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目錄 第一章　空間幾何體 1.1　空間幾何體的結構 1.1.1　多面體的結構特征 …………………………………………1 1.1.2旋轉體與簡單組合體的結構特征 ………………………………………6 1.2　空間幾何體的三視圖和直觀圖 1.2.1　中心投影與平行投影 1.2.2　空間幾何體的三視圖 ……………………………………………10 1.2.3　空間幾何體的直觀圖. ……………………………………………15 §1.3　空間幾何體的表面積與體積 第1課時　柱體、錐體、臺體的表面積 ………………………………… 19 第2課時　柱體、錐體、臺體、球的體積與球的表面積 …………………23 習題課　空間幾何體 …………………………………………27 第二章 點 直線 平面之間的位置關系 2.1.1　平　面 ……………………………………………………29 2.1.2　空間中直線與直線之間的位置關系 …………………………………33 2.1.3　空間中直線與平面之間的位置關系 2.1.4　平面與平面之間的位置關系 …………………………………………37 2.2.1　直線與平面平行的判定 2.2.2　平面與平面平行的判定 ………………………………………………40 2.2.3　直線與平面平行的性質 ………………………………………………44 2.2.4　平面與平面平行的性質 ………………………………………………47 2.3.1　直線與平面垂直的判定 ………………………………………………50 2.3.2　平面與平面垂直的判定 ………………………………………………53 2. 3.3　直線與平面垂直的性質 2.3.4　平面與平面垂直的性質 ………………………………………………57 第二章 復習課 ………………………………………………60 第三章 直線與方程 3.1.1　傾斜角與斜率 …………………………………………………64 3.1.2　兩條直線平行與垂直的判定 …………………………………………67 3.2.1　直線的點斜式方程 ……………………………………………………70 3.2.2　直線的 兩點式方程 …………………………………………………73 3.2.3　直線的一般式方程 ……………………………………………………76 3.3.1　兩條直線的交點坐標 3.3.2　兩點間的距離 ……………………………………………………79 3.3.3　點到直線的距離 3.3.4　兩條平行直線間的距離 ………………………………………………82 第四章 圓與方程 4.1.1　圓的標準方程 ………………………………………………………85 4.1.2　圓的一般方程 …… …………………………………………………88 4.2.1　直線與圓的位置關系 ………………………………………………91 4.2.2　圓與圓的位置關系 …………………………………………………94 4.2.3　直線與圓的方程的應用 ……………………………………………97 4.3.1　空間直角坐標系 ……………………………………………………100 4.3.2　空間兩點間的距離公式 …………………………………………103 章末復習 ……………………………………………………………………106 2 第一章　空間幾何體 §1.1　空間幾何體的結構 第1課時　多面體的結構特征 【學習目標】　 1.認識組成我們的生活世界的各種各樣的多面體； 2.認識和把握棱柱、棱錐、棱臺的幾何結構特征； 3.了解多面體可按哪些不同的標準分類，可以分成哪些類別． 【知識梳理】 1．空間幾何體 (1)概念：如果只考慮物體的＿ ＿和＿＿，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體． (2)特殊的幾何體 ①多面體：一般地，由若干個 圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的 ；相鄰兩個面的 叫做多面體的棱；棱與棱的 叫做多面體的頂點． ②旋轉體：由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的 叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的 2．多面體的結構特征 (1)棱柱的結構特征：一般地，有兩個面 ，其余各面都是 ，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱． (2)棱錐的結構特征：一般地，有一個面是 ，其余各面都是 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐． (3)棱臺的結構特征：用一個 于棱錐底面的平面去截棱錐， 之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺． 思考探究 [情境導學]　在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據著空間的一部分．如果我們只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．本節(jié)課我們主要從結構特征方面認識最基本的空間幾何體． 探究點一　空間幾何體的類型 思考1　觀察下列圖片，你知道這圖片在幾何中分別叫什么名稱嗎？ 答: 思考2　如果將這些幾何體進行適當分類，你認為可以分成哪幾種類型？ 答: 思考3　觀察圖(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中組成幾何體的每個面的特點，以及面與面之間的關系，你能歸納出它們有何共同特點嗎？ 答: [小結]　我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點． 思考4　觀察圖(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中組成幾何體的每個面有何共同特點？ 答: [小結]　由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體．這條定直線叫做旋轉體的軸． 探究點二　棱柱的結構特征 思考1　我們把下面的多面體取名為棱柱，據此你能給棱柱下一個定義嗎？ 　　　　 