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1、,第五節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、曲線的凸性,曲線的凸性與函數(shù)作圖,第三章,二、漸近線,三、函數(shù)的作圖,,,,,定義1 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,,(1) 若恒有,則稱,圖形是下凸的; 或稱f (x)為I上的下凸函數(shù)。,一、曲線的凸性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,弦在弧的上方；切線在曲線的下方。,(2) 若恒有,則稱,圖形是上凸的; 或稱f (x)為I上的上凸函數(shù)。,弦在弧的下方；切線在曲線的上方。,下凸也稱為凸，上凸也稱為凹。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義1：設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,,(1) 若恒有,則稱,圖形是下凸的; （弦在弧的上方，或切

2、線在曲線下方）,(2) 若恒有,則稱,圖形是上凸的 . （弦在弧的下方，或切線在曲線上方）,等價定義：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于函數(shù)凹凸性的判定, 有下面的結(jié)論：,定理1 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間I上可導，則 f 在區(qū)間I上下凸,（上凸）的充要條件是f (x)在區(qū)間I上單調(diào)增加（減少）,證明：,令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,必要性：,若f 是下凸函數(shù)，由定義有,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,令,得：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,充分性：,設(shè),單調(diào)增加，,對函數(shù),分別在區(qū)間,上用拉格朗日中值定理得：存在,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

3、定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是下凸的 ;,(2) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是上凸的 .,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,,說明 (1) 成立;,(2),,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導數(shù),證畢,例1. 判斷曲線,的凸性.,解:,故曲線,在,上是下凸的.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 判斷曲線,的凸性.,解:,故曲線,在,內(nèi)是上凸的.,在,內(nèi)是下凸的.,曲線凸性的分界點稱為拐點,定義2：設(shè),內(nèi)的點，如果曲線在點,的左右兩側(cè)凸性相反，則稱點,為此曲線的拐點.,注意：拐點是曲線上的點，不能說

4、,是拐點。,與極值點不一樣。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求曲線,的拐點.,解:,,,,,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,下凸,上凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,說明:,1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點的定義, 可得拐點的判別法如下:,若曲線,或不存在,,的一個拐點.,則曲線的凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求拐點的步驟見教材P162.,例4. 求曲線,的上（下）凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,對應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,下凸,,向上凸 ,,點

5、 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,下凸,下凸,上凸,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5：證明不等式,證明：設(shè),則,當,時，有,即上述 f（t）為下凸函數(shù)，,于是對任意,有：,例5.4 例5.5,無漸近線 .,點 M 與某一直線 L 的距離趨于 0,,二、 曲線的漸近線,定義3 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠離原點,時,,則稱直線 L 為,曲線C 的漸近線 .,例如, 雙曲線,有漸近線,但拋物線,,或為“縱坐標差”,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 水平與鉛直漸近線,若,則曲線,有水平漸近線,若,則曲線,有垂直漸近線,例1. 求曲線,的漸近線 .,解:,為水平漸

6、近線;,為垂直漸近線.,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,2. 斜漸近線,斜漸近線,若,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求曲線,的漸近線 .,解:,又因,為曲線的斜漸近線 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、函數(shù)的作圖,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ;,4. 求漸近線 ;,5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .,為 0 和不存在,的點 ;,并考察其對稱性及周,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 描繪,的圖形.,解: 1) 定義域為,無對稱性及周期性.

7、,2),3),,,,,(拐點）,4),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 描繪方程,的圖形.,解: 1),定義域為,2) 求關(guān)鍵點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,3) 判別曲線形態(tài),,,,,(極大),(極小),4) 求漸近線,為鉛直漸近線,無定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,又因,即,5) 求特殊點,,,為斜漸近線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6）繪圖,(極大),(極小),斜漸近線,鉛直漸近線,特殊點,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 描繪函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域為,圖形對稱于 y 軸.,2) 求關(guān)鍵點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、,,,3) 判別曲線形態(tài),(極大),(拐點),(極大),(拐點),為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,思考與練習,1. 曲線,(A) 沒有漸近線；,(B) 僅有水平漸近線；,(C) 僅有鉛直漸近線；,(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,,及,B,2. 設(shè)在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P168 1（3，6）；2 ; 3； 5（1，3） 6（3，4）；7（2）,作業(yè),第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 求笛卡兒

9、葉形線,的漸近線 .,解: 令 y = t x ,,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :,因,,,,所以笛卡兒葉形線有斜漸近線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,笛卡兒葉形線,參數(shù)的幾何意義:,圖形在第四象限,圖形在第二象限,圖形在第一象限,,,,點擊圖中任意點 動畫開始或暫停,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有位于一直線的三個拐點.,1.求證曲線,證明：,備用題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,得,從而三個拐點為,因為,所以三個拐點共線.,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明:,當,時，,有,證明:,令,, 則,是凸函數(shù),即,2 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(自證),