《2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案：322《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》（新人教A版選修1-2）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案：322《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》（新人教A版選修1-2）（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.2.2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 (教師用書獨(dú)具) ●三維目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法那么，了解共軛復(fù)數(shù)的概念． 2．過程與方法 理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化問題，通過運(yùn)算過程體會(huì)這一變形本質(zhì)意圖． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 利用多項(xiàng)式除法和復(fù)數(shù)除法類比，知道事物之間是普遍聯(lián)系的．通過復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力． ●重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)除法法那么的運(yùn)用． (教師用書獨(dú)具) ●教學(xué)建議 建議本節(jié)教學(xué)采用自學(xué)指

2、導(dǎo)法，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的根底上可利用一下教學(xué)方法及手段完本錢節(jié)教學(xué)：(1)類比分析法，通過比照多項(xiàng)式的乘法法那么推出復(fù)數(shù)乘法法那么．(2)歸納推理法，運(yùn)用已有的多項(xiàng)式乘法法那么和分母有理化及復(fù)數(shù)加減法的知識(shí)，通過歸納類比，推導(dǎo)復(fù)數(shù)除法法那么．(3)合理、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體教學(xué)手段，將靜態(tài)事物動(dòng)態(tài)化，將抽象事物直觀化，以突破教學(xué)難點(diǎn)． ●教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)復(fù)數(shù)如何進(jìn)行代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算．讓學(xué)生自主完成填一填，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法、除法運(yùn)算的法那么，及其滿足的運(yùn)算律．引導(dǎo)學(xué)生分析例題1的運(yùn)算方法并求解，教師只需指導(dǎo)完善，解答疑惑并要求學(xué)生獨(dú)立

3、完成變式訓(xùn)練．由學(xué)生分組探究例題2解法，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)in運(yùn)算的周期性，及其應(yīng)用方法．完成互動(dòng)探究．  完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，穩(wěn)固所學(xué)知識(shí)及應(yīng)用方法．并進(jìn)行反應(yīng)矯正．歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容和規(guī)律方法．學(xué)生自主完成例題3變式訓(xùn)練，老師抽查完成情況，對(duì)出現(xiàn)問題及時(shí)指導(dǎo)．通過易錯(cuò)辨析糾正運(yùn)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤．讓學(xué)生自主分析例題3，老師適當(dāng)點(diǎn)撥解題思路，學(xué)生分組討論給出解法．老師組織解法展示，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律． 課標(biāo)解讀 1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運(yùn)算．(重點(diǎn)) 2．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．(難點(diǎn)) 3．理解共軛

4、復(fù)數(shù)的概念．(易錯(cuò)點(diǎn)) 復(fù)數(shù)的乘法 【問題導(dǎo)思】　 1．如何規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘？ 【提示】　兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘類似于多項(xiàng)式相乘，只要在所得結(jié)果中把i2換成－1，并且把實(shí)部與虛局部別合并即可． 2．復(fù)數(shù)乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律嗎？ 【提示】　滿足． 　(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1·z2＝z2·z1 結(jié)合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法對(duì)加法的分配律 z1(z

5、2＋z3)＝z1z2＋z1z3 復(fù)數(shù)的除法與共軛復(fù)數(shù) 【問題導(dǎo)思】　 　如何規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 【提示】　＝＝＝. 　(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d為實(shí)數(shù)，c＋di≠0)，z1，z2進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式再把分子與分母都乘以c－di化簡(jiǎn)后可得結(jié)果：＋i. (2)共軛復(fù)數(shù) 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)滿足實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)用表示．即z＝a＋bi，那么＝a－bi.虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù). 復(fù)數(shù)代數(shù)

6、形式的乘除法運(yùn)算 　(1)(2021·課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，那么z＝(　　) A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i (2)(2021·大綱全國卷)(1＋i)3＝(　　) A．－8 B．8 C．－8i D．8i (3)計(jì)算()6＋＝________. 【思路探究】　(1)先設(shè)出復(fù)數(shù)z＝a＋bi，然后運(yùn)用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a，b的值． (2)直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法那么計(jì)算． (3)先計(jì)算再乘方，且將的分母實(shí)數(shù)化后再合并． 【自主解答】　(1)設(shè)z＝a＋bi，那么(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i