圖1　　　　　　　　　圖2 答: 思考2　為了研究方便，我們把棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點．你能指出上面棱柱的底面、側面、側棱、頂點嗎？ 答: 思考3　棱柱上、下兩個底面的形狀大小如何？各側面的形狀如何？ 答: 思考4　一個棱柱至少有幾個側面？一個N棱柱分別有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個頂點？ 答: 思考5　有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱嗎？ 答: [小結]　在棱柱中，底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；思考1圖1中的六棱柱用各頂點字母可表示為棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′. 例1　試判斷下列說法是否正確： (1)棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面； (2)棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形． 答: [反思與感悟]　概念辨析題常用方法：(1)利用常見幾何體舉反例；(2)從底面多邊形的形狀、側面形狀及它們之間的位置關系、側棱與底面的位置關系等角度緊扣定義進行判斷． 跟蹤訓練1　根據下列關于空間幾何體的描述，說出幾何體名稱： (1)由6個平行四邊形圍成的幾何體． (2)由8個面圍成，其中兩個面是平行且全等的六邊形，其余6個面都是平行四邊形． 答: 探究點三　棱錐的結構特征 思考1　我們把下面的多面體取名為棱錐，據此你能給棱錐下一個定義嗎？ 答: 思考2　參照棱柱的說法，棱錐的底面、側面、側棱、頂點分別是什么含義？你能作圖加以說明嗎？ 答: 思考3　類比棱柱的分類，棱錐如何根據底面多邊形的邊數進行分類？如何用棱錐各頂點的字母表示思考1中的三個棱錐？ 答: 思考4　一個棱錐至少有幾個面？一個N棱錐分別有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個頂點？ 答: 思考5　用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面的形狀關系如何？ 答: 思考6　棱柱、棱錐分別具有一些什么幾何性質？ 答: 例 2 如圖，幾何體中，四邊形AA1B1B為邊長為3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，請你判斷這個幾何體是棱柱嗎？若是棱柱，指出是幾棱柱．若不是棱柱，請你試用一個平面截去一部分，使剩余部分是一個側棱長為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征．在立體圖中畫出截面． 答: [反思與感悟]　認識一個幾何體，要看它的結構特征，并且要結合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平面分割開． 跟蹤訓練2　若三棱錐的底面為正三角形，側面為等腰三角形，側棱長為2，底面周長為9，求棱錐的高．(過頂點向底面作垂線，頂點與垂足的距離) 答: 探究點四　棱臺的結構特征 思考1　用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分形成另一個多面體，這樣的多面體叫做棱臺．那么棱臺有哪些結構特征？ 答: 思考2　仿照棱錐中關于底面、側面、側棱、頂點的定義，如何定義棱臺的底面、側面、側棱、頂點呢？ 答: 思考3　根據三棱錐、四棱錐、五棱錐……的定義，如何定義三棱臺、四棱臺、五棱臺……？如何用字母表示棱臺？ 答: 思考4　既然棱柱、棱錐、棱臺都是多面體，它們在結構上有哪些相同點和不同點？三者的關系如何？當底面發(fā)生變化時，它們能否相互轉化？ 答: 例 3 有下列三個命題： ①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺． 其中正確的有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 [反思與感悟]　一個棱臺的基本特征是上、下底面平行且相似，側棱延長后交于一點，這是判斷幾何體是否為棱臺的依據． 跟蹤訓練 3 已知四棱臺的上底面、下底面分別是邊長為4,8的正方形，各側棱長均相等，且側棱長為，求四棱臺的高． 答: 【隨堂練習】 1．下列說法中正確的是(　　) A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行 B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一條側棱就是棱柱的高 D．棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形 2．下列說法中，正確的是(　　) A．有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐 B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺 C．棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形 D．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形 3．下列說法錯誤的是(　　) A．多面體至少有四個面 B．九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形 C．長方體、正方體都是棱柱 D．三棱柱的側面為三角形 4．對棱柱而言，下列說法正確的序號是________． ①有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形．②所有的棱長都相等．③棱柱中至少有2個面的形狀完全相同．④相鄰兩個面的交線叫做側棱． 【課堂小結】 1．在理解的基礎上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義，能夠根據定義判斷幾何體的形狀． 2．對幾何體定義的理解要準確，另外，要想真正把握幾何體的結構特征，必須多角度、全面地分析，多觀察實物，提高空間想象能力． 