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專題講座 高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)研究 金寶錚 北京師范大學(xué)二附中 一、對(duì)“圓錐曲線”數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解 （一）“圓錐曲線”知識(shí)結(jié)構(gòu) 圓錐曲線的內(nèi)容在新課標(biāo)中安排在選修課程的選修系列1和選修系列2之中. 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖： 圓錐曲線研究的圖形對(duì)于學(xué)生來講是比較陌生的圖形. 雖然在初中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，同學(xué)們聽說過拋物線、雙曲線的名詞，當(dāng)時(shí)的認(rèn)識(shí)只是停留在直觀的感受. 從二次函數(shù)的圖像，經(jīng)過教師的授課，知道二次函數(shù)的圖像叫做拋物線；學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，教師告知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，并且是以坐標(biāo)軸為漸近線的. 對(duì)于滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線、雙曲線學(xué)生的認(rèn)識(shí)仍然是一片空白. 只有學(xué)習(xí)了本單元內(nèi)容之后，學(xué)生才會(huì)對(duì)圓錐曲線有一個(gè)全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).本講從軌跡方程的角度研究圓錐曲線.首先給出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，依據(jù)定義推導(dǎo)他們的方程，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)他們的方程研究三種曲線的幾何性質(zhì). 雖然橢圓、雙曲線、拋物線都屬于平面圖形，但是運(yùn)用平面幾何的知識(shí)和研究方法很難研究的透徹.解析幾何學(xué)科的特點(diǎn)和優(yōu)越性從這個(gè)研究過程中開始有強(qiáng)烈的顯現(xiàn).在此之前用代數(shù)的方法研究直線和圓的教學(xué)，從學(xué)習(xí)方法上來說，為本講的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).區(qū)別在于，盡管同樣是研究幾何圖形的性質(zhì)，在研究直線與圓的階段，平面幾何的知識(shí)得到充分的應(yīng)用，利用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)，有時(shí)可以使得運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化. 選修系列1和選修2系列對(duì)于教學(xué)的要求上有所不同.主要體現(xiàn)在兩點(diǎn). 第一點(diǎn)：選修系列1中沒有曲線與方程這一節(jié)的要求.這樣安排教學(xué)要求的目的是，對(duì)于學(xué)習(xí)選修系列1的同學(xué)從理論的學(xué)習(xí)要求做了適當(dāng)?shù)慕档?只要求直觀的解決問題，直觀的認(rèn)識(shí)具體曲線的定義、性質(zhì).第二點(diǎn)是選修系列1中沒有直線與圓錐曲線的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于這一點(diǎn)的要求不同，我們建議教師還是應(yīng)該予以適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.從目前的考試要求以及高考試題看，在文科數(shù)學(xué)試卷中，對(duì)于這個(gè)內(nèi)容還是有要求的.但是不會(huì)要求太高，教師在教學(xué)中可以側(cè)重以直線與橢圓的位置關(guān)系的開展討論，其他的曲線討論可以輕描淡寫的處理，體現(xiàn)出選修系列1和選修系列2的區(qū)別. （二）如何把握?qǐng)A錐曲線的定義 圓錐曲線的定義有多種形式，教師應(yīng)該盡量的了解和知道.橢圓的定義學(xué)生首先接觸的都是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）. 為什么橢圓、雙曲線、拋物線稱為圓錐曲線？教科書中有詳細(xì)的說明.建議教師不要忽視其中的原委.有些試題還是在考查該項(xiàng)定義. 下面請(qǐng)看幾個(gè)案例，雖然都是利用圓錐曲線的定義解題，但是各有特點(diǎn). 例1 如圖是長(zhǎng)度為定值的平面的斜線段，點(diǎn)為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 A.圓 B.橢圓 C.一條直線 D.兩條平行線 我們通過這個(gè)例題可以讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的定義. 根據(jù)已知條件的面積為定值，是長(zhǎng)度為定值的平面的斜線段，那么點(diǎn)到直線的距離為定值，僅僅考慮這一點(diǎn)，點(diǎn)P應(yīng)該在一個(gè)圓柱的側(cè)面上，這個(gè)圓柱是以PA所在的直線為軸，點(diǎn)到直線的距離為底面半徑.同時(shí)這個(gè)點(diǎn)又在平面α上，點(diǎn)P的軌跡是平面α與圓柱側(cè)面的截線，依據(jù)圓錐曲線的定義，應(yīng)該選B. 對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)，不僅僅限于對(duì)概念的記憶，甚至個(gè)別的老師還讓學(xué)生齊聲背誦定義，這樣的結(jié)果往往是學(xué)生知其然，不知其所以然.教師如果能夠選擇像上面類似的題目，對(duì)于學(xué)生深刻理解概念是有積極作用的.下面例題的選取也是這個(gè)目的. 例2如圖，線段=8，點(diǎn)在線段上，且=2，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn).設(shè)=， 的面積為.則的定義域?yàn)開_______；的最大值為 ________. 據(jù)題意，PD＝PB，PD+PC＝BC＝6，又CD=CA=2，依據(jù)定義知：點(diǎn)P在以C、D為焦點(diǎn)的橢圓上，其焦距為2，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，可得出短軸長(zhǎng)為，PC＝時(shí)，的面積取得最大值，最大值為. 當(dāng)看到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生應(yīng)該聯(lián)想到橢圓的定義，學(xué)生能否做到這一點(diǎn)，教師的引導(dǎo)和適當(dāng)?shù)睦}是關(guān)鍵. （三）圓錐曲線不同形式的方程 在選修系列4教學(xué)要求中，選修4-4是坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在部分的教學(xué)內(nèi)容中，將增加圓錐曲線的參數(shù)方程的形式和極坐標(biāo)形式.雖然只是一種初步的、帶有介紹形式的，建議教師還是抓住機(jī)會(huì)與選修系列1、選修系列2的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合.