7、. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得 ∴z＝－1＋i.應(yīng)選A. (2)原式＝(1＋i)(1＋i)2＝(1＋i)(－2＋2i)＝－2＋6i2＝－8. (3)法一　原式＝6＋ ＝i6＋＝－1＋i. 法二　原式＝6＋ ＝i6＋ ＝－1＋i. 【答案】　(1)A　(2)A　(3)－1＋i 1．復(fù)數(shù)的乘法類比多項(xiàng)式相乘進(jìn)行運(yùn)算，復(fù)數(shù)除法要先寫成分式形式后，再將分母實(shí)數(shù)化，注意最后結(jié)果要寫成a＋bi(a，b∈R)的形式． 2．記住以下結(jié)論可以提高運(yùn)算速度 (1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； (2)＝－i，＝i； (3)＝－i. 計(jì)算： (1)(1－i)

8、2； (2)(－＋i)(＋i)(1＋i)； (3). 【解】　(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. (2)(－＋i)(＋i)(1＋i) ＝(－－i＋i＋i2)(1＋i) ＝(－＋i－)(1＋i) ＝(－＋i)(1＋i) ＝－－i＋i－ ＝－＋i. (3)＝＝＝＋i. 虛數(shù)單位i的冪的周期性及其應(yīng)用 　(1)計(jì)算：＋()2 013； (2)假設(shè)復(fù)數(shù)z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值． 【思路探究】　將式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，使之出現(xiàn)in的形式，然后再根據(jù)in的值的特點(diǎn)計(jì)算求解． 【自主解答】　(1)原式＝＋[()2]1 006·() ＝i

9、＋()1 006·＝i＋i1 006· ＝－＋i (2)1＋z＋z2＋…＋z2 013＝， 而z＝＝＝＝i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i. 1．要熟記in的取值的周期性，要注意根據(jù)式子的特點(diǎn)創(chuàng)造條件使之與in聯(lián)系起來以便計(jì)算求值． 2．如果涉及數(shù)列求和問題，應(yīng)先利用數(shù)列方法求和后再求解． 在本例(2)中假設(shè)z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值． 【解】　由題意知 1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013 ＝＝＝＝1＋i. ∴原式＝1＋i. 共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用 　設(shè)z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝

10、z1·＋z2·，問A與B是否可以比擬大小？為什么？ 【思路探究】　設(shè)出z1，z2的代數(shù)形式→化簡(jiǎn)A，B→判斷A，B是否同為實(shí)數(shù)→結(jié)論 【自主解答】　設(shè)z1＝a＋bi， z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 那么＝a－bi，＝c－di， ∴A＝z1·＋z2· ＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2 ＝2ac＋2bd∈R， B＝z1·＋z2· ＝|z1|2＋|z2|2 ＝a2＋b2＋c2＋d2∈R， ∴A與B可以比擬大小． 1．z·＝|z|2＝||2是共軛復(fù)數(shù)的常用性質(zhì)． 2．實(shí)數(shù)

11、的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R?z＝，利用此性質(zhì)可以證明一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)． 3．假設(shè)z≠0且z＋＝0，那么z為純虛數(shù)，利用此性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)． z∈C，為z的共軛復(fù)數(shù)，假設(shè)z·－3i＝1＋3i，求z. 【解】　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi(a，b∈R)， 由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 那么有， 解得或， 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 記錯(cuò)i2值而致誤 　設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，那么z＝(　　) A．－2＋i　　　　　　　B．－2－i C．2－i D．2＋i 【錯(cuò)解】　設(shè)復(fù)

12、數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)滿足＝i， 所以1＋2i＝ai＋b. 解得 所以z＝2＋i，應(yīng)選D項(xiàng)． 【答案】　D 【錯(cuò)因分析】　將i2＝－1當(dāng)成i2＝1來運(yùn)算漏掉負(fù)號(hào)． 【防范措施】　在進(jìn)行乘除法運(yùn)算時(shí)，靈活運(yùn)用i的性質(zhì)，并注意一些重要結(jié)論的靈活應(yīng)用． 【正解】　設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)滿足＝i， 所以1＋2i＝ai－b. 解得 所以z＝2－i，應(yīng)選C項(xiàng)． 【答案】　C 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律． (2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時(shí)，通常先將除

13、法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后可得，類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化． 2．共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以用來解決一些復(fù)數(shù)問題． 3．復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想． 復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的根本思想方法，其橋梁是設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化. 1．(2021·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(1,3)　　　　　　　B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 【解析】?。剑剑?＋3i， ∴其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)，選A. 【答案】　A 2．(2021·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)a－(a∈R)是

