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排列組合難題二十一種方法 排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質特征，采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚怼? 教學目標 1.進一步理解和應用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。 2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應用題。提高學生解決問題分析問題的能力 3.學會應用數(shù)學思想和方法解決排列組合問題. 復習鞏固 1.分類計數(shù)原理(加法原理) 完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法． 2.分步計數(shù)原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法． 3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別 分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。 分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件． 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下: 1.認真審題弄清要做什么事 2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。 3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素. 4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略 一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù). 解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計數(shù)原理得 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件 練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？ 二.相鄰元素捆綁策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法. 解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法 要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列. 練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 三.不相鄰問題插空策略 例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？ 解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30 四.定序問題倍縮空位插入策略 例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法 解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插 空模型處理 練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 五.重排問題求冪策略 例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法 允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種 練習題： 1． 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法 六.環(huán)排問題線排策略 例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法? 解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有 練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120 七.多排問題直排策略 例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種 一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究. 練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 八.排列組合混合問題先選后排策略 例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法. 解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有 解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎? 練習題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種 九.小集團問題先整體后局部策略 例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？ 解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有種排法，再排小集團內部共有種排法，由分步計數(shù)原理共有種排法. 小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。 練習題： １.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一　 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種 十.元素相同問題隔板策略 例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。 將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為 練習題： 1． 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略 例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？ 解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有 有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰. 練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的 抽法有多少種? 十二.平均分組問題除法策略 例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。 平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。 練習題： 1 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？（） 2.10名學生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的 分組方法 （1540） 3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安 排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______（） 十三. 合理分類與分步策略 例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法 解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究 只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數(shù)原理共有 種。 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。 練習題： 1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標準： *以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準 *以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準 *以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準 都可經得到正確結果 十四.構造模型策略 例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？ 解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 種 一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120） 十五.實際操作窮舉策略 例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法 解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有種 3號盒 4號盒 5號盒 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果 練習題： 1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) 2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種 十六. 分解與合成策略 例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除 分析：先把30030分解成質因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積， 所有的偶因數(shù)為： 練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線 解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共,每個四面體有 分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結構,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略 3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線 十七.化歸策略 例17. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？ 解：將這個問題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。 處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題 練習題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？() 十八.數(shù)字排序問題查字典策略 例18．由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數(shù)？ 解: 數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習:用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是 3140 十九.樹圖策略 例19．人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有______ 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結果 練習: 分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？ 二十.復雜分類問題表格策略 例20．有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法 紅 1 1 1 2 2 3 黃 1 2 3 1 2 1 蘭 3 2 1 2 1 1 取法 解: 一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經常出現(xiàn)重復遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達到好的效果. 二十一：住店法策略 解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 . 分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種. 小結 本節(jié)課，我們對有關排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。同學們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎。 數(shù)列的求和 一、教學目標：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式； 2．能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數(shù)學方法進行求和運算； 3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式． 二、教學重點：特殊數(shù)列求和的方法． 三、教學過程： （一）主要知識： 1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 （1）等差數(shù)列的求和公式： （2）等比數(shù)列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論） 2．公式法： 3．錯位相減法：比如 4．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。 常見拆項公式： ； 5．分組求和法：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數(shù)列，再求和。 6．合并求和法：如求的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1．求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P鍵是看數(shù)列的通項公式； 2．求和過程中注意分類討論思想的運用； 3．轉化思想的運用； （三）例題分析： 例1．求和：① ② ③求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和 思路分析：通過分組，直接用公式求和。 解：① ② （1）當時， （2）當 ③ 總結：運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比討論。 2．錯位相減法求和 例2．已知數(shù)列，求前n項和。 思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5，…2n-1與等比數(shù)列對應項積，可用錯位相減法求和。 解： 當 當 3.裂項相消法求和 例3.求和 思路分析:分式求和可用裂項相消法求和. 解: 練習:求 答案: 4.倒序相加法求和 例4求證： 思路分析：由可用倒序相加法求和。 證：令 則 等式成立 5．其它求和方法 還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。 例5．已知數(shù)列。 思路分析：，通過分組，對n分奇偶討論求和。 解：，若 若 預備：已知成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)， 又，試比較與3的大小。 解： 可求得，∵n為正偶數(shù)， （四）鞏固練習： 1．求下列數(shù)列的前項和： （1）5，55，555，5555，…，，…； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解：（1） ． （2）∵， ∴． （3）∵ ∴ ． （4）， 當時，…， 當時，… ， …， 兩式相減得 …， ∴． （5）∵， ∴ 原式……． （6）設， 又∵， ∴ ，． 2．已知數(shù)列的通項，求其前項和． 解：奇數(shù)項組成以為首項，公差為12的等差數(shù)列， 偶數(shù)項組成以為首項，公比為4的等比數(shù)列； 當為奇數(shù)時，奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項， ∴， 當為偶數(shù)時，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別有項， ∴， 所以，． 四、小結：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數(shù)列求和公式時注意分討論。 15