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關(guān)注www.zuowen84.com有更多更好的資料分享，助你提升學(xué)習(xí)成績(jī) 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 6 4.容斥原理 . 5．集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有 –1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式; (2)頂點(diǎn)式; (3)零點(diǎn)式. 7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下： (1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則； ，，. (2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，. 10.一元二次方程的實(shí)根分布 依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè)，則 （1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或； （3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (3)恒成立的充要條件是或. 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有 都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 大于 不大于 至少有個(gè) 至多有（）個(gè) 小于 不小于 至多有個(gè) 至少有（）個(gè) 對(duì)所有， 成立 存在某， 不成立 或 且 對(duì)任何， 不成立 存在某， 成立 且 或 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題 若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互 　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　 若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ 15.充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件. （2）必要條件：若，則是必要條件. （3）充要條件：若，且，則是充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù). 18．奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)． 19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則. 20.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng). 21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng); 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù). 22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) . (2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) . 24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)(即軸)對(duì)稱(chēng). (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng). (3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng). 25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線(xiàn)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線(xiàn)的圖象. 26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù). 28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),. (2)指數(shù)函數(shù),. (3)對(duì)數(shù)函數(shù),. (4)冪函數(shù),. (5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，， . 29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0) （1），則的周期T=a； （2）， 或， 或, 或,則的周期T=2a； (3)，則的周期T=3a； (4)且，則的周期T=4a； (5) ,則的周期T=5a； (6)，則的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）. (2)（，且）. 31．根式的性質(zhì) （1）. （2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注： 若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 . 34.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則 (1); (2) ; (3). 36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn). 37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù). ， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù). 推論:設(shè)，，，且，則 （1）. （2）. 38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題 如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有. 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ； 其前n項(xiàng)和公式為 . 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ； 其前n項(xiàng)的和公式為 或. 42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為 ； 其前n項(xiàng)和公式為 . 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 44．常見(jiàn)三角不等式 （1）若，則. (2) 若，則. (3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限） (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . .. 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期. 51.正弦定理? . 52.余弦定理 ; ; . 53.面積定理 （1）（分別表示a、b、c邊上的高）. （2）. (3). 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，有 . 55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (1) a·b= b·a （交換律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理? 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共線(xiàn)的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0). 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a=,b=，則a+b=. (2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則. (4)設(shè)a=，則a=. (5)設(shè)a=,b=，則a·b=. 63.兩向量的夾角公式 (a=,b=). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 = (A，B). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 66.線(xiàn)段的定比分公式 ? 設(shè)，，是線(xiàn)段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則 （）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. 68.點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為. 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論 （1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn). (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線(xiàn):按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則 （1）為的外心. （2）為的重心. （3）為的垂心. （4）為的內(nèi)心. （5）為的的旁心. 71.常用不等式： （1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． （2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． （3） （4）柯西不等式 （5）. 72.極值定理 已知都是正數(shù)，則有 （1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值； （2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值. 推廣 已知，則有 （1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大； 當(dāng)最小時(shí),最小. （2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最??； 當(dāng)最小時(shí), 最大. 73.一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間. ； . 74.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí)，有 . 或. 75.無(wú)理不等式 （1） . （2）. （3）. 76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí), ; . (2)當(dāng)時(shí), ; 77.斜率公式 （、）. 78.直線(xiàn)的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率為)． （2）斜截式 (b為直線(xiàn)在y軸上的截距). （3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線(xiàn)的橫、縱截距，) （5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0). 79.兩條直線(xiàn)的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零, ①； ②； 80.夾角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l1與l2的夾角是. 81. 到的角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l1到l2的角是. 82．四種常用直線(xiàn)系方程 (1)定點(diǎn)直線(xiàn)系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為(除直線(xiàn)),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為,其中是待定的系數(shù)． (2)共點(diǎn)直線(xiàn)系方程：經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn),的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線(xiàn)系方程：直線(xiàn)中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線(xiàn)系方程．與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線(xiàn)系方程：與直線(xiàn) (A≠0，B≠0)垂直的直線(xiàn)系方程是,λ是參變量． 