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微分方程習題 §1 基本概念 1. 驗證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解. （1） （2） 2..已知曲線族，求它相應的微分方程（其中均為常數(shù)） （一般方法：對曲線簇方程求導，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導次數(shù).） （1）； （2）. 3．寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 （1）曲線在 處切線的斜率等于該點橫坐標的平方。 （2）曲線在點P處的法線x軸的交點為Q,，PQ為y軸平分。 （3）曲線上的點P處的切線與y軸交點為Q, PQ長度為2，且曲線過點（2，0）。 §2可分離變量與齊次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）. 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 3. 求下列微分方程的通解 （1）； （2）. 4. 求下列微分方程的特解 （1）； （2）. 5. 用適當?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程 （1）； （2） （3） （4） 6. 求一曲線，使其任意一點的切線與過切點平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù). B A P(x,y) 7. 設質量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關系. 8. 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色，現(xiàn)內科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色，30分鐘后剩下0.1g，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？ 9.有一容器內有100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內尚有多少鹽？ §3 一階線性方程與貝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 2．求下列微分方程的特解 （1）； (2) 3．一 曲線過原點，在處切線斜率為，求該曲線方程. 4．設可導函數(shù)滿足方程 ，求. 5．設有一個由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開關，求電路中電流和時間之關系. 6．求下列貝努利方程的通解 (1) （2） （3） （4） §4 可降階的高階方程 1.求下列方程通解。 ；（2）； （2） 3．求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線 4．證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線. 證明：可推出是線性函數(shù)；可取正或負 5．槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為，出板速度為，設槍彈在板內受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少？ §5 高階線性微分方程 1.已知是二階線性微分方程的解，試證是的解 2.已知二階線性微分方程的三個特解，試求此方程滿足的特解. 3．驗證是微分方程的解，并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）. 2．求下列微分方程的特解 （1） （2） （3） 3.設單擺擺長為，質量為，開始時偏移一個小角度，然后放開，開始自由擺動.在不計空氣阻力條件下，求角位移隨時間變化的規(guī)律. P mg 4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ，鉛垂放在水中，當稍向下壓后突然放開，浮筒周期為2s，求浮筒質量.。O 5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設運動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為1m，問需多少時間鏈條全部滑過桌面. O §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 3.設連續(xù)函數(shù)滿足 求. 4.一質量為的質點由靜止開始沉入水中，下沉時水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為），求此物體之運動規(guī)律. O P 5.一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離開釘子8m，另一端離開釘子12m，若不計摩擦力，求鏈條全部滑下所需時間. O P 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈，若不計空氣阻力，求彈道曲線. §8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）. 2．求下列微分方程組的通解 （1） （2） 自測題 1.求下列微分方程的解。 （1）； （2）； （3）； （4）. 2．求連續(xù)函數(shù)，使得時有. 3．求以為通解的二階微分方程. 4．某個三階常系數(shù)微分方程 有兩個解和，求. 5．設有一個解為，對應齊次方程有一特解，試求： （1）的表達式； （2）該微分方程的通解. 6．已知可導函數(shù)滿足關系式： 求. 7．已知曲線上原點處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，求此曲線方程. 微分方程習題答案 §1 基本概念 1．驗證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解. （1） 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 （2）. 解：隱函數(shù)方程兩邊對x求導 方程兩邊再對x求導 指數(shù)函數(shù)非零，即有 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 2．已知曲線族，求它相應的微分方程（其中均為常數(shù)） （一般方法：對曲線簇方程求導，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導次數(shù).） （1）； （2）. 