第2課時　旋轉體與簡單組合體的結構特征 【學習目標】　1.認識組成我們生活的世界的各種各樣的旋轉體； 2.認識和把握圓柱、圓錐、圓臺、球體的幾何結構特征． 【知識梳理】 1．圓柱及其有關的概念 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做 ． 叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的 ；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的 ；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的 ． 2．圓錐的概念 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做＿ 3．圓臺的概念 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做 ．與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線． 4．球及其有關的概念 以半圓的直徑所在直線為 ，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做 ，簡稱球．半圓的圓心叫做球的 ，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的 ．球常用表示球心的字母O表示． 5．簡單組合體 (1)概念：由 組合而成的幾何體叫做簡單組合體．常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組成的． (2)基本形式：一種是由簡單幾何體 而成，另一種是由簡單幾何體 或 一部分而成． 思考探究 [情境導學]　舉世聞名的比薩斜塔是意大利的一個著名景點．它的構造從外形上看是由八個圓柱組合成的一個組合體，我們周圍的很多建筑物和它一樣，也都是由一些簡單幾何體組合而成的組合體．本節(jié)我們就來學習旋轉體與簡單組合體的結構特征． 探究點一　圓柱的結構特征 思考1　如圖所示的空間幾何體叫做圓柱，那么圓柱是怎樣形成的呢？與圓柱有關的幾個概念是如何定義的？ 答: 思考2　如圖，平行于圓柱底面的截面，經過圓柱任意兩條母線的截面分別是什么圖形？ 答: 探究點二　圓錐的結構特征 思考1　類比圓柱的定義，結合下圖你能給圓錐下個定義嗎？ 答: 思考2　類比圓柱的軸、底面、側面、母線的定義，如何定義圓錐的軸、底面、側面、母線？ 答: 思考3　經過圓錐的任意兩條母線的截面是什么圖形？圓錐如何用字母表示？ 答: 探究點三　圓臺的結構特征 思考1　用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分叫做圓臺．圓臺可以由什么平面圖形旋轉而形成？ 答: 思考2　與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線，它們的含義分別如何？圓臺如何用字母表示？ 答: 思考3　圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉體，它們在結構上有哪些相同點和不同點？三者的關系如何？當底面發(fā)生變化時，它們能否互相轉化？ 答: 例1　用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺的母線長． 答: [反思與感悟]　用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的軸截面(經過旋轉軸的截面)的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，列出相關幾何變量的方程組而解得． 跟蹤訓練1　將例1中“截去的圓錐的母線長是3 cm”改為“圓錐SO的母線長為16 cm”其余條件不變，則結果如何？ 答: 探究點四　球的結構特征 思考　類比圓柱、圓錐、圓臺的定義，球是如何定義的？球心及球半徑是指什么？如何用字母表示球？ 答: 例2　判斷下列各命題是否正確： (1)三棱柱有6個頂點，三棱錐有4個頂點； (2)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線； (3)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺； (4)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形； (5)到定點的距離等于定長的點的集合是球． 答: 跟蹤訓練 2 下列敘述中正確的個數是(　　) ①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． A．0 B．1 C．2 D．3 探究點五　簡單組合體的結構特征 思考1　現實生活中的物體多數是由柱體、錐體、臺體、球體等簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體．那么這些組合體是怎樣構成的？ 答: 思考2　觀察教材圖1.1－11中(1)、(3)兩物體所示的幾何體，你能說出它們各由哪些簡單幾何體組合而成嗎？ 答: 例3　描述下列幾何體的結構特征． 答: 跟蹤訓練3　數學奧林匹克競賽中，若你獲得第一名，被授予如圖所示的獎杯，那么，請你介紹一下你所得的獎杯是由哪些簡單幾何體組成的？ 答: 【隨堂練習】 1．下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的(　　) 2．下列說法正確的是(　　) A．圓錐的母線長等于底面圓直徑 B．圓柱的母線與軸垂直 C．圓臺的母線與軸平行 D．球的直徑必過球心 3．下面幾何體的截面一定是圓面的是(　　) A．圓臺 B．球 C．圓柱 D．棱柱 4．以下說法中： ①圓臺上底面的面積與下底面的面積之比一定小于1. ②矩形繞任意一條直線旋轉都可以圍成圓柱． ③過圓臺側面上每一點的母線都相等． 正確的序號為________． 5.如圖所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？ 