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二元一次方程組 【知識(shí)點(diǎn)一：二元一次方程組的有關(guān)概念】 二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【典型例題】 1．在下列方程中，不是二元一次方程的有（　　） A．x+y=3 B．xy=3 C．x－y=3 D．x=3－y 2．下列方程中，①2x－xy=1；②；③x2－x=1；④3x－5y=6有（ ?。┒淮畏匠蹋? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．若關(guān)于x，y的方程xm+1+yn－2=0是二元一次方程，則m+n的和為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 【變式練習(xí)】 1．下列各式中，屬于二元一次方程的是（　　） A．x2－25=0 B．x=2y C．y－6=0 D．x+y+z=0 2．下列四個(gè)方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy=3 B．2x－y2=9 C． D．3x－2y=0 3．若xa－2+3yb+3=15是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a+b的值為（　?。? A．1 B．－1 C．2 D．－2 【提高練習(xí)】 1．下列式子中，屬于二元一次方程的是（　?。? A．2x+3=x－5 B．x+y＜2 C．3x－1=2－5y D．xy≠1 2．已知：mx－3y=2x+6是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的值為（　?。? A．m≠0 B．m≠3 C．m≠－2 D．m≠2 3．已知x2m－1+3y4－2n=－7是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m、n的值是（　?。? A． B． C． D． 二元一次方程的解集：適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解．對(duì)于任何一個(gè)二元一次方程，令其中一個(gè)未知數(shù)取任意一個(gè)值，都能求出與它對(duì)應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值．因此，任何一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)多個(gè)解．由這些解組成的集合，叫做這個(gè)二元一次方程的解集． 【典型例題】 1．若 是關(guān)于x、y的二元一次方程ax－3y=1的解，則a的值為（　　） A．－5 B．－1 C．2 D．7 2．方程x+2y=5的正整數(shù)解有（　?。? A．一組 B．二組 C．三組 D．四組 3．已知方程5x－2y=1，當(dāng)x與y相等時(shí)，x與y的值分別是（　　） A．x=，y= B．x=－1，y=－1 C．x=1，y=1 D．x=2，y=2 【變式練習(xí)】 1．二元一次方程5a－11b=21（ ） A．有且只有一解 B．有無(wú)數(shù)解 C．無(wú)解 D．有且只有兩解 2．若 是方程2x－3y+a=1的解，則a的值是（　?。? A．1 B． C．2 D．0 3．已知 是二元一次方程2x－y=14的解，則k的值是（　?。? A．2 B．－2 C．3 D．－3 4、方程2x+y=9在正整數(shù)范圍內(nèi)的解有（ ） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè) 【提高練習(xí)】 1．方程x+y=6的非負(fù)整數(shù)解有（　?。? A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè) 2．二元一次方程3x+2y=15在自然數(shù)范圍內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 二元一次方程組及其解：兩個(gè)二元一次方程合在一起就組成了一個(gè)二元一次方程組．一般地，能使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解． 【典型例題】 1、下列方程組中，屬于二元一次方程組的是( ) A、 B、 C、 D、 2．下列方程組中，是二元一次方程組的是（　?。? A、 B、 C、 D、 3．若方程組是二元一次方程組，則a的值為_(kāi)______． 4．關(guān)于x、y的方程組的解是，則|m－n|的值是（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 5．若方程組的解是，則a+b=_______． 【變式練習(xí)】 1．下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ） A． 2．下列方程組中，不是二元一次方程組的是（　?。? A、 B、 C、 D、 3．已知是二元一次方程組的解，則2m－n的算術(shù)平方根為（　?。? A．±2 B． C．2 D．4 4．若方程組的解是，那么│a－b│=_____． 【提高練習(xí)】 1．方程2x+3y=11和下列方程構(gòu)成的方程組的解是 的方程是（　?。? A．3x+4y=20 B．4x－7y=3 C．2x－7y=1 D．5x－4y=6 2．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，則（ ） A． B． C． D． 3、若與是同類(lèi)項(xiàng)，則 （ ） A、－3 B、0 C、3 D、6 【知識(shí)點(diǎn)二：二元一次方程組的兩種解法】 【例1】若的解，則a=______，b=_______． 【變式練習(xí)】 1、以x、y為未知數(shù)的方程組與方程組的解相同，試求a、b的值． 2、若把上面題目改成方程組與 的解相同，試求a、b的值． 【例四】已知二元一次方程3x+4y=6，當(dāng)x、y互為相反數(shù)時(shí)，x=_____，y=______；當(dāng)x、y相等時(shí)，x=______，y= _______ ． 【例五】已知2x2m－3n－7－3ym+3n+6=8是關(guān)于x，y的二元一次方程，求n2m 【變式練習(xí)】 1、若2ay+5b3x與－4a2xb2－4y是同類(lèi)項(xiàng)，則a=______，b=_______． 