3．寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 （1）曲線在 處切線的斜率等于該點橫坐標的平方。 解：設曲線為 y = y ( x )則曲線上的點處的切線斜率為，由題意知所求方程為 （2）曲線在點P處的法線x軸的交點為Q,，PQ為y軸平分。 解：曲線上的點處法線方程：。 故法線x軸的交點為Q坐標應為，又PQ為y軸平分，故， 便得曲線所滿足的微分方程： （3）曲線上的點P處的切線與y軸交點為Q, PQ長度為2，且曲線過點（2，0）。 解：點P處切線方程： 故Q坐標為，則有 則得初值問題為： §2可分離變量與齊次方程 1．求下列微分方程的通解 （1）； 解:分離變量 （2）； 解:分離變量 其中 （3）； 解: 分離變量得 其中 （4）. 解：分離變量得 其中 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 解：分離變量得 ，其中， 由得，故特解為 3．求下列微分方程的通解 （1）； 解：方程變形為齊次方程，，則，故原方程變?yōu)?，分離變量得，兩邊積分，即，故，得 ，其中 （2）. 解：方程變形為齊次方程，令則，故原方程變?yōu)椋蛛x變量得 ，兩邊積分，即，即， 得 其中 4． 求下列微分方程的特解 （1）； 解：原方程化為，令則，故原方程變?yōu)?，分離變量得 兩邊積分，即，得 其中，由得，故特解為 （2）. 解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為 5． 用適當?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程 （1）； 解：令則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得 故方程通解為 （2） 解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，即 得，得，即，其中故方程通解為 （，其中） （3） 解：，則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得 故方程通解為 （4） 解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分， 得，即其中 （分析原方程可變形為，故令） （，， 其中） 6． 求一曲線，使其任意一點的切線與過切點平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù). B A P(x,y) 解：曲線點P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點記為B，則B坐標為， 過點P（x, y）平行于軸的直線和軸交點記為A，則A坐標為 故三角形面積為 即有微分方程 當時用分離變量法解得 當時用分離變量法解得 7． 設質量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關系. 8． 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉染色，現(xiàn)內科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色，30分鐘后剩下0.1g，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？ 解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得 通解為: 加以初始 p(0)=0.3, 便可求出 p(t)=0.3e及p(30)=0.3e 然后與實測比較知,此人胰臟不正常. 9.有一容器內有100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內尚有多少鹽？ 解：設時刻容器內含鹽，，由于時刻容器內液體為：100+，因此時刻容器內濃度為：.于是在時刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為： 初始化條件為: §3 一階線性方程與貝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）； 解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程，分離變量得， 積分得，即，其中（注：在常系數(shù)變易法時求解齊次方程通解時寫成顯式解； 其中。 設非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即， 故，非齊次微分方程的通解 法二（公式法） （2）； 故 （ （3）； 解：方程變形為 故 即，其中 （4）； 解：方程變形為， 故 即 （分部積分法：） （5） 解：兩邊同乘得，即， 故令，則原方程變?yōu)? 故，即 得 即原方程通解為 （用分部積分法積分） 2．求下列微分方程的特解 （1）； 解： (2) 解： 3．一 曲線過原點，在處切線斜率為，求該曲線方程. 解：由題意可得： 于是： 由得，故曲線方程為 4．設可導函數(shù)滿足方程 ，求. 解：問題為初值問題 該微分方程為線性微分方程故 又得，故 5．設有一個由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開關，求電路中電流和時間之關系. 解：由及可得：問題為初值問題 該微分方程為線性微分方程故 又得，故 （分部積分法積） 6．求下列貝努利方程的通解 (1) 解：原方程變形為，令，則， 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 （2） 原方程變形為，令，則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 （3） 解：方程變形為，令，則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為，即 （4） 解：方程變形為，，令，則 故原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 貝努利方程的通解為 §4 可降階的高階方程 1． 求下列方程通解。 2． 解：令，則，原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 故 即 （2）； 解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程， 分離變量積分得，得 故，即 解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 若，即，故 若，分離變量積分，得， 即，分離變量積分，得 解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 分離變量積分，得，即， 變形得，分離變量積分 即得，即 即 解：令，則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程 由，知分離變量積分得，得 即，分離變量積分得，由得 故特解 （2） 解：令，則，原方程變?yōu)榫€性微分方程 故 由得，即 故，由得， 故特解為 3．