【課堂小結】 (1)圓臺、棱臺可以看作是用一平行于底面的平面去截圓錐、棱錐得到的底面與截面之間的部分；圓臺的母線、棱臺的側棱延長后必交于同一點，若不滿足該條件，則一定不是圓臺或棱臺． (2)球面與球是兩個不同的概念，球面是半圓以它的直徑所在直線為軸旋轉一周形成的曲面，也可以看作與定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合．而球體不僅包括球的表面，同時還包括球面所包圍的空間． §1.2　空間幾何體的三視圖和直觀圖 1.2.1　中心投影與平行投影1.2.2　空間幾何體的三視圖 【學習目標】　1.了解投影、中心投影和平行投影的概念； 2.能畫出簡單幾何體的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型． 【知識梳理】 投影 (1)投影的定義 由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的 ，這種現象叫做投影．其中，我們把光線叫做 ，把留下物體影子的屏幕叫做 ． (2)投影的分類 ①中心投影：光由 向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影線交于 ． ②平行投影：在一束 光線照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的 是平行的．在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做 ，否則叫做 ． 2．三視圖 (1)三視圖的分類 ①正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的 ②側視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的 ③俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的 (2)三視圖的畫法要求 ①三視圖的正視圖、俯視圖、側視圖分別是從物體的 、 、 看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形． ②一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在正視圖的 ，長度與 的長度一樣，側視圖放在正視圖的右邊，高度與 的高度一樣，寬度與 的寬度一樣． ③在繪制三視圖的時候，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋部分用虛線畫出． 思考探究 [情境導學]　從不同角度看廬山，有古詩：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同；不識廬山真面目，只緣身在此山中．”對于我們所學幾何體，從不同方向看到的形狀也各有不同，我們通常用三視圖和直觀圖來把幾何體畫在紙上． 探究點一　中心投影與平行投影 導引　在建筑、機械等工程圖中，需要用平面圖形反映空間幾何體的形狀和大小，在作圖技術上這也是一個幾何問題，要想知道這方面的基礎知識，請先閱讀教材第11頁，然后思考下列問題． 思考1　什么是投影、投影線、投影面嗎？ 答: 思考2　不同的光源發(fā)出的光線是有差異的，其中燈泡發(fā)出的光線與手電筒發(fā)出的光線有什么不同？ 答: [小結]　我們把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影． 思考3　用燈泡照射物體和用手電筒照射物體形成的投影分別是哪種投影？ 答: 思考4　用燈泡照射一個與投影面平行的不透明物體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小有什么關系？當物體與燈泡的距離發(fā)生變化時，影子的大小會有什么不同？ 答: 思考5　用手電筒照射一個與投影面平行的不透明物體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小有什么關系？當物體與手電筒的距離發(fā)生變化時，影子的大小會有變化嗎？ 答: 思考6　一個與投影面平行的平面圖形，在正投影和斜投影下的形狀、大小是否發(fā)生變化？一個與投影面不平行的平面圖形，在正投影和斜投影下的形狀、大小是否發(fā)生變化？ 答: 例 1 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖中的________．(填序號) [反思與感悟]　畫出一個圖形在一個平面上的投影的關鍵是確定該圖形的關鍵點，如頂點等，畫出這些關鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影．如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現不知所措的情形，避免出現這種情況的方法是依據平行投影的含義，借助于空間想象來完成． 跟蹤訓練1　如圖(1)所示，E、F分別為正方體面ADD′A′、面BCC′B′的中心，則四邊形BFD′E在該正方體的各個面上的投影可能是圖(2)中的________． 探究點二　柱、錐、臺、球的三視圖 導引　把一個空間幾何體投影到一個平面上，可以獲得一個平面圖形．從多個角度進行投影就能較好地把握幾何體的形狀和大小，通常選擇三種正投影，即正面、側面和上面． 思考1　如圖，設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，那么其三視圖分別是什么？ 答: 思考2　三視圖，分別反映物體的哪些關系(上下、左右、前后)？哪些數量(長、寬、高)? 答: [小結]　一般地，一個幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖的長度、寬度和高度的關系為：正側等高，正俯等長，側俯等寬． 思考3　圓柱、圓錐、圓臺的三視圖分別是什么？ 答: 思考4　球的三視圖是什么？下列三視圖表示一個什么幾何體？ 答: 探究點三　簡單組合體的三視圖 思考1　在簡單組合體中，從正視、側視、俯視等角度觀察，有些輪廓線和棱能看見，有些輪廓線和棱不能看見，在畫三視圖時怎樣處理？ 思考2　如圖所示，將一個長方體截去一部分，這個幾何體的三視圖如何畫出？(標出字母) 答: 例 2 如圖，設所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖．(單位：cm) 答: [反思與感悟]　(1)在畫三視圖時，務必做到正(視圖)側(視圖)高平齊，正(視圖)俯(視圖)長對正，俯(視圖)側(視圖)寬相等．(2)習慣上將正視圖與側視圖畫在同一水平位置上，俯視圖在正視圖的正下方． 跟蹤訓練2　某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 探究點四　將三視圖還原成幾何體 思考　下圖是簡單組合體的三視圖，想象它們表示的組合體的結構特征，并畫出其示意圖． 答: 例3　說出下面的三視圖表示的幾何體的結構特征． 答: [反思與感悟]　通常要根據俯視圖判斷幾何體是多面體還是旋轉體，再結合正視圖和側視圖確定具體的幾何結構特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體． 跟蹤訓練3　下圖是一個物體的三視圖，試說出物體的形狀． 答: 【隨堂練習】 1．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正投影是(　　) 2．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是(　　) A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三棱臺 3．將正方體(如圖(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　) 4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是(　　) 5．如圖，四棱錐的底面是正方形，頂點在底面上的射影是底面正方形的中心，試畫出其三視圖． 【課堂小結】 1．三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖是分別從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，畫幾何體的要求是正視圖、俯視圖長對正，正視圖、側視圖高平齊，俯視圖、側視圖寬相等，前后對應，畫出的三視圖要檢驗是否符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征． 2．幾何體的三視圖的畫法為：先畫出兩條互相垂直的輔助 坐標軸，在第二象限畫出正視圖；根據“正、俯兩圖長對正”的原則，在第三象限畫出俯視圖；根據“正、側兩圖高平齊”的原則，在第一象限畫出側視圖． 3．看得見部分的輪廓線畫實線，看不見部分的輪廓線畫虛線． 1.2.3　空間幾何體的直觀圖 目標　1.掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則；2.會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖． 【知識梳理】 1．畫平面圖形直觀圖的步驟 (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面． (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段． (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度 ，平行于y軸的線段，長度為原來的 ． 2．立體圖形的直觀圖的畫法 畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′.且平行于O′z的線段長度 ．其他同平面圖形的畫法． 思考探究 [情境導學]　空間幾何體除了用三視圖表示外，更多的是用直觀圖來表示．空間圖形能否在平面中畫出來，使得既富有立感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系呢？這就是空間幾何體的直觀圖．本節(jié)我們就來研究這個問題． 探究點一　水平放置的平面圖形的畫法 導引　用來表示空間圖形的平面圖叫空間圖形的直觀圖，要畫空間幾何體的直觀圖，先要學會水平放置的平面圖形的畫法． 思考1　把一個矩形水平放置，從適當的角度觀察，給人以平行四邊形的感覺，如圖．比較兩圖，其中哪些線段之間的位置關系、數量關系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 答: 思考2　把一個直角梯形水平放置得其直觀圖如下，比較兩圖，其中哪些線段之間的位置關系、數量關系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？ 答: 思考3　閱讀教材16頁中的例1，然后自主作出水平放置的正六邊形的直觀圖． 答: [小結]　上述畫水平放置的平面圖形的直觀圖的方法叫做斜二測畫法，斜二測畫法的基本步驟和規(guī)則： (1)建坐標系，定水平面； (2)與坐標軸平行的線段保持平行； (3)水平線段等長，豎直線段減半． 思考4　斜二測畫法可以畫任意多邊形水平放置的直觀圖，如果把一個圓水平放置，看起來像什么 圖形？畫出水平放置的圓的直觀圖． 答: 例1　用斜二測畫法畫邊長為4 cm的水平放置的正三角形的直觀圖． 答: [反思與感悟]　此類問題的解題步驟是：建系、定點、連線成圖．要注意選取恰當的坐標原點，能使整個作圖變得簡便． 跟蹤訓練1　將例1中三角形放置成如圖所示，則直觀圖與例1中的還一樣嗎？ 答: 探究點二　空間幾何體的直觀圖的畫法 例2　用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖． 答: [反思與感悟]　直觀圖中應遵循的基本原則： (1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段； (2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼? 跟蹤訓練2　如下圖，是一個空間幾何體的三視圖，請用斜二測畫法畫出它的直觀圖． 答: 例 3 如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等腰梯形，它的底角為45°，兩腰和上底邊長均為1，求這個平面圖形的面積． 