2、如果（5a－7b+3）2+=0，求a與b的值． 【擴(kuò)展】代入法在一些特殊方程中的巧妙應(yīng)用 【例五】方程組中，x的系數(shù)特點(diǎn)是______；方程組中，y的系數(shù)特點(diǎn)是________.這兩個(gè)方程組用__________________法解比較方便． 【變式練習(xí)】 【例六】已知方程mx+ny=10有兩個(gè)解，分別是，則m=________，n=__________. 【變式練習(xí)】 1、若2a+3b=4和3a－b=－5能同時(shí)成立，則a=_____，b=______. 2、如果二元一次方程組的解是二元一次方程3x－5y－28=a的一個(gè)解，那么a的值是_________. 3、若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解x與y的差是7，求m的值． 4、若，是方程組的一組解，求m的值． 5、二元一次方程有一個(gè)公共解，求m和n的值. 【例七】已知，那么x－y的值是___________. 【變式練習(xí)】 1、已知，則=_________. 2、已知，a≠0，則=__________. 觀察思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ⒓右詺w納總結(jié) (1) (2) (3)　 （4） 【知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)與二元一次方程（組）的綜合應(yīng)用】 1．若直線y=+n與y=mx－1相交于點(diǎn)(1，－2)，則( )． A．m=，n=－ B．m=，n=－1 C．m=－1，n=－ D．m=－3，n=－ 2．直線y=x－6與直線y=－x－的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )． A．(－8，－10) B．(0，－6) C．(10，－1) D．以上答案均不對(duì) 3．在y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)y=2；當(dāng)x=2時(shí)y=4，則k，b的值是( )． A． B. C． D. 4．直線kx－3y=8，2x+5y=－4交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，則k的值為( ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 5．已知，是方程組的解，那么一次函數(shù)y=3－x和y=+1的交點(diǎn)是________． 6．一次函數(shù)y=3x+7的圖像與y軸的交點(diǎn)在二元一次方程－2x+by=18上，則b=_________． 7．已知關(guān)系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax－3by=19化成的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則a=_______，b=________． 8．已知方程組的解為則一次函數(shù)y=3x－3與y=－x+3的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是______． 9．若直線y=ax+7經(jīng)過(guò)一次函數(shù)y=4－3x和y=2x－1的交點(diǎn)，求a的值． 10．(1)在同一直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)y=x+2，y=x－3的圖像． (2)兩者的圖像有何關(guān)系? (3)你能找出一組數(shù)適合方程x－y=2，x－y=3嗎?________，這說(shuō)明方程組 _______． 11．如圖所示，求兩直線的解析式及圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)． 12．在直角坐標(biāo)系中，直線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)和(－1，－3)，直線L2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與直線L1交于點(diǎn)(－2，a)． (1)求a的值． (2)(－2，a)可看成怎樣的二元一次方程組的解? (3)設(shè)交點(diǎn)為P，直線L1與y軸交于點(diǎn)A，你能求出△APO的面積嗎? 【知識(shí)點(diǎn)四：二元一次方程組應(yīng)用題】 【一、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題】 1．某市現(xiàn)有42萬(wàn)人口，計(jì)劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8％，農(nóng)村人口增加工廠1.1％，這樣全市人口將增加1％，求這個(gè)市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口? 2．要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少? 3． 校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬(wàn)元，今年的總收入比去年增加了10%，總支出節(jié)約了20%，因而總收入比總支出多100萬(wàn)元. 求去年我校校辦工廠的總收入和總支出各多少萬(wàn)元? 4．某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值－總支出）為200萬(wàn)元，今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元。去年的產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元? 【二、分配問(wèn)題】 1．一張桌子由桌面和四條腳組成，1立方米的木材可制成桌面50張或制作桌腳300條，現(xiàn)有5立方米的木材，問(wèn)應(yīng)如何分配木材，可以使桌面和桌腳配套? 