83.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離 (點(diǎn),直線(xiàn)：). 84. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)直線(xiàn)，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下. 若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線(xiàn)的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左. 85. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)曲線(xiàn)（），則 或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 (＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、). 87. 圓系方程 (1)過(guò)點(diǎn),的圓系方程是 ,其中是直線(xiàn)的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過(guò)直線(xiàn):與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． (3) 過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． 88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 若，則 點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi). 89.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種: ; ; . 其中. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ; ; ; ; . 91.圓的切線(xiàn)方程 (1)已知圓． ①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線(xiàn)只有一條，其方程是 . 當(dāng)圓外時(shí), 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程． ②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線(xiàn)，注意不要漏掉平行于y軸的切線(xiàn)． ③斜率為k的切線(xiàn)方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(xiàn)． (2)已知圓． ①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線(xiàn)方程為; ②斜率為的圓的切線(xiàn)方程為. 92.橢圓的參數(shù)方程是. 93.橢圓焦半徑公式 ，. 94．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. （2）點(diǎn)在橢圓的外部. 95. 橢圓的切線(xiàn)方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是. （2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是 . （3）橢圓與直線(xiàn)相切的條件是. 96.雙曲線(xiàn)的焦半徑公式 ，. 97.雙曲線(xiàn)的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的外部. 98.雙曲線(xiàn)的方程與漸近線(xiàn)方程的關(guān)系 (1）若雙曲線(xiàn)方程為漸近線(xiàn)方程：. (2)若漸近線(xiàn)方程為雙曲線(xiàn)可設(shè)為. (3)若雙曲線(xiàn)與有公共漸近線(xiàn)，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）. 99. 雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程 (1)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是. （2）過(guò)雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是 . （3）雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切的條件是. 100. 拋物線(xiàn)的焦半徑公式 拋物線(xiàn)焦半徑. 過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng). 101.拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 . 102.二次函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線(xiàn)方程是. 103.拋物線(xiàn)的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部. (2)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部. (3)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部. (4) 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線(xiàn)的外部. 104. 拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程 (1)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是. （2）過(guò)拋物線(xiàn)外一點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是. （3）拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切的條件是. 105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線(xiàn)系方程 (1)過(guò)曲線(xiàn),的交點(diǎn)的曲線(xiàn)系方程是 (為參數(shù)). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線(xiàn)系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線(xiàn). 106.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式 或 （弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線(xiàn)的傾斜角，為直線(xiàn)的斜率）. 107.圓錐曲線(xiàn)的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 （1）曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是. （2）曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是 . 108.“四線(xiàn)”一方程 對(duì)于一般的二次曲線(xiàn)，用代，用代，用代，用代，用代即得方程 ，曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到. 109．證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為二直線(xiàn)同與第三條直線(xiàn)平行； （3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行； （4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直； （5）轉(zhuǎn)化為面面平行. 110．證明直線(xiàn)與平面的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行； （3）轉(zhuǎn)化為面面平行. 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行； （3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直. 112．證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直； （3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與另一線(xiàn)的射影垂直； （4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與形成射影的斜線(xiàn)垂直. 113．證明直線(xiàn)與平面垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)任一直線(xiàn)垂直； （2）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)相交二直線(xiàn)垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面的一條垂線(xiàn)平行； （4）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平行平面； （5）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與兩個(gè)垂直平面的交線(xiàn)垂直. 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直. 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律 (1)加法交換律：a＋b=b＋a． (2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所表示的向量. 117.共線(xiàn)向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb． 三點(diǎn)共線(xiàn). 、共線(xiàn)且不共線(xiàn)且不共線(xiàn). 118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線(xiàn)的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使． 推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使， 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使. 119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，滿(mǎn)足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面． 四點(diǎn)共面與、共面 （平面ABC）. 120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使. 121.射影公式 已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a＝，b＝則 (1)a＋b＝； (2)a－b＝； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝； 123.設(shè)A，B，則 = . 124．空間的線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直 設(shè)，，則 ； . 125.夾角公式 設(shè)a＝，b＝，則 cos〈a，b〉=. 推論 ，此即三維柯西不等式. 126. 四面體的對(duì)棱所成的角 四面體中, 與所成的角為,則 . 127．異面直線(xiàn)所成角 = （其中（）為異面直線(xiàn)所成角，分別表示異面直線(xiàn)的方向向量） 128.直線(xiàn)與平面所成角 (為平面的法向量). 129.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 130.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 131.二面角的平面角 或（，為平面，的法向量）. 132.三余弦定理 設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線(xiàn)，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則. 133. 三射線(xiàn)定理 若夾在平面角為的二面角間的線(xiàn)段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ; (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立). 134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =. 