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《幾何圖形初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．認(rèn)識一些簡單的幾何體的平面展開圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀； 2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫法； 3．初步學(xué)會應(yīng)用圖形與幾何的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實(shí)際問題； 4．逐步掌握學(xué)過的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語句畫出相應(yīng)的圖形，會用語句描述簡單的圖形． 【知識網(wǎng)絡(luò)】 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、多姿多彩的圖形 1． 幾何圖形的分類 立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等. 平面圖形：三角形、四邊形、圓等. 幾何圖形 要點(diǎn)詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果. 2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化 （1）立體圖形的平面展開圖： 把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來． 要點(diǎn)詮釋： ①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的 11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖； ②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實(shí)物，展開想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動手實(shí)踐. （2）從不同方向看： 主（正）視圖----------從正面看 幾何體的三視圖 左視圖----------------從左邊看 俯視圖----------------從上面看 要點(diǎn)詮釋： ①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖. ②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌? （3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系 幾何體是由點(diǎn)、線 、面構(gòu)成的.點(diǎn)動成線，線與線相交成點(diǎn)；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成. 要點(diǎn)二、直線、射線、線段 1. 直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系 2. 基本性質(zhì) (1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線． (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短． 要點(diǎn)詮釋： ①本知識點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線。 ②連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)間的距離. 3.畫一條線段等于已知線段 （1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段. （2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖： 4．線段的比較與運(yùn)算 （1）線段的比較： 比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法. （2）線段的和與差： 如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）線段的中點(diǎn)： 把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有： 要點(diǎn)詮釋： ①線段中點(diǎn)的等價表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn). ②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn). 要點(diǎn)三、角 1．角的度量 （1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形. (2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖： 要點(diǎn)詮釋： ①角的兩種定義是從不同角度對角進(jìn)行的定義； ②當(dāng)一個角的頂點(diǎn)有多個角的時候，不能用頂點(diǎn)的一個大寫字母來表示. （3）角度制及角度的換算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制. 要點(diǎn)詮釋： ①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同. ②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進(jìn)行. ③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一 成60. （4）角的分類 ∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角 范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）畫一個角等于已知角 （1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角. （2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角. （3）用尺規(guī)作圖法. 2．角的比較與運(yùn)算 （1）角的比較方法: ①度量法；②疊合法. （2）角的平分線： 從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 類似地，還有角的三等分線等. 3．角的互余互補(bǔ)關(guān)系 余角補(bǔ)角 （1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角. （3）結(jié)論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等. 要點(diǎn)詮釋： ①余角(或補(bǔ)角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個角不能稱其為余角(或補(bǔ)角). ②一個角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的. ③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)． ④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角” . 4．方位角 以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，這種表示方向的角叫做方位角. 要點(diǎn)詮釋： （1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小. （2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、測繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛. 【典型例題】 類型一、概念或性質(zhì)的理解 1.下列判斷錯誤的有( ) ①延長射線OA；②直線比射線長，射線比線段長；③如果線段PA＝PB，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)；④連接兩點(diǎn)間的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離． A．0個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】D 【解析】①由于射線向一方無限延伸，因此，不能延長射線；②由于直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關(guān)系，而線段是可以度量的，可以比較線段的長短；③線段PA＝PB，只有當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，才是線段AB的中點(diǎn)，否則就不是；④兩點(diǎn)間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的本質(zhì)屬性不同． 