2、北京和上海能制造同型號(hào)電子計(jì)算機(jī)，除本地使用外，北京支援外地10臺(tái)，上?？芍г獾?臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，武漢6臺(tái)，每臺(tái)運(yùn)費(fèi)如表所示. 現(xiàn)在有一種調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)為7600元. 問(wèn)：這種調(diào)運(yùn)方案中北京、上海分別應(yīng)調(diào)給武漢、重慶各多少臺(tái)? 3、用白鐵皮做罐頭盒。每張鐵皮可制盒身16個(gè)，或制盒底43個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒。現(xiàn)有150張白鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩?，多少?gòu)堉坪械?，可以剛好配? 4、一船隊(duì)運(yùn)送一批貨物，如果每艘船裝50噸，還剩下25噸裝不完；如果每艘船再多裝5噸，還有35噸空位．求這個(gè)船隊(duì)共有多少艘船，共有貨物多少?lài)? 【三、幾何問(wèn)題】 1．如圖：用8塊相同的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)寬為48厘米的大長(zhǎng)方形，每塊小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少? 【四、和差倍問(wèn)題】 1、今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种? 小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种? 試求出今年小李的年齡. 2、游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎? 3、甲、乙兩人各有書(shū)若干本，如果甲從乙處拿來(lái)10本，那么甲擁有的書(shū)是乙所剩書(shū)的5倍；如果乙從甲處拿來(lái)10本，那么乙所有的書(shū)與甲所剩的書(shū)相等，問(wèn)甲、乙兩人原來(lái)各有幾本書(shū)? 【五、數(shù)字問(wèn)題】 1．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)? 2、兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。 3、一個(gè)兩位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大5，如果把這兩數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)． 【六、雞兔同籠】 1、雞與兔共100只，雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條，問(wèn)雞與兔各有幾只? 2、有20張5元和10元的人民幣，一共是175元，5元和10的人民幣各有多少?gòu)? 【七、行程、工程問(wèn)題】 1、甲、乙兩人在東西方向的公路上行走，甲在乙的西邊300米，若甲、乙兩人同時(shí)向東走30分鐘后，甲正好追上乙；若甲、乙兩人同時(shí)相向而行，2分鐘后相遇，問(wèn)甲、乙兩人的速度是多少? 2、李明與王云分別從、兩地相向而行，若兩人同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過(guò)80分鐘兩人相遇；若李明出發(fā)60分鐘后王云再出發(fā)，則經(jīng)過(guò)40分鐘兩人相遇，問(wèn)李明與王云單獨(dú)走完全程各需多少小時(shí)? 【題型四：金融問(wèn)題】 1、某超市為“開(kāi)業(yè)三周年”舉行了店慶活動(dòng)．對(duì)、兩種商品實(shí)行打折出售．打折前，購(gòu)買(mǎi)5件商品和1件商品需用84元；購(gòu)買(mǎi)6件商品和3件商品需用108元．而店慶期間，購(gòu)買(mǎi)50件商品和50件商品僅需960元，這比不打折少花多少錢(qián)? 2、某人用24000元買(mǎi)進(jìn)甲、乙兩種股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％時(shí)賣(mài)出，共獲利1350元，試問(wèn)某人買(mǎi)的甲、乙兩股票各是多少元? 3、2008年5月12日，四川省汶川縣發(fā)生里氏8. 0級(jí)強(qiáng)烈地震，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐删薮蟮膿p失．全國(guó)迅速組織捐款支援災(zāi)區(qū)，我校七年級(jí)(1)班55名同學(xué)共捐款830元，捐款情況如右表．表中捐款2元和5元的人數(shù)不小心被墨水污染已看不清楚，請(qǐng)你幫助確定表中數(shù)據(jù)，并說(shuō)明理由． 捐款 10 15 30 50 人數(shù) 18 4 4、 某酒店客房部有三人間、雙人間客房，收費(fèi)數(shù)據(jù)如下表． 普通（元/間/天） 豪華（元/間/天） 三人間 150 300 雙人間 140 400 為吸引游客，實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施．一個(gè)50人的旅游團(tuán)優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人普通間和雙人普通間客房．若每間客房正好住滿(mǎn)，且一天共花去住宿費(fèi)1510元，則旅游團(tuán)住了三人普通間和雙人普通間客房各多少間? 5、某中學(xué)組織一批學(xué)生春游，原計(jì)劃租用45座客車(chē)若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車(chē)，則多出一輛車(chē)，且其余客車(chē)恰好坐滿(mǎn)，已知45座客車(chē)租金每輛220元，60座客車(chē)租金為每輛300元，試問(wèn)： ⑴這批學(xué)生人數(shù)是多少? 原計(jì)劃租用45座客車(chē)多少輛? ⑵若租用同一種車(chē)，要使每位學(xué)生都有座位，怎樣租用更合算? 第 17 頁(yè) 共 17 頁(yè)