135.點(diǎn)到直線(xiàn)距離 (點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)的方向向量a=，向量b=). 136.異面直線(xiàn)間的距離 (是兩異面直線(xiàn)，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離). 137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線(xiàn)，）. 138.異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)距離公式 . . （）. (兩條異面直線(xiàn)a、b所成的角為θ，其公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度為h.在直線(xiàn)a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長(zhǎng)度為的線(xiàn)段在三條兩兩互相垂直的直線(xiàn)上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有 . （立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的公式是其特例）. 141. 面積射影定理 . (平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則 ①. ②. 143．作截面的依據(jù) 三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線(xiàn)，則這三條交線(xiàn)交于一點(diǎn)或互相平行. 144．棱錐的平行截面的性質(zhì) 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比． 145.歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). （1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：； （2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：. 146.球的半徑是R，則 其體積, 其表面積． 147.球的組合體 (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng). (3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 148．柱體、錐體的體積 （是柱體的底面積、是柱體的高）. （是錐體的底面積、是錐體的高）. 149.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理） . 150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理） . 151.排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)． 注:規(guī)定. 152.排列恒等式 (1）; （2）; （3）; （4）; （5）. (6) . 153.組合數(shù)公式 ===(∈N*，，且). 154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 注:規(guī)定. 155.組合恒等式 （1）; （2）; （3）; （4）=; （5）. (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 . 157．單條件排列 以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列. （1）“在位”與“不在位” ①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種. （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） ①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種. ②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法； ③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種. （3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？ 當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法. （4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為. 158．分配問(wèn)題 （1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有. （2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的·個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有 . （3）(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有. （4）(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 . （5）(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有. （6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有. （7）(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無(wú)論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有 . 159．“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣 貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為 . 推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為 . 160．不定方程的解的個(gè)數(shù) (1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè). (2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). (3) 方程（）滿(mǎn)足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). (4) 方程（）滿(mǎn)足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè). 161.二項(xiàng)式定理 ; 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 . 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) （1）; （2）. 169.數(shù)學(xué)期望 170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）. （2）若～,則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 171.方差 172.標(biāo)準(zhǔn)差 =. 173.方差的性質(zhì) (1)； (2）若～，則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 174.方差與期望的關(guān)系 . 175.正態(tài)分布密度函數(shù) ，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. 176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) . 177.對(duì)于，取值小于x的概率 . . 178.回歸直線(xiàn)方程 ，其中. 179.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小. 180.特殊數(shù)列的極限 （1）. （2）. （3）（無(wú)窮等比數(shù)列 ()的和）. 181. 函數(shù)的極限定理 . 182.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿(mǎn)足： （1）; （2）（常數(shù)）, 則. 本定理對(duì)于單側(cè)極限和的情況仍然成立. 183.幾個(gè)常用極限 （1），（）； （2），. 184.兩個(gè)重要的極限 （1）； （2）(e=2.718281845…). 185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 若，，則 (1)； (2); (3). 186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 若，則 (1)； (2)； (3) (4)( c是常數(shù)). 187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商） . 188.瞬時(shí)速度 . 189.瞬時(shí)加速度 . 190.在的導(dǎo)數(shù) . 191. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，相應(yīng)的切線(xiàn)方程是. 192.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) （C為常數(shù)）. (2) . (3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （1）. （2）. （3）. 194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽? 195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充小時(shí)） (1);； (2)； ； (3)； (4)； (5)（為弧度）； (6)（為弧度）； (7)（為弧度） 196.判別是極大（?。┲档姆椒? 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)， （1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值； （2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值. 197.復(fù)數(shù)的相等 .（） 198.復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值） ==. 199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1); (2); (3); (4). 200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律 對(duì)于任何，有 交換律:. 結(jié)合律:. 分配律: . 201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式 （，）. 202.向量的垂直 非零復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則 的實(shí)部為零為純虛數(shù) (λ為非零實(shí)數(shù)). 203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解 實(shí)系數(shù)一元二次方程， ①若,則; ②若,則; ③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根. 高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1. 對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問(wèn)題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性質(zhì)： （3）德摩根定律： 4. 你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。 6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？ （互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。 7. 對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？ （一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。） 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？ （定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域） 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類(lèi)型？ 