答: [反思與感悟]　解答此類題目的關鍵是首先要能夠將水平放置的平面圖形的直觀圖還原為原來的實際圖形，其依據就是逆用斜二測畫法，也就是使平行于x軸的線段的長度不變，而平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?倍． 跟蹤訓練3　已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 【隨堂練習】 1．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為(　　) A．16 B．64 C．16或64 D．無法確定 2．利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的(　　) 3．已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2 cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3 cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為(　　) A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm 4．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形． 答: 【課堂小結】 1．斜二測畫法是聯系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據它們之間的可逆關系尋找它們的聯系；在求直觀圖的面積時，可根據斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形． 2．在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大?。? §1.3　空間幾何體的表面積與體積 第1課時　柱體、錐體、臺體的表面積 目標　1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺體的表面積的求法；2.了解柱、錐、臺體的表面積計算公式；能運用柱、錐、臺的表面積公式進行計算和解決有關實際問題；3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力． 【知識梳理】 1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積 棱柱、棱錐、棱臺是由多個 圍成的多面體，它們的表面積就是各個面的面積的 ． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖 圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是 、 、 ． 3．旋轉體的表面積 名稱 圖形 公式 圓柱 底面積：S底＝ 側面積：S側＝ 表面積：S＝ 圓錐 底面積：S底＝ 側面積：S側＝ 表面積：S＝ 圓臺 上底面面積：S上底＝ 下底面面積：S下底＝ 側面積：S側＝ 表面積：S＝ 思考探究 [情境導學]　已知ABB1A1是圓柱的軸截面，AA1＝a，AB＝b，P是BB1的中點；一小蟲沿圓柱的側面從A1爬到P，如何求小蟲爬過的最短路程？要解決這個問題需要將圓柱的側面展開，本節(jié)我們將借助幾何體的側面展開圖來研究幾何體的表面積． 探究點一　棱柱、棱錐、棱臺的表面積 思考1　在初中我們已經學過正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖，你知道正方體和長方體的展開圖的面積與正方體和長方體的表面積的關系嗎？ 答: 思考2　幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，棱柱，棱錐，棱臺的側面展開圖是怎樣的？如何求棱柱，棱錐，棱臺的表面積？ 答: 例1　已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S—ABC，求它的表面積． [反思與感悟]　在解決棱錐、棱臺的側面積、表面積問題時往往將已知條件歸結到一個直角三角形中求解，為此在解此類問題時，要注意直角三角形的應用． 跟蹤訓練1　已知棱長為5，底面為正方形，各側面均為正三角形的四棱錐S—ABCD，求它的表面積． 答: 例 2 已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側面積． 答: [反思與感悟]　解決有關正棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到直角梯形中去解決；二是把正棱臺還原成正棱錐，利用正棱錐的有關知識來解決． 跟蹤訓練2　在本例中，把棱臺還原成棱錐，你能利用棱錐的有關知識求解嗎？ 答: 探究點二　圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求法 思考1　如何根據圓柱的展開圖，求圓柱的表面積？ 答: 思考2　如何根據圓錐的展開圖，求圓錐的表面積？ 答: 思考3　如何根據圓臺的展開圖，求圓臺的表面積？ 答: 思考4　圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？ 答: 例 3　一圓臺形花盆，盆口直徑20 cm，盆底直徑15 cm，底部滲水圓孔直徑1.5 cm，盆壁長15 cm.為美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少油漆？(π取3.14，結果精確到1毫升) 答: [反思與感悟]　解決臺體的問題通常要還臺為錐，求面積時要注意側面展開圖的應用，上、下底面圓的周長是展開圖的弧長． 跟蹤訓練3　圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是多少？(結果中保留π) 答: 【隨堂練習】 1．一個幾何體的三視圖(單位長度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是(　　) A．(80＋16)cm2 B．84 cm2 C．(96＋16)cm2 D．96 cm2 2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為(　　) A.π B．π＋ C.π＋ D.π＋ 3．