具體建議稍后再詳細(xì)說明. （四）教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn) 圓錐曲線的教學(xué)重點(diǎn)是：三種圓錐曲線的方程與性質(zhì).在此之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)初步感受了解析幾何學(xué)科的特點(diǎn)，以及如何用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì).本講與之前的研究所不同的是，之前研究的對(duì)象是學(xué)生熟知的圖形，直線和圓.利用方程研究曲線的性質(zhì)，從知識(shí)上學(xué)生沒有感到有新的收獲，沒有獲得直線與圓的新的幾何性質(zhì).然而本章研究的曲線對(duì)于學(xué)生來說是陌生的.學(xué)生對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線的認(rèn)識(shí)幾乎接近空白.什么取值范圍、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等，對(duì)于學(xué)生來說都是全新的.研究之前，學(xué)生對(duì)于曲線的這些性質(zhì)處于無知或者是朦朧的狀態(tài)，學(xué)習(xí)之后成就感明顯的高于直線與圓的學(xué)習(xí). 圓錐曲線的難點(diǎn)是：圓錐曲線的綜合問題. 特別是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的綜合題目，學(xué)生感覺難度較大. 與圓錐曲線有關(guān)的綜合題，題目呈現(xiàn)的方式是多樣的.不像三角函數(shù)、立體幾何題目的呈現(xiàn)方式那樣單純，可以從模仿入手. 對(duì)于學(xué)生來說，對(duì)于分析問題、解決問題的能力要求較高.模式化的東西相對(duì)少一些. 二、“圓錐曲線”的教學(xué)策略以及學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤與問題的分析與解決策略 （一）正確認(rèn)識(shí)曲線的方程 橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于焦點(diǎn)的位置不同，方程的形式相應(yīng)的不同.橢圓按照焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，相應(yīng)的有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線也是按照焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，相應(yīng)的有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程；而拋物線則是按照焦點(diǎn)在x軸的正半軸上、焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上、焦點(diǎn)在y軸的正半軸上、焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上相應(yīng)的有四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程. 確定曲線的方程，就是根據(jù)條件確定方程中的參數(shù)的具體數(shù)值.根據(jù)題目所給的條件，使用數(shù)學(xué)中常見的待定系數(shù)法，通常可以確定參數(shù)的數(shù)值，換一個(gè)角度來說，曲線方程的確定也是方程思想的應(yīng)用.依據(jù)條件，找到參數(shù)適合的方程或方程組，從本質(zhì)上來說，與列方程解應(yīng)用題是相同的. （二）數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng) 前面已經(jīng)提到利用方程的思想確定橢圓、雙曲線、拋物線的方程. 其他幾個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想在本講中也應(yīng)該積極的滲透. 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 同一個(gè)問題可以有數(shù)、形兩種不同的表現(xiàn)形式. 比如直線與橢圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離.如何描述直線與橢圓相交？從“形”的角度說，直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；如果從“數(shù)”的角度來描述，將直線的方程代入橢圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的（或者是關(guān)于y的）一元二次方程.這個(gè)方程的判別式應(yīng)該為0. 化歸思想的應(yīng)用對(duì)于本講內(nèi)容來說也是很好的滲透的平臺(tái). 分類討論的思想在本講學(xué)習(xí)中，也是應(yīng)該給予足夠的重視.分類討論的思想一定要讓學(xué)生明確不是為了分類而分類.許多的分類在解題之前是不明確的，在解題的過程中，依據(jù)算法、算理的需求，對(duì)字母的取值限制進(jìn)行討論. 化歸是數(shù)學(xué)中對(duì)能力要求較強(qiáng)的一種思想方法.所謂化歸，就是將復(fù)雜的問題、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問題.對(duì)于解析幾何的綜合性問題，我們建議將解題的過程劃分為兩個(gè)階段，設(shè)計(jì)解題方案、實(shí)施解題方案的兩個(gè)過程. 例1已知橢圓（）的焦距為，離心率為. （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且成等比數(shù)列，求的值. 化歸的思想教師說起來很簡(jiǎn)單，但是學(xué)生做起來往往找不到實(shí)施的辦法.需要教師的示范和在具體問題解決中的認(rèn)識(shí)，需要一定時(shí)間的培養(yǎng)和訓(xùn)練. 例1中解決第（Ⅱ）問可以設(shè)計(jì)三個(gè)解題方案.第一個(gè)方案是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后用兩點(diǎn)間距離把的長(zhǎng)度表示出來，再利用他們成等比數(shù)列，求出的值.表面一看，這個(gè)思路很好，但是在實(shí)際的解題過程中可以看到，題目的運(yùn)算量較大.第二個(gè)方案也是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到x軸上，利用相似三角形的知識(shí)可以證明，投影到坐標(biāo)軸上的三條線段按照相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也是成等比數(shù)列的.等比數(shù)列這個(gè)限制條件就變成三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的限制條件.第三個(gè)方案也是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到y(tǒng)軸上，利用相似三角形的知識(shí)可以證明，投影到坐標(biāo)軸上的三條線段按照相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也是成等比數(shù)列的.