10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 義域是_____________。 11. 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 12. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對(duì)應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （①反解x；②互換x、y；③注明定義域） 13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ ①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)； ②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)） 如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？ ∴……） 15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值為3） 16. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個(gè)周期。） 如： 18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ 的雙曲線(xiàn)。 應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程 ②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。 ③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。 ④一元二次方程根的分布問(wèn)題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。? 利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ 20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？ 21. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） 22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？ （二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。） 如求下列函數(shù)的最值： 23. 你記得弧度的定義嗎？能寫(xiě)出圓心角為α，半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？ 24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線(xiàn)的定義 25. 你能迅速畫(huà)出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸嗎？ （x，y）作圖象。 27. 在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。 28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？ 29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？ （平移變換、伸縮變換） 平移公式： 圖象？ 30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？ “奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。 A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值 31. 熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？ 理解公式之間的聯(lián)系： 應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。（化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類(lèi)最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。） 具體方法： （2）名的變換：化弦或化切 （3）次數(shù)的變換：升、降冪公式 （4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。 32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？ （應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。） 33. 用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。 34. 不等式的性質(zhì)有哪些？ 答案：C 35. 利用均值不等式： 值？（一正、二定、三相等） 注意如下結(jié)論： 36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等） 并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。 （移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。） 38. 用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開(kāi)始 39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論 40. 對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？ （找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。） 證明： （按不等號(hào)方向放縮） 42. 不等式恒成立問(wèn)題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，或“△”問(wèn)題） 43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì) 0的二次函數(shù)） 項(xiàng)，即： 44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì) 46. 你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？ 例如：（1）求差（商）法 解： ［練習(xí)］ （2）疊乘法 解： （3）等差型遞推公式 ［練習(xí)］ （4）等比型遞推公式 ［練習(xí)］ （5）倒數(shù)法 47. 你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？ 例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。 解： ［練習(xí)］ （2）錯(cuò)位相減法： （3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。 ［練習(xí)］ 48. 你知道儲(chǔ)蓄、貸款問(wèn)題嗎？ △零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型： 若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為： △若按復(fù)利，如貸款問(wèn)題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類(lèi)） 若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿(mǎn)足 p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù) 49. 解排列、組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類(lèi)相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。 （2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一 （3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不 50. 解排列與組合問(wèn)題的規(guī)律是： 相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類(lèi)法；至多至少問(wèn)題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。 如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī) 則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成兩類(lèi)： （2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等 相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來(lái)，分別有3，4，3種，∴有10種。 ∴共有5＋10＝15（種）情況 51. 二項(xiàng)式定理 性質(zhì)： （3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第 表示） 52. 你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？ 的和（并）。 （5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。 （6）對(duì)立事件（互逆事件）： （7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。 53. 對(duì)某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 （5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生 如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）從中任取2件都是次品； （2）從中任取5件恰有2件次品； （3）從中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103 而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品” （4）從中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有順序） 分清（1）、（2）是組合問(wèn)題，（3）是可重復(fù)排列問(wèn)題，（4）是無(wú)重復(fù)排列問(wèn)題。 54. 抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽?。幌到y(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。 55. 對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （2）決定組距和組數(shù)； （3）決定分點(diǎn)； （4）列頻率分布表； （5）畫(huà)頻率直方圖。 如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為_(kāi)___________。 56. 你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。 （6）并線(xiàn)向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 規(guī)定零向量與任意向量平行。 （7）向量的加、減法如圖： （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） 的一組基底。 （9）向量的坐標(biāo)表示 表示。 57. 平面向量的數(shù)量積 數(shù)量積的幾何意義： （2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 ［練習(xí)］ 答案： 答案：2 答案： 58. 線(xiàn)段的定比分點(diǎn) ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？ 59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線(xiàn)面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線(xiàn)面平行的判定： 線(xiàn)面平行的性質(zhì)： 三垂線(xiàn)定理（及逆定理）： 線(xiàn)面垂直： 面面垂直： 60. 三類(lèi)角的定義及求法 （1）異面直線(xiàn)所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直線(xiàn)與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°