一個高為2的圓柱，底面周長為2π.該圓柱的表面積為________． 4．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________． 5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 【課堂小結】 1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側面積加底面積；棱臺的表面積等于它的側面積加兩個底的面積． 2．有關旋轉體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關知識求解． 3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 第2課時　柱體、錐體、臺體、球的體積與球的表面積 目標 　 1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它們求有關幾何體的體積； 2.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求球的表面積及體積； 3.會求簡單組合體的體積及表面積． 【知識梳理】 1．柱體、錐體、臺體的體積 幾何體 體積 柱體 V柱體＝ (S為底面面積，h為高)， V圓柱＝ (r為底面半徑) 錐體 V錐體＝ S為底面面積，h為高)， V圓錐＝ (r為底面半徑) 臺體 V臺體＝(S＋＋S′)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺＝πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分別為上、下底面半徑) 2.球的體積 球的半徑為R，那么它的體積V＝ . 3．球的表面積 S= 球的半徑為R，那么它的表面積S＝ 思考探究 [情境導學]　上一節(jié)我們學習了幾何體的表面積，一般地，面積是相對平面圖形來說的，對于空間圖形需要研究它們的體積，本節(jié)我們就來研究柱體、錐體、臺體、球的體積和球的表面積問題． 探究點一　柱體、錐體、臺體的體積 思考1　我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計算公式，它們的體積公式如何表示？ 答: 思考2　根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？ 答: 思考3　等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關系如何？等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關系如何？ 答: 思考4　根據圓錐的體積公式，推測錐體的體積計算公式？ 答: 思考5　臺體的上底面積S′，下底面積S，高h，則臺體的體積是怎樣的？圓臺的體積公式如何用上下底面半徑及高表示？ 答: 例1　如圖所示的三棱錐P—ABC的三條側棱兩兩垂直，且PB＝1，PA＝，PC＝，求其體積．(一直線和一平面內兩相交直線垂直，則直線與平面垂直) 答: [反思與感悟]　三棱錐的任一側面都可以做為底面來求其體積；在已知三棱錐的體積時，可用等體積法求點到平面的距離．在本例中有VP－ABC＝VA－PBC＝VB－PAC＝VC－PAB. 跟蹤訓練1　一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．2π＋2 B．4π＋2 C．2π＋ D．4π＋ 探究點二　球的體積和表面積 思考　球既沒有底面，也無法像柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？就目前我們學過的知識還不能解決，我們不妨先記住公式．設球的半徑為R，那么它的體積：V＝πR3，它的表面積S＝4πR2，現在請大家觀察這兩個公式，思考它們都有什么特點？ 答: 例2　如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑．求證： (1)球的體積等于圓柱體積的； (2)球的表面積等于圓柱的側面積． 答: [反思與感悟]　(1)球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長． (2)球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線． (3)球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑． (4)球與圓臺的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高． 跟蹤訓練2 球與圓臺的上、下底面及側面都相切，且球面面積與圓臺的側面積之比為3∶4，則球的體積與圓臺的體積之比為(　　) A．6∶13 B．5∶14 C．3∶4 D．7∶15 探究點三　簡單組合體的表面積和體積 例3　如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周．求旋轉體的表面積和體積． 答: [反思與感悟]　求組合體的表面積或體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減． 跟蹤訓練3 如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與面ABCD的距離為2，求該多面體的體積． 答: 【隨堂練習】 1．已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 2．設正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為，那么它的體積為(　　) A．6 B. C．2 D．2 3．若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________． 4．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________. 【課堂小結】 1．柱體、錐體、臺體的體積之間的內在關系為 V柱體＝ShV臺體＝h(S＋＋S′)V錐體＝Sh. 2．