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華 北 水 利 水 電 學(xué) 院 常微分方程的解法及應(yīng)用 （常見(jiàn)解法及舉實(shí)例） 課 程 名 稱(chēng)： 高等數(shù)學(xué)（2） 專(zhuān) 業(yè) 班 級(jí)： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2012年 05月25日 摘要 常微分方程是微積分學(xué)的重要組成部分，廣泛用于具體問(wèn)題的研究中。求解常微分的問(wèn)題，常常通過(guò)變量分離、兩邊積分，如果是高階的則通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，達(dá)到降階的目的來(lái)解決問(wèn)題。本文就是對(duì)不同類(lèi)型的常微分方程的解法的系統(tǒng)總結(jié)：先對(duì)常微分方程 定義及一般解法做簡(jiǎn)單闡述，然后應(yīng)用變量替換法解齊次性微分方程，降階法求高階微分方程，討論特殊的二階微分方程，并且用具體的實(shí)例分析常微分方程的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：微分方程 降階法 變量代換法 齊次型 一階線性 英文題目： The solution of ordinary differential equations and its application （Common solution and examples） Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations. Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear 1、 引言 微積分學(xué)研究的對(duì)象是變量之間的函數(shù)關(guān)系，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往不能直接找到反映某個(gè)變化過(guò)程的函數(shù)關(guān)系，而是根據(jù)具體的問(wèn)題和所給的條件，建立一個(gè)含有未知函數(shù)或微分的關(guān)系式。這樣的關(guān)系式，我們稱(chēng)其為微分方程。再通過(guò)積分等方法，從微分方程中確定出所求的未知函數(shù)，即求解微分方程。這就是本文要討論的問(wèn)題。 2 、研究問(wèn)題及成果 2.1 一階微分方程 2.1.1 變量可分離的微分方程 形如的方程，稱(chēng)為變量分離方程，，分別是，的連續(xù)函數(shù).這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的一階函數(shù)．如果，我們可將()改寫(xiě)成，這樣變量就分離開(kāi)來(lái)了.兩邊積分，得到， 為任意常數(shù)．由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程的解． 例1：求解的通解。 解：→→→通解： 2.1.2 齊次型微分方程 （變量代換的思想） 一階微分方程可以化成的形式。 求解：， （可分離變量）通解 例2：解方程 2.1.3 一階線性微分方程 若 ，稱(chēng)為一階齊次線性微分方程。 若（），稱(chēng)為一階非齊次線性微分方程。 一階非齊次微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。 解的通解如下：可分離變量的一階微分方程 （齊次方程通解）采用積分因子法求的一個(gè)特解如下 （）的通解為： 2.1.4 伯努利方程 形如： 當(dāng)時(shí)， 一階線性微分方程（公式法） 當(dāng)時(shí)， 可分離變量微分方程 求通解過(guò)程： 作變量代換 （積分因子公式法） 2.2 一階微分方程的應(yīng)用舉例 例1細(xì)菌的增長(zhǎng)率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長(zhǎng)為400、那么前12h后總數(shù)是多少? 分析： 例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的新陳代謝(即自動(dòng)消耗)。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的大約是16 cal/kg/天，乘以他的體重(kg)。假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%的有效，而1kg脂肪含熱量10,000 cal。求出這人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的。 輸入率=2500 cal／天 分析： 輸出率=健身訓(xùn)練16 cal/kg/天×體重w (kg) +新陳代謝1200 cal ／天 2.3高階微分方程的降階法 二階及二階以上的微分方程稱(chēng)為高階微分方程，求高階微分方程通解的方法成為降階法 2.3.1 y(n) = f (x) 型： 解法： 2.3.2 y" = f (x,y') 型 解法： 2.3.3 y" = f (y,y') 型 解法： 若得其解為則 原方程通解為 2.4二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 形如： 若時(shí)，（方程一）稱(chēng)為：二階線性齊次微分方程。 若時(shí)，（方程二）稱(chēng)為：二階非齊次微分方程 2.4.1 二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理1 :如果函數(shù)與是方程(5.2)的兩個(gè)解, 則 也是（方程一)的解，其中是任意常數(shù). 定理2 : 如果與是方程(5.2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則 就是（方程一）的通解，其中是任意常數(shù) 例3： 解： 可驗(yàn)證：和是的兩個(gè)解，線性無(wú)關(guān) 2.4.2 二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理3 設(shè)是方程(5.1)的一個(gè)特解，而是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(5.2)的通解，則 就是二階非齊次線性微分方程（方程二）的通解. 2.5二階常系數(shù)線性微分方程 2.5.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法 當(dāng)均為常數(shù)，即或其中p,q均為常數(shù)。 求解： 三種情況：1）兩個(gè)不等實(shí)根： 2）兩個(gè)相等實(shí)根 ： 3）一對(duì)共軛復(fù)根： 2.5.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法 若方程（1）中，其中是的次多項(xiàng)式，則方程（1）的一特解具有如下形式 其中是系數(shù)待定的的次多項(xiàng)式，由下列情形決定： （1）當(dāng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的單根時(shí)，?。? （2）當(dāng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的重根時(shí)，?。? （3）當(dāng)不是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根時(shí)，取． （2）或 定理3 若方程（1）中的或（是的次多項(xiàng)式），則方程（1）的一個(gè)特解具有如下形式 ． 其中、為系數(shù)待定的的次多項(xiàng)式，由下列情形決定： （1）當(dāng)是對(duì)應(yīng)齊次方程特征根時(shí)，??； （2）當(dāng)不是對(duì)應(yīng)齊次方程特征根時(shí)，?。? 2.6二階微分方程的應(yīng)用舉例 例1 求微分方程的通解． 解 所給方程也是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且呈型（其中）． 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ， 它的特征方程 有一對(duì)重根．于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 ． 由于是特征方程的重根，所以應(yīng)設(shè)為 ． 把它代入所給方程，得 ． 比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得 解得．因此求得一個(gè)特解為 ． 從而所求的通解為 ． 結(jié)束語(yǔ)：經(jīng)過(guò)對(duì)常微分方程的解法及應(yīng)用的學(xué)習(xí)，我們大體對(duì)常微分方程的定義，定理，解法及應(yīng)用 做了大致的了解。我們可以根據(jù)具體問(wèn)題的性質(zhì)和所給的條件，建立一個(gè)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系式，再通過(guò)積分等方法，從微分方程中確定出所求的未知函數(shù)。對(duì)微分方程具體有常數(shù)變易法、降階法。對(duì)微分方程的應(yīng)用可以具體解決許多生活中的實(shí)際問(wèn)題，得到各種變化率，以聯(lián)系具體問(wèn)題?。? 參考文獻(xiàn) [1] 上海交通大學(xué)&集美大學(xué). 高等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社 2011-264-305 分工情況 前3節(jié)由劉**完成 后3節(jié)由孫**完成 摘要、引言、排版、最終核定由張**完成 注：僅供大家參考交流之用。謝謝支持?。?！ 記得給好評(píng)呦！