難由平面幾何的方法證明他們的結(jié)論．通過求曲線方程的方法，我們可以得出點(diǎn)的軌跡方程，并可由方程說明軌跡是一段圓?。虼?，本問題可以讓學(xué)生更深刻地感受曲線與方程之間的關(guān)系，體會(huì)求曲線的方程的重要意義不僅在于尋求曲線的表示，而且在于研究曲線的性質(zhì)． 師生活動(dòng)： 〔1〕教師講解：以所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么，．設(shè)點(diǎn)在x軸的上方，坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的集合為 　　　　　　　 ． 由于 因?yàn)樗? 　 所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿

30、足方程； 反過來，由于上述的步驟均可逆，所以方程①的解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在集合P中． 所以，點(diǎn)的軌跡方程是①，點(diǎn)的軌跡是一段以2為半徑的圓弧，它的長(zhǎng)度是整個(gè)圓的．因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為 〔2〕提問學(xué)生，有無其它建立坐標(biāo)系的方法使點(diǎn)的軌跡方程更簡(jiǎn)單，更簡(jiǎn)單的原因是什么？ 〔3〕提問學(xué)生思考：為什么不能把作為點(diǎn)的軌跡方程？ 〔4〕學(xué)生練習(xí)教科書P37練習(xí)第3題． 一條直線和一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到的距離是2．一條曲線上面的點(diǎn)到的距離減去到的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？ 意圖：這是根據(jù)教科書P36的例3改編的問題，意在幫助學(xué)生熟悉和穩(wěn)固求曲線方程的步驟. 師

31、生活動(dòng)： 〔1〕師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標(biāo)系． 〔2〕讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程． 〔3〕師生一起討論如何防止軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn)或方程中出現(xiàn)多余的解． 〔4〕簡(jiǎn)化求解步驟． 建立坐標(biāo)系后，是否存在一條曲線有兩個(gè)不同的方程？你能以和為例，歸納一下你本節(jié)課學(xué)得的東西嗎？ 意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容. 師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，教師幫助總結(jié)出以下值得關(guān)注的問題： 〔1〕如何建立平面直角坐標(biāo)系？ 〔2〕準(zhǔn)確寫出幾何特征p(M). 〔3〕將幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系而得出方程. 〔4〕簡(jiǎn)化方程的過程是否同解變形. 六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì) 1．求中心在原點(diǎn)，半徑為2的圓位于直線上方局

32、部所對(duì)應(yīng)的方程． 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．教科書P37，習(xí)題2.1：A組第3、4題；B組第1題． 　設(shè)計(jì)意圖：穩(wěn)固曲線與方程的概念，體會(huì)如何求曲線的方程〔或求軌跡方程〕． 3．平面上的線段的長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)向線段所張的角恒為，你能求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡的長(zhǎng)度嗎？ 　 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用方程來判定軌跡是什么，并進(jìn)一步研究曲線的幾何性質(zhì)． 結(jié)語：“世界上所有的勇士，無不為這偉大的心靈而心潮澎湃，從中國的高山到海岸，我們依然能聽到李小龍的吶喊．〞這是人們對(duì)中國功夫“截拳道〞的創(chuàng)立者李小龍的贊美！李小龍說過，“截拳道〞不是一種拳術(shù)，不是一個(gè)門派，它是一種融會(huì)貫穿的武學(xué)思想．李小龍正是由于掌握和運(yùn)用了武學(xué)思想，才使得他打敗眾多敵手，并使中國功夫名揚(yáng)天下，他也因此獲得人們的崇敬和贊美，并永遠(yuǎn)地活在人們心中．我在想，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)功夫要好，是只掌握解題中的“一招一式〞就行呢，還是要更多地關(guān)注“招式〞中的數(shù)學(xué)思想呢？ 文