在三棱錐A－BCD中，若求點A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝. 這種方法就是用等體積法求點到平面的距離，其中V一般用換頂點法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求． 3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解． 4．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構成直角三角形，進行相關計算． 5．解決球與其他幾何體的切接問題，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現在平面圖形中，再進行相關計算． 習題課　空間幾何體 結構圖 類型題 題型一　三視圖與直觀圖 三視圖是從三個不同的方向看同一個物體而得到的三個視圖，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長和寬，正視圖反映它的長和高，側視圖反映它的寬和高． 例1 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B．3π C. D．6π 跟蹤訓練1　一幾何體的三視圖如圖所示． (1)說出該幾何體的結構特征并畫出直觀圖； (2)計算該幾何體的體積與表面積． 答: 題型二　柱體、錐體、臺體的表面積和體積 幾何體的表面積及體積的計算是現實生活中經常能夠遇到的問題，在計算中應注意各數量之間的關系及各元素之間的位置關系，特別是特殊的柱、錐、臺體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應用． 例2　圓柱有一個內接長方體AC1，長方體對角線長是10cm，圓柱的側面展開平面圖為矩形，此矩形的面積是100π cm2，求圓柱的體積． 答: 跟蹤訓練2　正四棱柱的對角線長為3 cm，它的表面積為16 cm2，求它的體積． 答: 題型三　幾何體中的有關最值問題 有關旋轉體中某兩點表面上的長度最小問題，一般是利用展開圖中兩點的直線距離最小來求解；有關面積和體積的最值問題，往往把面積或體積表示為某一變量的二次函數的形式，然后利用二次函數的知識求最值． 例3　如圖，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點處有一只螞蟻，它要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？ 答: 跟蹤訓練3 有一根長為3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度． 答: 【課堂小結】 研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉化成平面幾何問題來解決． 另外，圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉化為平面問題來解決 第二章 點 直線 平面之間的位置關系 2.1.1　平　面 目標 1.掌握平面的表示法，點、直線與平面的關系； 2.掌握有關平面的三個公理； 3.會用符號表示圖形中點、直線、平面之間的關系． 【知識梳理】 1．平面的概念 (1)幾何里的平面是從呈平面形的物體中抽象出來的． (2)幾何里的平面是 的． 2．平面的畫法 (1)通常把水平的平面畫成一個 ，并且其銳角畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的 倍． (2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用 畫出來． 3．點、直線、平面的位置關系的符號表示 A是點，l，m是直線，α，β是平面. 文字語言 符號語言 圖形語言 A在l上 A在l外 A在α內 A在α外 l在α內 l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l 4.平面的基本性質 公理 文字語言 圖形語言 符號語言 公理1 如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α? 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線?存在惟一的平面α使A，B，C∈α 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的 P∈α且P∈β? ，且 思考探究 [情境導學]　在《西游記》中，如來佛祖對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”．結果孫悟空真沒有跑出如來佛祖的手掌心，如果把孫悟空看作是一個點，他的運動成為一條線，大家說如來佛祖的手掌像什么？ 探究點一　平面的概念 思考1　觀察長方體，你能發(fā)現長方體的頂點，棱所在的直線，以及側面、底面之間的位置關系嗎？ 答　 思考2　生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？那么，平面的含義是什么呢？ 答　 思考3　如何用字母表示平面，如何表示點在平面內或點不在平面內？ 答　 例1　下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是(　　) 跟蹤訓練1　下列命題： (1)書桌面是平面；(2)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；(3)有一個平面的長是50 m，寬是20 m；(4)平面是絕對的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數學概念．其中正確命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 探究點二　平面的基本性質 導引　如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？如果直線l與平面α有兩個公共點，直線l是否在平面α內？ 思考1　實際生活中，我們有這樣的經驗：把一根直尺邊緣上的任意兩點放到桌面上，可以看到， 直尺的整個邊緣就落在了桌面上．從經驗中我們能得到什么結論呢？