等比數(shù)列這個(gè)限制條件就變成三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的限制條件.比較上述三個(gè)方案，顯然第一個(gè)方案的運(yùn)算量最大，后兩個(gè)方案的運(yùn)算量顯著的下降. 當(dāng)我們把三條線段投影到坐標(biāo)軸上，運(yùn)算量下降了，達(dá)到了將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題的目的.再細(xì)致的比較后兩個(gè)方案，由于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，第三個(gè)方案比第二個(gè)方案的運(yùn)算量還要再小一些，所以選擇方案三. 詳解如下： （Ⅰ）由已知，. 解得， 所以， 橢圓的方程為. （Ⅱ）由（Ⅰ）得過點(diǎn)的直線為， 由 得， 所以，所以， 依題意，. 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以， 所以，即， 當(dāng)時(shí)，，無解， 當(dāng)時(shí)，，解得， 所以，解得， 所以，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，. 回顧對(duì)這個(gè)問題的分析與解答，教師設(shè)計(jì)了三個(gè)解題方案，在實(shí)施方案之前，要對(duì)設(shè)計(jì)的三個(gè)方案進(jìn)行比較、分析，從中選出簡(jiǎn)捷的方案. （三）對(duì)于參數(shù)方程處理方式的建議 參數(shù)方程的學(xué)習(xí)在這一階段的學(xué)習(xí)過程中，是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容.原則上不需要做過多的補(bǔ)充.但是對(duì)于橢圓的參數(shù)方程，還是建議教師更具學(xué)生的實(shí)際情況做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.主要是對(duì)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為，特別是對(duì)于一些最值有關(guān)的問題解決還是有益處的. 例1 已知矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸.求矩形ABCD面積的最大值. 解：設(shè)點(diǎn)A在第一象限， 例2 已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD是橢圓的長(zhǎng)軸，頂點(diǎn)B、C都在橢圓上.求梯形ABCD面積的最大值. 解法仿照例1，此處略去. 以上兩個(gè)例題的特點(diǎn)是很明確的，使用參數(shù)方程形式描述橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其中a、b都是常量，只有θ一個(gè)字母是變量，這樣面積的公式將是僅有一個(gè)自變量的解析式.學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)僅限于一元函數(shù)，對(duì)于兩個(gè)自變量的函數(shù)學(xué)生往往感到困惑，使用參數(shù)方程處理上述問題，回避了出現(xiàn)二元函數(shù)的矛盾，建議教學(xué)中考慮介紹橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用. （四）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系比直線與圓的位置關(guān)系要復(fù)雜.首先打破了學(xué)生頭腦中固有的認(rèn)識(shí)：直線與曲線有恰一個(gè)公共點(diǎn)，直線與曲線相切.當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的時(shí)候，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線相交而不是相切！同樣，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行的時(shí)候，直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線也是相交而不是相切！直線與圓錐曲線的問題，通常不要真的把直線與圓錐曲線的交點(diǎn)求出來，一般交點(diǎn)的坐標(biāo)比較難求.聯(lián)立方程組之后，先轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可以借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將與根有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式，分別把兩根之和、兩根之積看做兩個(gè)整體，再做整體的代換，可以使的整體的運(yùn)算過程比較簡(jiǎn)化. 例1已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn)其離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； (Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn). 求到直線距離的最小值. 解：（Ⅰ）由已知，，所以， ① 又點(diǎn)在橢圓上，所以 ， ② 由①②解之，得. 故橢圓的方程為. (Ⅱ) 當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)時(shí)， 則由 消去得，， ， ③ 設(shè)A、B、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則： ， 由于點(diǎn)在橢圓上，所以 . 從而，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式. 又點(diǎn)到直線的距離為： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)直線無斜率時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)一定在軸上，從而點(diǎn)為，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為1 . 所以點(diǎn)到直線的距離最小值為. 這是一個(gè)典型的直線與圓錐曲線有關(guān)的問題. 對(duì)于題目解答的思路粗略的說，可以將直線的方程代入橢圓的方程，消去字母y（也有時(shí)消去字母x），得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.在解題的過程中，我們?cè)O(shè)A、B、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，但是我們并沒有真的去把這四個(gè)量求解出來，而是利用一元二次方程的根系關(guān)系，用含有參數(shù)k、m的代數(shù)式將其表示出來. 學(xué)生在學(xué)習(xí)的開始階段，對(duì)于上述的解法并不熟悉. 其中一個(gè)重要的原因是義務(wù)教育階段的課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)于一元二次方程的根系關(guān)系較之前的教學(xué)大綱的要求有所降低，學(xué)生對(duì)于這個(gè)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)以及理解程度都不是很高，教師可以適當(dāng)?shù)募右匝a(bǔ)充. 學(xué)生對(duì)于分析問題的綜合能力需要一個(gè)比較長(zhǎng)的螺旋式上升的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，注意力往往只關(guān)注本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不善于聯(lián)想其他的數(shù)學(xué)知識(shí)，為了提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，使得學(xué)生能夠主動(dòng)地、有意識(shí)的聯(lián)想各個(gè)模塊知識(shí)間的聯(lián)系，教師在選擇題目時(shí)候，要有意識(shí)的選擇一些綜合其他模塊知識(shí)的題目，避免全部都是當(dāng)前每模塊的試題. 例2 已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,離心率是.橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A,B.點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn). （1）求橢圓C的方程； （2）求線段MN長(zhǎng)度的最小值； （3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于. 試確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù). 例2的第二問是求弦長(zhǎng)的最小值，問題解決的思路與例1是一致的.第三問是研究在第二問的條件下，判斷符合條件的點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，這個(gè)問題的解決要注意用數(shù)形結(jié)合的思想去分析，構(gòu)造與AS平行的直線系，在這個(gè)直線系中，找到與橢圓相切的兩條直線，不難得出問題的答案. 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)我們調(diào)整數(shù)值時(shí)，隨著這個(gè)數(shù)值的變化，問題的結(jié)論會(huì)發(fā)生什么變化？ （五）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的研究 對(duì)于不同基礎(chǔ)的學(xué)生可以采用不同的研究方式.基礎(chǔ)中等的學(xué)生，可以從教師示范，學(xué)生模仿開始.之后再進(jìn)行創(chuàng)造.模仿的過程中，教師要揭示解題的思路和關(guān)鍵要點(diǎn)，而不是簡(jiǎn)單的解題步驟. 例1 已知圓O的方程為：，點(diǎn)A（3，0），P是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，M是線段PA的中點(diǎn).求點(diǎn)M的軌跡方程. 分析：首先我們?cè)O(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，依據(jù)題意找到這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.，進(jìn)一步得到，因?yàn)镻是圓O上的點(diǎn)，代入得到：為所求軌跡方程. 我們的教學(xué)應(yīng)該避免就題論題的模式.在解決一個(gè)問題的同時(shí)，應(yīng)該揭示問題的本質(zhì)，使得學(xué)生掌握一類問題的解題策略. 本題的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)M是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，通常把這兩個(gè)點(diǎn)稱為相關(guān)點(diǎn).解題的關(guān)鍵是找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.利用其中一個(gè)點(diǎn)在曲線上，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程即可得到所求軌跡的方程. 如何訓(xùn)練學(xué)生從一個(gè)問題的解決，提升為對(duì)一類問題的深刻認(rèn)識(shí)？當(dāng)一個(gè)題目解決之后，建議作一些變式的工作，一方面使得學(xué)生對(duì)于解題的思路有深入的理解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)也有助于學(xué)生跳出題海. 具體的說，變式可以從相關(guān)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性入手，這個(gè)題目點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，可以變?yōu)槿赛c(diǎn)，甚至MA與MP的長(zhǎng)度比值為λ等等；從另外一個(gè)角度，可以變換動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的方程，不難看出，將圓換成橢圓、雙曲線、拋物線，其解決問題的思路完全相同，只是在問題的最后一步有所不同. 更進(jìn)一步說，點(diǎn)P所在的曲線只要能用解析式描述，上述方法就可以運(yùn)用，不限制一定是圓錐曲線. 常用的求軌跡方程的方法有：相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、幾何法、定義法……等等，因篇幅所限，這里再舉例2，分析一下定義法.定義法的思路是：先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，在依據(jù)幾何條件，變換為代數(shù)條件，之后對(duì)這個(gè)代數(shù)條件做適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)工作，得出所求軌跡方程. 例2 已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動(dòng)點(diǎn)在上,且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為. 求曲線的方程. 解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∵, 幾何條件 ∴. 代數(shù)條件 當(dāng)時(shí),得,化簡(jiǎn)得. 代數(shù)方程 當(dāng)時(shí), 、、三點(diǎn)共線，不符合題意，故. ∴曲線的方程為. 軌跡方程 這個(gè)方法是求軌跡方程的最基礎(chǔ)的方法，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，較好的掌握這個(gè)方法. （六）向量與圓錐曲線 向量知識(shí)的出現(xiàn)，使得解析幾何命題的思路又開了一扇門.但是有一些題目表面上與向量有關(guān)，實(shí)際上與向量無關(guān).例如原來在解析幾何中關(guān)于垂直的描述，現(xiàn)在表現(xiàn)為兩個(gè)向量的點(diǎn)積為0.我們可以戲稱為假向量.即題目的本質(zhì)與向量并沒有關(guān)系.還有一類真的與向量有關(guān)，主要反映在一些計(jì)算的問題上. 例1 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為： 由題意： 所求橢圓方程為：． （Ⅱ）若過點(diǎn)的斜率不存在，則． 若過點(diǎn)的直線斜率為，即：時(shí)， 直線的方程為 由 因?yàn)楹蜋E圓交于不同兩點(diǎn) 所以， 所以 ① 設(shè) 由已知，則 ② ③ 將③代入②得： 整理得： 所以代入①式得 ，解得． 所以或． 綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為：． 前面提到過學(xué)習(xí)圓錐曲線的問題，要注意與其他模塊的內(nèi)容相結(jié)合.在這里特別強(qiáng)調(diào)與向量知識(shí)的結(jié)合.因?yàn)橄蛄康闹R(shí)內(nèi)容，與解析幾何有一個(gè)共同的特點(diǎn)，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的性質(zhì). 教師在講解問題的過程中，應(yīng)特別突出如何運(yùn)用向量的知識(shí)，解決解析幾何的綜合題.例如本題題目解答的思路主體上與其他的解析幾何題目是相同的. 將直線的方程代入圓錐曲線的方程，整理后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.不同點(diǎn)在于有了向量的相關(guān)條件之后，A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)之間除了原有的一元二次方程的根系關(guān)系之外，還有由向量條件得到的特定的關(guān)系“”，只有充分利用好這個(gè)條件，才能使本題得到順利的解決. 三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè) （一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)“解析幾何初步”內(nèi)容的要求 以下摘自普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)： 圓錐曲線與方程（約16課時(shí)） （1）圓錐曲線 ①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用. ②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì). ③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì). ④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題. ⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. （2）曲線與方程 結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想. 課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于圓錐曲線的教學(xué)要求具體明確.我們認(rèn)為重點(diǎn)還是放在以下三個(gè)方面：首先是進(jìn)一步體現(xiàn)解析幾何中用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的基本思想；其次應(yīng)該突出對(duì)于圓錐曲線的研究.既有對(duì)圓錐曲線基本性質(zhì)的研究，也有對(duì)于圓錐曲線教委復(fù)雜問題的研究；第三是滲透和培養(yǎng)常見的數(shù)學(xué)思想以及方法，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的方法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的. （二）典型題目的檢測(cè)分析 檢測(cè)的題目選擇的原則，既要強(qiáng)調(diào)注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，同時(shí)還要體現(xiàn)能力的要求. 例1雙曲線的離心率為______；若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則______. 例1就是以離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)這些基礎(chǔ)的知識(shí)為檢測(cè)目標(biāo). 在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)于橢圓、雙曲線中出現(xiàn)的字母a、b、c容易混淆，特別是這幾個(gè)字母之間的關(guān)系. 針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師可以結(jié)合圖形強(qiáng)調(diào)：在橢圓中a、b、c的關(guān)系是：，而在雙曲線中a、b、c的關(guān)系是：. 對(duì)于檢測(cè)題目的選擇要重視考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 既要檢測(cè)學(xué)生對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的掌握情況，同時(shí)要檢測(cè)學(xué)生將以往所學(xué)知識(shí)與圓錐曲線知識(shí)綜合運(yùn)用的能力. 例2 已知橢圓的焦點(diǎn)為，，在長(zhǎng)軸上任取一點(diǎn)，過作垂直于的直線交橢圓于點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的概率為（ ） A． B． C． D． 例2涉及了三個(gè)模塊的知識(shí). 有橢圓的知識(shí)，也是本題的主干；有向量的知識(shí)，由向量的點(diǎn)積小于0可以得出∠是個(gè)鈍角；還有概率的知識(shí).這里涉及的是一個(gè)幾何概型.從以上分析可以看出，在學(xué)習(xí)新的知識(shí)的同時(shí)，要適時(shí)的與之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合. 例3 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程； （Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N， 證明線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值. 例3 一共分為3個(gè)小題.第1個(gè)小題是利用曲線與方程的概念確定橢圓的方程.這是一個(gè)基本的問題，用到了待定系數(shù)法等，難度不大，一般同學(xué)都可以順利解決；第2問就是解決一類圓錐曲線的問題，用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題，確定圓的方程.如果使用弦長(zhǎng)公式解決，運(yùn)算量較大，如果使用平面幾何的知識(shí)，將直線被圓所截得弦長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，體現(xiàn)了思維多樣性、靈活性的考查；第3問是進(jìn)一步研究曲線的性質(zhì)，證明線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值，既可以使用解析幾何的的知識(shí)解決，也可以運(yùn)用向量的知識(shí)來解決，體現(xiàn)了對(duì)綜合分析問題、解決問題能力的考查. 詳解如下： （Ⅰ）由題意得① 因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以 ② 又 ③ 由①②③ 解得 ，. 所以橢圓方程為. （Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為,半徑， 方程為： 因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2， 所以圓心到直線的距離 . 所以，解得. 所求圓的方程為. （Ⅲ）方法一：過點(diǎn)F作OM的垂線，垂足設(shè)為K，由平幾知：. 則直線OM：，直線FN： 由，得：. ∴ . 所以線段ON的長(zhǎng)為定值. 方法二：設(shè)，則 ，， ，. ∵ ，∴ .∴ . 又∵ ，∴ ， ∴ . ∴ 為定值. 解析幾何的綜合題往往是集中檢測(cè)運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力于一身，因此解析幾何的綜合題成為我們檢測(cè)的重要內(nèi)容之一. 我們建議教師在設(shè)計(jì)解析幾何綜合題這類檢測(cè)題目的時(shí)候，要注意對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力的檢測(cè). 在具體題目的設(shè)計(jì)時(shí)，還需要注意幾個(gè)問題. 首先題目要有一定的梯度.綜合題也應(yīng)該有一個(gè)由易到難的過程，對(duì)于基礎(chǔ)較弱的同學(xué)也能夠有入手之處；其次，雖然注重運(yùn)算能力的考查，但是還要有邏輯思維能力的考查，盡量不要有過大的運(yùn)算量.按照減小運(yùn)算量、增加思維量的原則處理為宜；第三適當(dāng)?shù)呐c其他模塊的知識(shí)綜合，比如與函數(shù)的知識(shí)綜合，與向量的知識(shí)綜合，與不等式的知識(shí)綜合，與概率的知識(shí)綜合、與三角函數(shù)的知識(shí)綜合等等. 以上是對(duì)高中“圓錐曲線”教學(xué)的一些想法和認(rèn)識(shí)，供各位老師參考，不妥之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正. 互動(dòng)對(duì)話 【參與人員】 金寶錚：北京師范大學(xué)二附中 程　敏：北京師范大學(xué)二附中 趙瑞娟：北京師范大學(xué)二附中 【互動(dòng)話題】 1．如何突破“解析幾何綜合題”這個(gè)難點(diǎn) 高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)中，橢圓、雙曲線、拋物線主要是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，學(xué)生往往感到困惑。如何在教學(xué)中，克服學(xué)生的畏難情緒，幾位教師作了較為詳細(xì)的論述，建議教師遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，綜合問題也要由淺入深，并且列舉一些案例。 2．圓錐曲線的“包絡(luò)”身份與幾何畫板作圖 經(jīng)?？吹揭恍┙處熢谡n堂上，利用折紙“折出”圓錐曲線，幾位教師談話揭露了其中的奧妙。幾位教師從什么是包絡(luò)開始講起，借助幾何畫板的演示，詳細(xì)敘述了圓錐曲線的包絡(luò)，還介紹了在高考中出現(xiàn)的與包絡(luò)有關(guān)的試題。 3．重視與其它知識(shí)的交匯點(diǎn) 圓錐曲線的知識(shí)與其他模塊的知識(shí)之間存在有諸多的聯(lián)系。三位老師建議教師在教學(xué)過程中不要忽視與其他知識(shí)的結(jié)合。他們列舉的實(shí)例雖然僅僅是立體幾何的聯(lián)系，但是教師在體會(huì)了其中的意思之后，會(huì)舉一反三，自然地遷移到其他的模塊。 4．圓錐曲線發(fā)展史 數(shù)學(xué)文化往往被強(qiáng)大的升學(xué)壓力所淹沒，我們還是希望我們的教師能夠更多的關(guān)注知識(shí)形成過程，這樣有助于加深我們對(duì)知識(shí)完整的理解。幾位老師對(duì)圓錐曲線發(fā)展史簡(jiǎn)單的介紹，豐富了解析幾何學(xué)科內(nèi)容的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)文化的熏陶。 案例評(píng)析 【案例信息】 案例名稱：《拋物線的焦點(diǎn)弦》 講課教師：汪燕銘（北師大二附中，高級(jí)教師） 評(píng)析教師：金寶錚（北師大二附中，特級(jí)教師） 【課堂實(shí)錄】 【案例評(píng)析】 汪燕銘老師的教學(xué)課例《拋物線的焦點(diǎn)弦》是選修系列2-1中的一個(gè)內(nèi)容。 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用。 這節(jié)課，首先由教師提出研究課題：拋物線的焦點(diǎn)弦。把拋物線的焦點(diǎn)弦作為研究的主要對(duì)象，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探討。這種探討，既不是教師提出問題讓學(xué)生解答，也不是放羊式的讓學(xué)生漫無邊際的空想。 教師首先啟發(fā)學(xué)生思考，有哪些與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題，從錄像課中我們可以看到學(xué)生的思維是非?；钴S的，提出了弦的中點(diǎn)的軌跡問題；頂點(diǎn)與弦的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形產(chǎn)生的面積關(guān)系；…，有了這些感性的、具體的問題，教師進(jìn)行了適當(dāng)?shù)臍w納：首先是點(diǎn)和直線的關(guān)聯(lián)，可以探究由此產(chǎn)生的問題；第二可以從研究拋物線本身的關(guān)系入手；第三研究直線和拋物線的關(guān)系。 教師這樣的提示有利于學(xué)生積極地探索，同時(shí)也滲透了如何從未知的角度發(fā)現(xiàn)新問題的方法。汪老師還強(qiáng)調(diào)了一點(diǎn)，首先是發(fā)現(xiàn)結(jié)論得出猜想，如果時(shí)間不夠，可以把證明先放一放。這個(gè)作法可以讓學(xué)生更放松的去探討未知的性質(zhì)。 教師讓學(xué)生自主研討，并且不時(shí)地走到同學(xué)面前和他們交談，對(duì)于學(xué)生探討中遇到的障礙給予幫助。整個(gè)自主探討的過程持續(xù)了11分鐘，足以看出教師對(duì)于學(xué)生的放手是充分的。 學(xué)生的討論是否會(huì)有成果，能否發(fā)現(xiàn)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)？接下來的討論完全可以讓我們放心。 教師先后讓六位同學(xué)發(fā)言，簡(jiǎn)單記錄如下（根據(jù)錄像整理，不是原話）： 生1：我探討的是拋物線的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的最小值，當(dāng)弦垂直于其對(duì)稱軸時(shí)取得最小值，沒有最大值。 同時(shí)我還得到焦點(diǎn)弦兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系：。 生2：弦中點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于弦長(zhǎng)的一半，從弦AB的中點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，如果垂足是C，則∠ACB＝90°，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，準(zhǔn)線是這個(gè)圓的切線。 生3：△AOB的面積有最小值。 生4：焦點(diǎn)弦的中垂線與拋物線的交點(diǎn)到焦點(diǎn)弦的距離相等。 生5：如果A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為：，那么。 生6：弦中點(diǎn)的軌跡亦為拋物線，新拋物線的焦點(diǎn)與原拋物線的焦點(diǎn)是有聯(lián)系的。 至此，教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索的階段已經(jīng)完成。無論是學(xué)生經(jīng)過自身努力獲得探索的結(jié)果，還是受其他發(fā)言同學(xué)的啟發(fā)思路更加開闊，對(duì)于學(xué)生來是說，都是一種巨大的收獲。 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在理念的論述中指出：倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。同時(shí)，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。 汪老師的這節(jié)課，成功之處在于真正的實(shí)施讓學(xué)生自主探索，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，能力得到提升。 在學(xué)生交流之后，教師又帶領(lǐng)學(xué)生一起對(duì)拋物線的焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的軌跡等兩個(gè)問題進(jìn)行了論證，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。 縱觀整節(jié)課程，汪老師較好的體現(xiàn)了新的課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，同時(shí)注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的落實(shí)，確實(shí)值得我們借鑒。 思考與活動(dòng) 1．同課異構(gòu)活動(dòng) 圍繞圓錐曲線綜合題，自選一節(jié)課，約請(qǐng)一個(gè)區(qū)域（或幾個(gè)學(xué)校）的幾個(gè)數(shù)學(xué)老師作課，相互觀摩實(shí)際的授課，聽課之后一起評(píng)議。重點(diǎn)探討如何突破教學(xué)難點(diǎn)。 2．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì) 選擇一個(gè)單元的內(nèi)容，約請(qǐng)一個(gè)區(qū)域（或幾個(gè)學(xué)校）的幾個(gè)數(shù)學(xué)分別命制目標(biāo)檢測(cè)題，交流之后，安排一次研討，品評(píng)每一道題目的優(yōu)劣，達(dá)到提高命制目標(biāo)檢測(cè)題目水平的目的。 3．教學(xué)設(shè)計(jì)交流 選擇一個(gè)大家公認(rèn)難教的課題，約請(qǐng)一個(gè)區(qū)域（或幾個(gè)學(xué)校）的幾個(gè)數(shù)學(xué)老師作該課程的教學(xué)設(shè)計(jì)，之后相互交流研討，達(dá)成共識(shí)。 參考資料 【相關(guān)資源】 1.一類圓錐曲線交點(diǎn)問題的常用解法(PDF) 2.一類過定點(diǎn)的橢圓和雙曲線方程的求法(PDF) 3.一類非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線離心率的求法(PDF) 4.一道高考題另一種形式的推廣(PDF) 5.三角形和圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的運(yùn)用(PDF) 6.優(yōu)美圓錐曲線(PDF) 7.再議圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題(PDF) 8.雙曲線中有關(guān)中點(diǎn)弦存在性問題的探索(PDF) 9.雙曲線的軌跡問題求解四法(PDF) 10.向量與解析幾何的交匯(PDF) 11.圓的垂徑定理的推廣_橢圓_雙曲線的性質(zhì)探究及應(yīng)用(PDF) 12.圓錐截線若干性質(zhì)的解析證明(PDF) 13.圓錐曲線一個(gè)有趣的關(guān)系式(PDF) 14.圓錐曲線一組統(tǒng)一性質(zhì)的推廣(PDF) 15.圓錐曲線與其他熱點(diǎn)知識(shí)的交匯(PDF) 16.圓錐曲線與方程的探究性學(xué)習(xí)(PDF) 17.圓錐曲線中“范圍問題”的解法——高考熱點(diǎn)問題專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)(PDF) 18.圓錐曲線中的定值與最值問題(PDF) 19.圓錐曲線幾類問題的簡(jiǎn)明解法(PDF) 20.圓錐曲線定點(diǎn)弦的一個(gè)奇妙定值(PDF) 21.圓錐曲線平行弦性質(zhì)探究(PDF) 22.圓錐曲線最值問題的處理方法(PDF) 23.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及應(yīng)用(PDF) 24.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度與條數(shù)關(guān)系(PDF) 25.圓錐曲線的“共軛直線”及應(yīng)用(PDF) 26.圓錐曲線的“內(nèi)部”作用(PDF) 27.圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)(PDF) 28.圓錐曲線的切線性質(zhì)相關(guān)性(PDF) 29.圓錐曲線的應(yīng)用性問題(PDF) 30.圓錐曲線的新性質(zhì)探究(PDF) 31.圓錐曲線的有趣性質(zhì)(PDF) 32.圓錐曲線的通徑公式及其應(yīng)用(PDF) 33.圓錐曲線解題誤區(qū)辨析(PDF) 34.圓錐曲線問題中一對(duì)奇異的“伴侶點(diǎn)”(PDF) 35.探析解析幾何中的例索性_存在性問題(PDF) 36.探究雙曲線四種定義的_統(tǒng)一_性_一節(jié)選修課的設(shè)計(jì)思路(PDF) 37.數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)綜合能力題選講——解析幾何(PDF) 38.有關(guān)圓錐曲面鏡面反射的幾個(gè)結(jié)論(PDF) 39.有關(guān)橢圓焦點(diǎn)弦的高考題的探究(PDF) 40.有心圓錐曲線的一組性質(zhì)(PDF) 41.橢圓與雙曲線的一個(gè)重要性質(zhì)(PDF) 42.橢圓與雙曲線的兩個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)(PDF) 43.橢圓與雙曲線的另一定義(PDF) 44.橢圓準(zhǔn)線上點(diǎn)的有趣性質(zhì)的簡(jiǎn)證及新性質(zhì)(PDF) 45.橢圓第二定義的應(yīng)用(PDF) 46.現(xiàn)代手持教育技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究_圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一種性質(zhì)(PDF) 47.