求的經(jīng)過且在與直線相切的積分曲線. 解：由題意，原方程可化為： 4．證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線. 證明：可推出是線性函數(shù)；可取正或負） 用作自變量，令得： ， ， 從而 ， ， 再積分： ， ， . 5．槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為，出板速度為，設槍彈在板內受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少？ 解：由方程， 可得 ， 再從 ， 得到 ， 根據(jù) ， 可得 ， §5 高階線性微分方程 1．已知是二階線性微分方程的解，試證是的解 3． 已知二階線性微分方程的三個特解，試求此方程滿足的特解. 解：；是齊次微分方程的解， 且常數(shù)，故原方程通解為 由得，即特解為 3．驗證是微分方程的解，并求其通解. §6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 1． 求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）. 解：特征方程為，即得 即特征方程為有二重共軛復根 故方程通解為 2．求下列微分方程的特解 （1） （2） （3） 3.設單擺擺長為，質量為，開始時偏移一個小角度，然后放開，開始自由擺動.在不計空氣阻力條件下，求角位移隨時間變化的規(guī)律. 解：在時刻，P點受力中垂直于擺的分量為： ，如圖： P mg 此為造成運動之力.而此時線加速度為，故有. 從而方程為：， 初始條件：，， 解得通解為： 特解為： 4. 圓柱形浮筒直徑為0.5m ，鉛垂放在水中，當稍向下壓后突然放開，浮筒在水中上下震動，周期為2s，求浮筒質量. 解：建立如圖所示的坐標系，O 取圓筒在平衡時（此時重力與浮力相等）筒上一點為坐標原點，設筒在上下振動時該點位移為，則有.其中為由于筒離開平衡位置后產(chǎn)生的浮力：. 由此可得振動方程： 該方程的通解為 根據(jù)周期為，獲得 解出 . 5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設運動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為1m，問需多少時間鏈條全部滑過桌面. 解：坐標系如圖，原點于鏈尾點，鏈條滑過的方向為x軸的正方向建立坐標系， O 于是, 由 ， 觀察得一特解：， 于是通解為： 求，由， 得：＝ §7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 1． 求下列微分方程的通解 （1）； 解：特征方程為，特征根為， 故對應齊次方程通解為 本題中是特征方程的單根，故可設原方程有特解 代入原方程有 得 故原方程通解為 （2）； 解：特征方程為，特征根為， 故對應齊次方程通解為 本題中不是特征方程的根，故可設原方程有特解 代入原方程有 得 故原方程通解為 （3）； 解：特征方程為，特征根為， 故對應齊次方程通解為 構造復方程 復方程中不是特征方程的根，故可設復方程有特解 代入復方程得 得 故復方程有特解 故復方程特解的實部為原方程的一個特解， 故原方程的通解為 （4）； 解：原方程即為 特征方程為，特征根為， 故對應齊次方程通解為 顯然有特解 對構造復方程 設復方程有特解，代入復方程有 得，即復方程有特解 故有特解， 所以原方程有特解 故原方程有通解 （5）. 解：特征方程為，特征根為 故對應齊次方程通解為 對， 是特征方程的單根，可設有特解 解得 對， 是特征方程的單根，可設有特解 解得 故是原方程的一個特解 故原方程通解為 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 解法一：原方程即為 特征方程為，特征根為， 故對應齊次方程通解為 構造復方程 復方程中不是特征方程的根，故可設復方程有特解 代入復方程得 得 故復方程有特解 故復方程特解的虛部為原方程的一個特解， 故原方程的通解為 由得特解 2． 設連續(xù)函數(shù)滿足 求. 解:由題意有 特征方程為，特征根為 故對應齊次方程通解為 不是特征方程的根，故可設原方程有特解 解得 故原方程的通解為 由得本題解為 （注 4.一質量為的質點由靜止開始沉入水中，下沉時水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為），求此物體之運動規(guī)律. 解：取坐標系如圖： O P 設時刻該質點離水平面為，其加速度為，所受的力為，便得滿足的微分方程為： 5.一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離開釘子8m，另一端離開釘子12m，若不計摩擦力，求鏈條全部滑下所需時間. 解：考查鏈條的末端（在8米處）記為P，坐標系如圖： O P 在時刻P坐標為，于是.時刻鏈條所受的合力是： 是鏈條線密度） 整個鏈條的質量為： 由，得 ， ，（有特解） 求出通解 然后由解出全部滑落的時間 （秒） 6.大炮以仰角、初速發(fā)射炮彈，若不計空氣阻力，求彈道曲線. 解：取坐標系如圖. 設彈道曲線為，時刻受力為： （0，）， 即， 有， 分別可以解得： §8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 1． 求下列微分方程的通解 （1）； （2）. 2．求下列微分方程組的通解 （1） （2） 自測題 1． 求下列微分方程的解 （1）； 解：令則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程， 分離變量積分即，得，故原方程通解為 （2）； 解：原方程變形為伯努力方程 令，則化為線性方程 故得， 故 法二： ； （3）； ； （4）. 2．求連續(xù)函數(shù)，使得時有. 解：由題意有， 即為線性齊次方程 故 （注令，則變?yōu)? ） 3．求以為通解的二階微分方程. 4．某個三階常系數(shù)微分方程 有兩個解和，求. . 5．設有一個解為，對應齊次方程有一特解，試求： （1）的表達式； （2）該微分方程的通解. ； 6．已知可導函數(shù)滿足關系式： 求. 解：由題意得即 分離變量積分得 由得，故，即 7．已知曲線上原點處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，求此曲線方程.