14、純虛數(shù)，那么a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解析】　因?yàn)閍－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由純虛數(shù)的定義，知a－3＝0，所以a＝3. 【答案】　D 3．假設(shè)x－2＋yi和3x－i互為共軛復(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)x＝________，y＝________. 【解析】　由題意得： ∴ 【答案】?。?　1 4．計(jì)算： (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)； (2)； (3)(2－i)2. 【解】　(1)法一　(1－i)(－＋i)(1＋i) ＝(－＋i＋i－i2)(1＋i) ＝(＋i)(1＋i) ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 法二　原式＝(1－i

15、)(1＋i)(－＋i) ＝(1－i2)(－＋i) ＝2(－＋i) ＝－1＋i. (2)＝ ＝ ＝ ＝＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i＋i2 ＝3－4i. 一、選擇題 1．復(fù)數(shù)(2＋i)2等于(　　) A．3＋4i　　　　　　　B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i 【解析】　(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.應(yīng)選A. 【答案】　A 2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝(　　) A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i 【解析】　＝＝＝1＋i. 【答案】　C 3．(2021·課標(biāo)全國卷Ⅰ)假設(shè)復(fù)數(shù)z

16、滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虛部為(　　) A．－4 B．－ C．4 D． 【解析】　∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虛部為. 【答案】　D 4．假設(shè)z＋＝6，z·＝10，那么z＝(　　) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 【解析】　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi， ∴，解得a＝3，b＝±1，那么z＝3±i. 【答案】　B 5．(2021·湖北高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　z＝＝

17、＝1＋i，所以＝1－i，故復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限． 【答案】　D 二、填空題 6．(2021·江蘇高考)設(shè)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)z的模為________． 【解析】　z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5. 【答案】　5 7．假設(shè)＝a＋bi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，那么a＋b＝________. 【解析】?。? ＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i. ∴解得∴a＋b＝3. 【答案】　3 8．當(dāng)z＝－時(shí)，z2 012＋z2 014＝________. 【解析】　z＝－，∴z2＝＝－i， ∴z2 012＝(－i)2

18、 012＝1， z2 014＝(－i)2 014＝－1， ∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0. 【答案】　0 三、解答題 9．計(jì)算以下各題： (1)＋－； (2)(＋i)5＋()4＋()7； (3)(－－i)12＋()8. 【解】　(1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－ ＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－ ＝8＋8－16－16i＝－16i. (2)(＋i)5＋()4＋()7 ＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[]2＋i7 ＝16(－1＋i)－－i ＝－(16＋)＋(16－1)i. (3)(－－i)12＋()8 ＝(－

19、i)12·(－－i)12＋()8 ＝(－＋i)12＋ ＝[(－＋i)3]4＋(－8＋8i) ＝1－8＋8i＝－7＋8i. 10．復(fù)數(shù)z＝，假設(shè)z2＋<0，求純虛數(shù)a. 【解】　z＝＝1－i， ∵a為純虛數(shù)，設(shè)a＝mi(m∈R，m≠0)， 那么z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋ ＝－＋(－2)i<0， ，∴m＝4，∴a＝4i. 11．定義運(yùn)算＝ad－bc，那么滿足＝0的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？ 【解】　結(jié)合＝ad－bc可知 ＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z＝＝＝2－i， ∴復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限. (教師用書獨(dú)具)

20、　z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且＋＝1，求證：z2－3z1為純虛數(shù)． 【思路探究】　由題目條件推出(z2－3z1)2，再證明其小于0即可． 【自主解答】　∵＋＝1， ∴10z＋5z＝2z1·z2， 即z＋4z＋4z1·z2＝－9z－z＋6z1·z2， 也即－(z1＋2z2)2＝(3z1－z2)2. ∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0， ∴－(z1＋2z2)2<0， ∴(3z1－z2)2<0， ∴(3z1－z2)2為負(fù)實(shí)數(shù)， ∴z2－3z1為純虛數(shù)． 1．證明z為純虛數(shù)的方法： (1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，證明a＝0且b≠0； (2)z2<0?

21、z為純虛數(shù)； (3)z≠0，且z＋＝0?為純虛數(shù)． 2．證明z∈R的方法： (1)設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，證明b＝0； (2)z∈R?z＝； (3)z∈R?z2≥0； (4)z∈R?|z|2＝z2. 　設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，假設(shè)∈R，那么a、b應(yīng)滿足什么條件？并說明理由． 【解】　＝ ＝ ＝∈R， ∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1. 復(fù) 數(shù)復(fù)數(shù)的 概念復(fù)數(shù)相等的充要條件復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)分類共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的 運(yùn)算復(fù)數(shù)的 減法法 那么(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離d＝|z1－z2|復(fù)數(shù)的 加法法 那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)的 乘法法 那么(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i復(fù)數(shù)的 除法法 那么＝＋i(c＋di≠0)