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1、國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)4試題及答案 國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)4試題及答案 形考任務(wù)4 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4 第二章 基本定理的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握． 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到

2、課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。 一、填空題 1. 方程的任一非零解 不能 與x軸相交． 2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分 條件． 3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在區(qū)間必是(-∞,+∞) ． 4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是 開區(qū)間 ． 5．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面 ． 6．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　XOY平面． 7．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面． 8．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是---，（或不含x 軸的上半平面）． 9．方程滿足解的存在惟一

3、性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面． 10．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定 開 區(qū)間． 二、計(jì)算題 1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？ （1） （2）1．解 （1) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一. （2) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一. 2． 討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過的一切解． 2.解 因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù), 除軸外, 在整個(gè)平面上有界, 所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.1的條件. 而后分離變

4、量并積分可求出方程的通解為 其中 另外容易驗(yàn)證是方程的特解. 因此通過的解有無窮多個(gè), 分別是: 3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解． （1） （2）3．解 （1) 因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程無奇解. （2) 因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果方程有奇解, 則奇解只能是 顯然是方程的解, 是否為奇解還需要進(jìn)一步討論. 為此先求出方程的通解 由此可見對(duì)于軸上點(diǎn) 存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解: 及 故是奇解. 三、證明題 1．試證明：對(duì)于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在． 2．設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界

5、，對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義． 3．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為． 4．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為． 5．假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解．求證：若<，，則在區(qū)間I上必有 <成立． 6．設(shè)是方程 的非零解，其中在上連續(xù)．求證：當(dāng)時(shí)，必有． 7．設(shè)在上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的，，方程

6、 滿足初值條件的解必在上存在． 8．證明：一階微分方程 的任一解的存在區(qū)間必是． 1．證明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件. 現(xiàn)在考慮過初值 ()的解, 根據(jù)唯一性, 該解不能穿過直線和. 因此只有可能向左右兩側(cè)延展, 從而該初值解應(yīng)在上存在. 2．證明 不妨設(shè)過點(diǎn)分別作直線 和 . 設(shè)過點(diǎn)的初值解為. 因?yàn)? 故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下, 之上. 下證曲線不能與直線相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾證明曲線不能與直線相交. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 它也不能與相交. 故

7、當(dāng) 時(shí)解曲線位于直線, 之間. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 解曲線也位于直線, 之間. 由延展定理, 的存在區(qū)間為。 3．證明 由已知條件，該方程在整個(gè) 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件． 顯然 是方程的兩個(gè)常數(shù)解． 任取初值，其中,．記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為． 4．證明 由已知條件可知，該方程在整個(gè) 平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解 ． 對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過該

8、點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義． 若,則,記過該點(diǎn)的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展；另一方面在條形區(qū)域 內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區(qū)間必為． 5．證明 僅證方向，（反之亦然）． 假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾）． 令=-，那么 =-< 0， =-> 0 由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 這與解惟一矛盾 6．證明 由已知條件知方程

9、存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件． 設(shè)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足 ，， 由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾． 7．證明 該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又 是該方程的兩個(gè)常數(shù)解． 現(xiàn)取，，記過點(diǎn)的解為．一方面該解可向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區(qū)域內(nèi)沿x軸兩側(cè)無限延展，顯然其定義區(qū)間必是． 8．證明 方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數(shù)解．

10、 對(duì)平面上任取的 若則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解其存在區(qū)間顯然是 若)則過該點(diǎn)的解可以向平面無窮遠(yuǎn)無限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是． 四、應(yīng)用題 1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1． 2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長等于常數(shù)． 1．解 首先, 由解析幾何知識(shí)可知, 滿足 的直線 都是所求曲線. 設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn)，(X, Y)為其切線上的點(diǎn), 則過 (x, y) 的切線方程為 . 顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故 . 解出y, 得到克萊洛方程 , 通解為 所以 , 即 為所求曲線方程. 2．解 設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn), (X, Y)為其切線上的點(diǎn), 則過 (x, y) 的切線方程為 . 顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故 , 即. 解出得 故曲線的方程為 消去即的曲線方程為 .