用幾何畫板畫橢圓的六種方法(PDF) 48.運(yùn)用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解題續(xù)談(PDF) 49.運(yùn)用圓錐曲線范圍解題例說(PDF) 50.2005年高考全國試題分類解析（圓錐曲線）(PDF) 51.2006年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（圓錐曲線）(PDF) 52.2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（圓錐曲線）(PDF) 53.2008年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編－－圓錐曲線(PDF) 54.2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——圓錐曲線（共77頁）(PDF) 55.2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——直線與圓(PDF) 課程簡(jiǎn)介 高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)研究 【課程簡(jiǎn)介】 高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)研究分為三個(gè)方面。首先是對(duì)“圓錐曲線”數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解。在對(duì)“圓錐曲線”的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析之后，對(duì)這部分內(nèi)容在整個(gè)解析幾何中的地位與作用作了詳盡的分析；接下來第二部分是“圓錐曲線”的教學(xué)策略以及學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤與問題的分析與解決策略。這一部分是本講的重點(diǎn)，從教師的教和學(xué)生的學(xué)兩個(gè)方面作了論述。第三是學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè)。重點(diǎn)講解了檢測(cè)題目設(shè)置的原則和一些具體的問題。 學(xué)習(xí)本課程，幫助教師準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)的要求尺度以及教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于本講內(nèi)容難度較大，學(xué)生學(xué)習(xí)困難也較大，我們對(duì)一些教學(xué)內(nèi)容的處理提出幾種不同層次的要求，希望教師結(jié)合自己學(xué)生的實(shí)際情況，恰當(dāng)?shù)匕盐战滩?，較好的完成相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。 本課程結(jié)合主講教師的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，既有從宏觀上把握教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，還配合有大量的教學(xué)案例，使得聽課教師有直觀的切身感受，有腳踏實(shí)地的感受。換個(gè)角度說，主講教師將教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐作了較好的整合。聽課教師不會(huì)感到空洞。 【學(xué)習(xí)要求】 1.高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)的學(xué)習(xí)要求，首先要求教師整體把握全章的知識(shí)結(jié)構(gòu)。對(duì)全章內(nèi)容有一個(gè)整體的了解。這樣才能把握好每一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)要求。避免忽深忽淺。 思考題：如何區(qū)別高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”的內(nèi)容中對(duì)于三種曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）在教學(xué)要求中的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ 2.正確理解高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。明確哪些內(nèi)容是基礎(chǔ)的，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)是不困難的，哪些內(nèi)容學(xué)生的學(xué)習(xí)是困難的。對(duì)于常用的數(shù)學(xué)方法要引導(dǎo)學(xué)生深入理解。不宜過分強(qiáng)調(diào)一些特殊的、偏怪的解題技巧。 思考題：我們應(yīng)該采取哪些措施，突破教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)？ 3.明確高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的目標(biāo)檢測(cè)的原則和要求。特別是在檢測(cè)知識(shí)的同時(shí)，要注意能力要求的檢測(cè)。 思考題：如何設(shè)計(jì)好本講的目標(biāo)檢測(cè)題？ 教師團(tuán)隊(duì) 【主講教師】 金寶錚 北京市數(shù)學(xué)特級(jí)教師，任教于北京師大二附中?，F(xiàn)任中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事；北京市教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事；北京市西城區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)常務(wù)理事。 1991年至1993年被教育部派往日本研修教育理論；2000年被教育部選為骨干教師國家級(jí)培訓(xùn)學(xué)員，在華東師范大學(xué)研修。 2004年被評(píng)為北京市中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；2003年開始參加北京市義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書編寫工作；現(xiàn)任《數(shù)學(xué)通報(bào)》編委會(huì)委員； 1998年被西城區(qū)評(píng)為首批數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；2001年至2009年擔(dān)任北京數(shù)學(xué)會(huì)理事；曾任《中學(xué)生數(shù)學(xué)》編委會(huì)委員。 【互動(dòng)教師】 程敏：北京師大二附中青年骨干教師。2010年在中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)舉辦的第五屆全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比中，程敏老師的課題《歸納推理》獲得全國一等獎(jiǎng)。2011年被西城區(qū)教育委員會(huì)評(píng)為西城區(qū)先進(jìn)教育工作者。