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1、第二章,微積分學的創(chuàng)始人:,德國數(shù)學家 Leibniz,微分學,導數(shù),,描述函數(shù)變化快慢,微分,,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),,導數(shù)與微分,導數(shù)思想最早由法國,數(shù)學家 Ferma 在研究,極值問題中提出.,英國數(shù)學家 Newton,本章主要內(nèi)容,第一節(jié) 導數(shù)概念,第二節(jié) 函數(shù)的求導法則,第三節(jié) 高階導數(shù)（二階導數(shù)）,第四節(jié) 隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程所確定,的函數(shù)的導數(shù),第五節(jié) 函數(shù)的微分,,一、引例,二、導數(shù)的定義,三、導數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系,,第一節(jié),導數(shù)的概念,第二章,一、 引例,1. 變速直線運動的速度,設(shè)描述質(zhì)點運動

2、位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時刻的瞬時速度為,,,,2. 曲線的切線斜率,曲線,,,,在 M 點處的切線,,割線 M N 的極限位置 M T,,(當 時),割線 M N 的斜率,,切線 MT 的斜率,,兩個問題的共性:,瞬時速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類似問題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強度,是速度增量與時間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限,是電量增量與時間增量之比的極限,變化率問題,,二、導數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點,,存在,,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定

3、義 ,,運動質(zhì)點的位置函數(shù),在 時刻的瞬時速度,曲線,在 M 點處的切線斜率,,,關(guān)于導數(shù)的說明：,,不存在,,就說函數(shù)在點 不可導.,若,也稱,在,若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導,,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).,記作:,就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導.,的導數(shù)為無窮大 .,若極限,求簡單函數(shù)的導數(shù)舉例,步驟:,,例1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導數(shù).,解:,即,例2. 求函數(shù),解:,說明：,對一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,,例3. 求函數(shù),的導數(shù).,解:,則,即,類似可證得,,,,例4,解,,,例5,解,,,在點,的某個右 鄰域內(nèi),單側(cè)導數(shù),若極限,則稱此極限值為,

4、在 處的右 側(cè)導數(shù),,記作,即,(左),(左),,,,,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,,存在,,定理1. 函數(shù),在點,且,,存在,,,簡寫為,若函數(shù),與,都存在 ,,則稱,在開區(qū)間 內(nèi)可導,,在閉區(qū)間 上可導.,可導的充分必要條件,是,且,例6,解,三、 導數(shù)的幾何意義,若,曲線過,上升;,若,曲線過,下降;,若,切線與 x 軸平行,,稱為駐點;,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,例7,求等邊雙曲線 在點 處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程,解 所求切線及法線的斜率分別為,所求切線方程為,,即,所求法線方程為,,即,練習,,求曲線,的通過

5、點(0 4)的切線方程,解 設(shè)切點的橫坐標為 則切線的斜率為,,,于是所求切線的方程可設(shè)為,根據(jù)題目要求 點(0 4)在切線上 因此,解之得 于是所求切線的方程為,即 3xy40,四、 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系,定理2.,證:,設(shè),在點 x 處可導,,存在 ,,因為,故,所以函數(shù),在點 x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)，但在該點未必可導.,反例:,,,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.,即,,例8 討論函數(shù),,處的連續(xù)性與可導性.,解：,,在,,此極限不存在,內(nèi)容小結(jié),1. 導數(shù)的實質(zhì):,3. 導數(shù)的幾何意義:,4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;,5. 已學求導公式

6、 :,6. 判斷可導性,,不連續(xù), 一定不可導.,直接用導數(shù)定義;,看左右導數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限,切線的斜率;,,,(變化率),思考與練習,1. 函數(shù) 在某點 處的導數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導函數(shù),2. 設(shè),存在 , 則,3. 已知,則,4. 若,時, 恒有,問,是否在,可導?,解:由題設(shè),由夾逼準則,故,在,可導, 且,,5. 設(shè),, 問 a 取何值時,,在,都存在 , 并求出,解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 可導 .,故,時,此時,在,都存在,,,作業(yè),P65 2 , 5 , 6, 7(1),第二節(jié),思考題,解:

7、 因為,1. 設(shè),存在, 且,求,所以,在,處連續(xù), 且,存在，,證明:,在,處可導.,證：因為,存在，,則有,所以,即,在,處可導.,2. 設(shè),故,,原式,,是否可按下述方法作:,3. 設(shè),存在, 求極限,解: 原式,,牛頓(1642 1727),,偉大的英國數(shù)學家 , 物理學家, 天文,學家和自然科學家.,他在數(shù)學上的卓越,貢獻是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),,并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書 (1736年出版).,他,還著有自然哲學的數(shù)學原理和廣義算術(shù)等 .,萊布尼茨 (1646 1716),,,德國數(shù)學家, 哲學家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,,他在學藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學的論文中,,有的早于牛頓,,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計了作乘法的計算機 ,,系統(tǒng)地闡述二進制計,數(shù)法 ,,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 .,