【總結(jié)升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質(zhì)區(qū)別． 舉一反三： 【變式】下列說法正確的個數(shù)有( ) ①若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余．②互補(bǔ)的兩個角一定是一個銳角和一個鈍角．③因?yàn)殁g角沒有余角，所以，只有當(dāng)角為銳角時，“一個角的補(bǔ)角比這個角的余角大”這個說法才正確． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】B 提示：③正確 類型二、立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化 1. 展開與折疊問題 2．如圖所示，它們的平面展開圖是由5個大小相同的正方形組成，其中沿正方形的邊不能折成無蓋小方盒的是( )． 【答案】B 【解析】圖形B無論怎樣折疊都有一個側(cè)面重合，這樣就缺少一個側(cè)面，所以圖形B不能折成無蓋小方盒． 【總結(jié)升華】解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形． 舉一反三： 【變式】已知O為圓錐的頂點(diǎn)，M為圓錐底面圓上一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上．一只蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點(diǎn)時，所爬過的最短路線的痕跡如圖所示．若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展平，所得側(cè)面展開圖(如圖)是( )． 【答案】D 2.從不同方向看 3. (河北)將正方體骰子(相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如圖1所示．在圖2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是( )． A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解析】第一次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應(yīng)當(dāng)是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，面向上的應(yīng)當(dāng)是5，右面的是1，正面是4；第二次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應(yīng)當(dāng)是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，面向上的應(yīng)當(dāng)是6，右面的是4，正面是2；第三次變換：將骰子向右翻滾90°，正面向上的應(yīng)當(dāng)是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，正面向上的應(yīng)當(dāng)是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始狀態(tài)．所以每完成三次變換即可回到原來的位置，所以第十次變換后的狀態(tài)與第一次變換后的狀態(tài)相同，所以朝上一面的點(diǎn)數(shù)是5． 【總結(jié)升華】先找到規(guī)律再從上面看便得答案． 舉一反三： 【變式1】(南昌)沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，它的俯視圖是( )． 【答案】D 【高清課堂：圖形認(rèn)識初步章節(jié)復(fù)習(xí)399079 多姿多彩的圖形例2】 【變式2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是（ ） A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 【答案】D 類型三.互余互補(bǔ)的有關(guān)計(jì)算 4. (安徽蕪湖)如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于( ) A．330° B．315° C．310° D．320° 【答案】B 【解析】通過網(wǎng)格的特征首先確定∠4＝45°．由圖形可知：∠l與∠7互余，∠2與∠6互余，∠3與∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°． 【總結(jié)升華】互余的兩個角只與數(shù)量有關(guān)，而與位置無關(guān)． 舉一反三： 【變式】如圖所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，∠3． 【答案】 解：因?yàn)椤螦OE＝90°， 所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD． 所以∠3＝∠AOD＝76°20′． 答：∠2為62°40′，∠3為76°20′． 類型四.方向角 5. (山東濰坊)用A、B、C分別表示學(xué)校、小明家、小紅家，已知學(xué)校在小明家的南偏東，小紅家在小明家正東，小紅家在學(xué)校北偏東35°，則∠ACB等于( ) A．35° B．55° C．60° D．84° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方位角的概念，分清方向，正確地畫出圖形，即可求解． 【答案】B 【解析】根據(jù)題意畫出圖形如下： ∵∠ACB與35°互余，∴∠ACB=90°－35°＝55° 【總結(jié)升華】解答此類題需要從運(yùn)動的角度，正確畫出方位角，找準(zhǔn)中心是解答此類題的關(guān)鍵． 舉一反三： 【變式】(張家界模擬)考點(diǎn)辦公室設(shè)在校園中心O點(diǎn)，帶隊(duì)老師休息室A位于O點(diǎn)的北偏東45°，某考室B位于O點(diǎn)南偏東60°，請?jiān)趫D(1)中畫出射線OA、OB，并計(jì)算∠AOB的度數(shù)． 【答案】 解：如圖(2)，以O(shè)為頂點(diǎn)，正北方向線為始邊向東旋轉(zhuǎn)45°，得OA；以O(shè)為頂點(diǎn)，正南方向線為始邊向東旋轉(zhuǎn)60°，得OB，則∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°． 類型五.利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算 1.方程的思想方法 6. 如圖所示，B、C是線段AD上的兩點(diǎn)，且，AC＝35cm，BD＝44cm，求線段AD的長． 【答案與解析】 解：設(shè)AB＝x cm，則 或 于是列方程，得 解得：x＝18，即AB＝18(cm) 所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm) (cm) 所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm) 【總結(jié)升華】根據(jù)題中的線段關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列方程求解． 2.分類的思想方法 7. 同一直線上有A、B、C、D四點(diǎn)，已知AD＝DB，AC＝CB，且CD＝4cm，求AB的長． 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出圖形，再從圖上直觀的看出各線段的關(guān)系及大?。? 【答案與解析】 解：利用條件中的AD＝DB，AC＝CB，設(shè)DB＝9x，CB＝5y， 則AD＝5x，AC＝9y，分類討論： （1）當(dāng)點(diǎn)D，C均在線段AB上時，如圖所示： ∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y(tǒng) ∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)． （2）當(dāng)點(diǎn)D，C均不在線段AB上時，如圖所示：方法同上，解得(cm)． （3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上而點(diǎn)C不在線段AB上時，方法同上，解得(cm)． （4）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上而點(diǎn)D不在線段AB上時，方法同上，解得(cm)． 綜上可得：AB的長為14cm，cm， cm． 【總結(jié)升華】解決沒有圖形的題目時，一要注意滿足條件下的圖形的多樣性；二要注意解決的方法，注意方程法在解決圖形問題中的應(yīng)用. 在正確答案中，(3)與(4)的答案雖然相同，但作為圖形上的差別應(yīng)了解． 類型六.鐘表上的角 8. 如圖所示，時鐘的時針由3點(diǎn)整的位置(順時針方向)轉(zhuǎn)過多少度時，與分針第一次重合． 【答案與解析】 解：設(shè)時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為x°時，與分針第一次重合，依題意有 12x＝90+x 解得 答：時針轉(zhuǎn)過時，與分針第一次重合． 【總結(jié)升華】在相同時間里，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是時針的12倍，此外此問題可以轉(zhuǎn)化為追及問題來解決．