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63 目 錄 第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 ……………………… 1、配方法 ……………………………………… 2、換元法 ……………………………………… 3、待定系數(shù)法 ………………………………… 4、定義法 ……………………………………… 5、數(shù)學(xué)歸納法 …………………………… 6、參數(shù)法 …………………………………… 7、反證法 …………………………………… 8、消去法 ……………………………………… 9、分析與綜合法 ……………………………… 10、特殊與一般法 ……………………………… 11、類比與歸納法 ………………………… 12、觀察與實驗法 ………………………… 第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 …………………… 1、數(shù)形結(jié)合思想 ……………………………… 2、分類討論思想 ……………………………… 3、函數(shù)與方程思想 …………………………… 4、轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ………………………… 第三章 高考熱點問題和解題策略 ………………… 1、探索性問題 ………………………………… 2、選擇題解答策略 …………………………… 3、填空題解答策略 ……………………… 前 言 美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。 高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： ① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； ② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； ③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； ④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。 數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得。 可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。 為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。 在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。 第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 一、 配方法 配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。 最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如： a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝… 結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 在正項等比數(shù)列{a}中，asa+2asa+a?a=25，則 a＋a＝_______。 2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. 1 C. k∈R D. k＝或k＝1 3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。 A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3) 【簡解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。 4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，求實數(shù)k的取值范圍。 【解】方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。 又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2 綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。 【注】 關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時，可以恰當(dāng)運用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。 A. 8 B. C. D.最小值不存在 2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。 A. － B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。 A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 4. 化簡：2＋的結(jié)果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 5. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。 6. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題) 7. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（m0； ② 是否存在一個實數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。 8. 設(shè)s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs), ① 將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域； ② 若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。 二、換元法 解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。 換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。 三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。 均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。 我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.設(shè)f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），則f(x)的值域是_______________。 3.已知數(shù)列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項a＝___________。 4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________。 【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋； 2小題：設(shè)x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域為(－∞,log4]； 3小題：已知變形為－＝－1,設(shè)b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－； 4小題：設(shè)x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小題：設(shè)3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1； 6小題：設(shè)log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－20，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。 【解】 設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,] t＝-時，取最小值：－2a－2a－ 當(dāng)2a≥時，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ； 當(dāng)0<2a≤時，t＝2a，取最大值： 。 ∴ f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為。 【注】 此題屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。 一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。 例4. 設(shè)對所于有實數(shù)x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理） 【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。 【解】 設(shè)log＝t，則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t， 代入后原不等式簡化為（3－t）x＋2tx－2t>0，它對一切實數(shù)x恒成立，所以： ，解得 ∴ t<0即log<0 0<<1，解得00恒成立，求k的范圍。 【分析】由已知條件＋＝1，可以發(fā)現(xiàn)它與a＋b＝1有相似之處，于是實施三角換元。 【解】由＋＝1，設(shè)＝cosθ，＝sinθ， 即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5時不等式恒成立。 【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x x＋y－k>0 k 平面區(qū)域 本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x＋y－k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時原不等式恒成立。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，則f(4)的值為_____。 A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 2. 函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的公差d＝，且S＝145，則a＋a＋a＋……＋a的值為_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，則x＋y的范圍是_________________。 5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則＋的范圍是____________。 6. 不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。 7. 函數(shù)y＝2x＋的值域是________________。 8. 在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。 y D C A B O x 9. 實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。 10. 已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線x＋y＝2 (x>0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法 要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。 待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。 使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式； 第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。 如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： ① 利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程； ② 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； ③ 利用定義本身的屬性列方程； ④ 利用幾何條件列方程。 比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 設(shè)f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。 A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 函數(shù)y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。 【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C； 2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D； 3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D； Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式。 【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。 【解】 函數(shù)式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根， 代入兩根得： 解得：或 ∴ y＝或者y＝ 此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。 【注】 在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。 例2. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？ 【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。 【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。 ∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。 設(shè)V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則 解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。 所以當(dāng)x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。 【注】均值不等式應(yīng)用時要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。 A. 2>a>且a≠1 B. 02或00得：0， x+x> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1 ∴ f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) ∵ <1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。 Ⅲ、鞏固性題組： 1． 函數(shù)y＝f(x)＝a＋k的圖像過點(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(4,0)，則f(x)的表達(dá)式是___。 2. 已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則下列關(guān)系正確的是_____。 A. AB B. AB C. A∈B D. AB 3. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。 A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇既偶函數(shù) 4.不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，則不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。 5.已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)列也是等差數(shù)列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。 五、數(shù)學(xué)歸納法 歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。 運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)是_____。 A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1 3. 某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k (k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考) A.當(dāng)n＝6時該命題不成立 B.當(dāng)n＝6時該命題成立 C.當(dāng)n＝4時該命題不成立 D.當(dāng)n＝4時該命題成立 4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當(dāng)n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_____。 A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時對于式子3＋5應(yīng)變形為_______________________。 6. 設(shè)k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________。 【簡解】1小題：n＝k時，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B； 2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C； 3小題：原命題與逆否命題等價，若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。 4小題：計算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選B； 5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）； 6小題：答案k－1。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 （93年全國理） 【解】 計算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜測S＝ (n∈N)。 當(dāng)n＝1時，等式顯然成立； 假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即：S＝， 當(dāng)n＝k＋1時，S＝S＋ ＝＋ ＝ ＝＝, 由此可知，當(dāng)n＝k＋1時等式也成立。 綜上所述，等式對任何n∈N都成立。 【注】 把要證的等式S＝作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 → 猜想 → 證明。 【另解】 用裂項相消法求和： 由a＝＝－得， S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－ ＝。 此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發(fā)現(xiàn)＝－的裂項公式?？梢哉f，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。 例2. 設(shè)a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， (k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)， 所以(k＋1)(k＋2) n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由n (n>1且n∈N) 六、參數(shù)法 參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。 辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支。運用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。 參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 設(shè)2＝3＝5>1，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。 2. （理）直線上與點A(-2,3)的距離等于的點的坐標(biāo)是________。 （文）若k<－1，則圓錐曲線x－ky＝1的離心率是_________。 3. 點Z的虛軸上移動，則復(fù)數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復(fù)平面上對應(yīng)的軌跡圖像為____________________。 4. 三棱錐的三個側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。 5. 設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，則f(x)的R上是______函數(shù)。(填“增”或“減”) 6. 橢圓＋＝1上的點到直線x＋2y－＝0的最大距離是_____。 A. 3 B. C. D. 2 【簡解】1小題：設(shè)2＝3＝5＝t，分別取2、3、5為底的對數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y<2x<5z； 2小題：（理）A(-2,3)為t＝0時，所求點為t＝±時，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a＝1，c＝，所以e＝－； 3小題：設(shè)z＝bｉ，則C＝1－b＋2ｉ，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線； 4小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,體積為4。 5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減； 6小題：設(shè)x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。 【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。 【解】由a＋b＋c＝1，設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0， ∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥ 所以a＋b＋c的最小值是。 【注】由“均值換元法”引入了三個參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡化，是本題此種解法的一個技巧。 本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進(jìn)行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。 兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。 S E D C O F A B 例2.已知正四棱錐S—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=-cosβ。 【分析】要證明cosα=-cosβ，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解。 【解】連AC、BD交于O，連SO；取BC中點F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。 設(shè)BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝, SC＝＝ ＝ 又 ∵BE＝＝＝ 在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。 所以cosα＝－cosβ。 【注】 設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。 2. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實數(shù)a的取值范圍。 七、反證法 與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。實施的具體步驟是： 第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾； 第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。 在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦?