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1、推理與證明第二章 ., ., , ,, ,,. , 證明過程更離不開推理數(shù)學(xué)中 在其中都包含了推理活動(dòng)題的真?zhèn)蔚鹊?數(shù)學(xué)家論證命代考古學(xué)家推斷遺址的年 能狀態(tài)氣象專家預(yù)測(cè)天氣的可偵破案件 警察醫(yī)生診斷病人的病癥例如樣的推理 那人們常常需要進(jìn)行這樣在日常生活中 ,; . 論演繹推理則具有證明結(jié)和方向的作用 解決問題的思路提供現(xiàn)新結(jié)論、探索和 合情推理具有猜測(cè)和發(fā)推理和演繹推理 合情本的推理本章我們將學(xué)習(xí)兩種基 . , , ,,) () ( . , . , 理、論證有據(jù)的習(xí)慣 養(yǎng)成言之有作用數(shù)學(xué)以及日常生活中的 感受邏輯證明在解數(shù)學(xué)證明的基本方法 了特點(diǎn)從中體會(huì)證明的功能和反證法 如證明的方法和間

2、接法、數(shù)學(xué)歸納法 合、綜如分析法明的方法接證直法 的兩類基本方同時(shí)我們還要學(xué)習(xí)證明段 本手學(xué)結(jié)論的基成為獲得數(shù)相輔相成 因此它們聯(lián)系緊密、中的基本推理方法 是公理體系作用整理和建構(gòu)知識(shí)體系的 合情推理與演義推理 . . , 理和演繹推理 合情推中經(jīng)常使用的兩種推理 學(xué)研究紹人們?cè)谌粘；顒?dòng)和科介 本節(jié)將程一個(gè)新的判斷的思維過 確定個(gè)已知的判斷來據(jù)一個(gè)或幾 是根過程推理是人們思維活動(dòng)的 合情推理1.1.2 . ? . , . )F e r m a t()G o l d b a ch( , 赫提出猜想的過程 下面看一下哥德巴嗎學(xué)猜想是怎樣提出來的 你知道這些數(shù)生心血的人甚至為之耗費(fèi)了畢 有和數(shù)學(xué)愛

3、好者學(xué)家的證明吸引了大批的數(shù) 某些猜想等、歌尼斯堡七橋猜想等四色猜想 猜想、地圖的猜想、費(fèi)馬 如著名的哥德巴赫想數(shù)學(xué)中有各種各樣的猜 .171330,17320,7310 : ,301713,20173,1073 : 寫成他有意把上面的式子改 察到據(jù)說哥德巴赫無意中觀 . : 奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù) 律其中反映出這樣一個(gè)規(guī) ?, 30,20,10: 類似的規(guī)律呢那么其他偶數(shù)是否也有數(shù) 都是偶個(gè)想法于是哥德巴赫產(chǎn)生了一 ,8631391002,97129 1000,11516,7714,7512,55 10,538:6,336 ,6, 的偶數(shù)再看看超過 即之和的偶數(shù)是第一個(gè)等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)顯

4、然 ?, 你能提出一個(gè)猜想嗎繼續(xù)上述過程 ., ,? .6 :, 而且取得了很好的進(jìn)展證明這個(gè)猜想 努力許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都在多少年來確的嗎 這是正數(shù)的和的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)不小于 任何一個(gè)哥德巴赫大膽地猜想根據(jù)上述過程 . 6, ., ,: , 兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和 的偶數(shù)都等于任何一個(gè)不小于提出猜想是 于而且沒有出現(xiàn)反例和以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之 他發(fā)現(xiàn)它們總可的驗(yàn)證通過對(duì)一些偶數(shù)過程 赫提出猜想的推理我們來考察一下哥德巴現(xiàn)在 . ,. ,, , 一般的推理部分到整體、由個(gè)別到 歸納推理是由簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)稱歸納為 稱一般結(jié)論的推理或者由個(gè)別事實(shí)概括出論 些特征的推這事物的全部對(duì)象都具有出該類 推對(duì)象具有

5、某些特征這種由某類事物的部分 歸納推理 . ,, ,. 180 ,180 ; ,, 0 0 是歸納推理 這也從而對(duì)整體作出推斷試驗(yàn)以取得信息 取一部分進(jìn)行觀測(cè)或所研究的對(duì)象全體中抽 我們總是從在統(tǒng)計(jì)學(xué)中這些都是歸納推理 是所有三角形的內(nèi)角和都?xì)w納出 形的內(nèi)角和都是等腰三角形、等邊三角 由直角三角形、一切金屬都能導(dǎo)電歸納出 屬能導(dǎo)電金等由銅、鐵、鋁、金、銀例如 . ., 子下面是一個(gè)數(shù)學(xué)中的例 獲得新結(jié)論新事實(shí)應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn) .,,2,1n a1 a a,1a1a1 n n 1n1n 項(xiàng)公式試歸納出這個(gè)數(shù)列的通 且項(xiàng)的第已知數(shù)列例 ., ,.a na n n 算出數(shù)列

6、的前幾項(xiàng)的遞推公式 我們先根據(jù)已知為此與序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系項(xiàng) 的第是數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的分析 ;1a,1n 1 時(shí)當(dāng)解 ; 3 1 2 1 1 2 1 a,3n 3 時(shí)當(dāng) ;2111 1a,2n 2 時(shí)當(dāng) . 4 1 3 1 1 3 1 a,4n 4 時(shí)當(dāng) . n 1 a,. 4, n 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由此猜想數(shù) 項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)列的前觀察可得 . , . ,1 一種方向 提供們的研究想可以為我 但這個(gè)猜有待嚴(yán)格的證明 猜想是否正確還雖然猜想 一個(gè)了關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的 我們通過歸納得到中在例 . ,, ;, ;, ,. ,, 類比生物機(jī)制得到的 初構(gòu)想都是仿生學(xué)中

7、許多發(fā)明的最事實(shí)上等 等發(fā)明了潛水艇原理外形和它在水中的沉浮 人們仿照魚類發(fā)明了鋸的草葉和蝗蟲的牙齒 類比帶齒據(jù)說我國(guó)古代工匠魯班例如用類比 還常常應(yīng)中在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動(dòng)除了歸納 .: ,., , ,, , , ,, 在火星上也可能有性命存科學(xué)家猜想 由此等等生物的生存度適合地球上某些已知 的溫而且火星上大部分時(shí)間也有季節(jié)的變更 在一年中也有大氣層運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星 如火星也是圍繞太陽一些與地球類似的特征 發(fā)現(xiàn)火星具有作類比科學(xué)家們把火星與地球 這個(gè)問題火星上是否有性命為了回答又如 ?推理過程是怎樣的科學(xué)家做出上述猜想的思考 .,)( , , 個(gè)特征猜測(cè)火星也可能具有這出發(fā)有性命存在 特征

8、然后從地球的一個(gè)已知之間的某些相似特征 球科學(xué)家對(duì)比了火星與地在提出上述猜想過程中 ., , ,, ).12( ,, ,., ,. 球也可能具有測(cè)對(duì)于圓的特征 因此我們推的點(diǎn)的集合到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng) 都是即具有完美的對(duì)稱性念上都有類似的地方 由球與圓在形狀上和概表了圓的一些性質(zhì) 發(fā)現(xiàn)定義了圓的一些概念有了比較充分的研究 我們已經(jīng)對(duì)于圓我們會(huì)自然地聯(lián)想到圓球體時(shí) 在研究例如這樣的推理數(shù)學(xué)研究中也常常進(jìn)行 ; ,, ,; , ,, 半徑到球心的距離等于球的 該點(diǎn)與球交于一點(diǎn)這樣的平面 我們推測(cè)可能存在對(duì)于球半徑 圓的切點(diǎn)到圓心的距離等于點(diǎn) 切線與圓交于一圓有切線例如 .; ,3 等等點(diǎn)確

9、定一個(gè)球想空間中不共面的四個(gè) 由此猜個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓平面內(nèi)不共線的 . , 的切平面 即球在的 平面是存 道這樣的 已經(jīng)知 ., 12, 并說說推理的過程特征 中球的相關(guān)填寫表類比圓的特征探究 12 表 圓的概念和性質(zhì) 球的類似概念和性質(zhì) 圓的周長(zhǎng) 圓的面積 .點(diǎn)的連線垂直于弦 中非直徑圓心與弦 . , ; 距圓心較近的弦較長(zhǎng) 不等與圓心距離不等的兩弦 相等與圓心距離相等的兩弦 .ryy xx r,y,x 22 0 2 0 00 徑的圓的方程為 為半為圓心以點(diǎn) . ,1n ,n.n 5、4 , 得啟發(fā)和聯(lián)想 從中獲維球的情形類比 總可以維球時(shí)研究維球至 維球直維球定義

10、并且研究 我們還可以根據(jù)同樣的思路 . ,. , 推理 殊的類比推理是由特殊到特 簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)稱類比 稱為也具有這些特征的推理 推出另一類對(duì)象些已知特征 的某似特征和其中一類對(duì)象 些類這種由兩類對(duì)象具有某 類比推理 . , , :)1630 1571,p le r Ke( 界的秘密 能揭示自然 它賴的老師 是我最可信 它別的東西 比勝過任何 我珍惜類 說 開普勒 ., ,, . , :P ol y a ,. , , 等等與相等的類比 不等無限與有限的類比量與數(shù)的類比 數(shù)學(xué)中還有向平面幾何中的類比問題 有賴于求解立體幾何問題往往引路人 類比是一個(gè)偉大的曾指出利亞 數(shù)學(xué)家波例如出新問題

11、和作出新發(fā)現(xiàn) 通過類比而提和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā) 問題我們可以由已知解決的在數(shù)學(xué)中 . ,2 運(yùn)算性質(zhì) 列出它們相似的類比實(shí)數(shù)的加法和乘法例 .4 . 10,, , 算個(gè)方面來類比這兩種運(yùn)從上述 因此我們可以特殊的地位別在加法和乘法中占有 分而且都存在逆運(yùn)算都滿足一定的運(yùn)算律 由兩個(gè)數(shù)參與運(yùn)算實(shí)數(shù)的加法和乘法都是分析 . ,1 數(shù)得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí) 所或乘法運(yùn)算后兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過加法運(yùn)算解 bcacabcbacba baababba , ,2 即律和結(jié)合律 加法和乘法都滿足交換從運(yùn)算律的角度考慮 a 1 xax 0a1ax0 xa ,, ,,3 都有唯一解 這

12、就使得方程乘法的逆運(yùn)算是除法運(yùn)算是減法 加法的逆二者都有逆運(yùn)算從逆運(yùn)算角度考慮 a1aa0a , 1,01 ;0,4 即等于原來的數(shù) 的積都即任意實(shí)數(shù)與類似與加法中的法中的 乘相加都不改變大小任意實(shí)數(shù)與在加法中 . ,G a l o i s .4 這種運(yùn)算性質(zhì)的集合 用來表示具有群的概念提出了數(shù)學(xué)家伽羅瓦 法國(guó)天才的條運(yùn)算性質(zhì)有這數(shù)學(xué)中還有許多集合具 . , , , ,,, 證明這些猜想的思路 以及獲得四面體性質(zhì)的猜想象的性質(zhì) 通過類比這個(gè)對(duì)找一個(gè)研究過的對(duì)象 我們可在平面幾何中尋四面體的性質(zhì) 為了研究在立體幾何中例如比對(duì)象 尋找合適的類運(yùn)用類比推理常常先要 ?對(duì)象可以作為四面體的類

13、比 一類圖形你認(rèn)為平面幾何中的哪探究 . ,. )( ,3, ,;) (,4 ,,. , .、、 , 四面體的類比對(duì)象 我們可以把三角形作為從這個(gè)角度看的封閉圖形 圍成直線最少的基本元素三角形是平面內(nèi)由數(shù)目 即角形條直線可以圍成一個(gè)三而一個(gè)封閉的圖形 兩條直線不能圍成在平面內(nèi)圍成的封閉幾何體面 平的基本元素它是空間中由數(shù)目最少個(gè)面圍成 四面體由目看從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)例如對(duì)象 選擇適當(dāng)?shù)念惐阮}的需要本原則是要根據(jù)當(dāng)前問 基度量等位置關(guān)系目四面體的幾何元素的數(shù) 如圍成出發(fā)確定類比對(duì)象我們可以從不同的角度 . ,, 想的例子得到立體圖形性質(zhì)的猜 比平面的幾何中的結(jié)論我們就來看一個(gè)通過類下面 . ,

14、3 空間四面體性質(zhì)的猜想 試給出的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形例 A B C a b c 1 D E F P 1S 3S 2S 2 11.2 圖 . ,3 , 對(duì)象作為直角三角形的類比 個(gè)面兩兩垂直的四面體取有 所以我們可以選兩條邊垂直 角三角形的到直考慮析分 ;D E FP, ABCRt,11.2 是四面體相對(duì)應(yīng) 與所示如圖 ;3 3A B C P, 1A B CRt 個(gè)直二面角構(gòu)成 個(gè)面在一個(gè)頂點(diǎn)處的 是四面體直角相對(duì)應(yīng)的 個(gè)的兩條邊交成與 A B C a b c 1 D E F P 1S 3S 2S 2 11.2 圖 ;SS,S D P E,F P D,D E F D E FP,

15、b,aR t A B C 321 和面積 的和的面 是四面體相對(duì)應(yīng)的 的直角邊邊長(zhǎng)與 .SP E F D E FP, cR t A B C 的面積 的面是四面體應(yīng)的 相對(duì)的斜邊邊長(zhǎng)與 .D E FP , R t A B C, 四個(gè)面的面積的關(guān)系 猜想出四面體中的勾股定理 我們可以類比由此 .bac ,,A B CRt, ,11.2 222 得由勾股定中在道 我們知所示如圖解 A B C a b c 1 D E F P 1S 3S 2S 2 11.2 圖 .SSSS ,D E FP, , 2 3 2 2 2 1 2 成立們猜想 我中在四面體定理 類比直角三角形的勾股于是 . ? 學(xué)

16、們自己證明 請(qǐng)同這個(gè)結(jié)論是正確的嗎 :理過程概括為我們把前面所進(jìn)行的推 題出發(fā) 從具體問 .)r e a so n i n gp la u si b le( , ,, , , 把他們統(tǒng)稱為 我們后提出猜想的推理 然再進(jìn)行歸納類比聯(lián)想 、經(jīng)過觀察、分析、比較 理都是根據(jù)已有的事實(shí) 歸納推理和類比推可見 合情推理 . , :)1 82 7 1 74 9,L ap lac e( 歸納和類比 是理的主要工具也 發(fā)現(xiàn)真使在數(shù)學(xué)里 即曾經(jīng)說過 斯 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉 比較、聯(lián)想 觀察、分析、 類比 歸納、 猜想 提出 . . ,; , ,. , 下面再來看一個(gè)例子 路和方向 明思理常常能為我們提供證合情推

17、 證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 們猜想合情推理常常能幫助我之前 得到一個(gè)新結(jié)論數(shù)學(xué)研究中的推理 合乎情理合情推理是指通俗地說 . ,. ,21.24 另一根針上 部移到把金屬片從一根針上全按下列規(guī)則干金屬片 上的若有三根針和套在一根針?biāo)救鐖D例 21.2 圖. .2 ;1 .1 金屬片上面 不能放在較小的 較大的金屬片 個(gè)金屬片 每次只能移動(dòng) ? ,31n: 移動(dòng)多少次 最少需要號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把試推測(cè) 12 3 .n, ,4,3,2,1 個(gè)金屬片所需的次數(shù)進(jìn)而歸納出移動(dòng)中的規(guī)律性 探究其個(gè)金屬片的情形入手我們從移動(dòng)分析 .1,13 ,3,1n 次共移動(dòng)了表示用符號(hào) 號(hào)針移到只需

18、把金屬片從一號(hào)針時(shí)當(dāng)解 : ,2, ,2n 順序是 移動(dòng)的中間針號(hào)針作為我們利用金屬片上面 片放在較小的為了避免將較大的金屬時(shí)當(dāng) ;2111 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從將第 ;3122 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從將第 ;3213 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從將第 .3,231312 次共移動(dòng)了用符號(hào)表示為 :,2n ,,3n 移動(dòng)的順序是的情形結(jié)為 則歸一個(gè)整體把上面兩個(gè)金屬片作為時(shí)當(dāng) ;211 號(hào)針號(hào)針移到把上面兩個(gè)金屬片從 ;3132 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把第 .323 號(hào)針號(hào)針移到把上面兩個(gè)金屬片從 .7,132321

19、133212 13.31 次共移動(dòng)了 用符號(hào)表示為都需要借助中間針和其中 : ,3,4n 順序是 移動(dòng)的個(gè)金屬片作為一個(gè)整體把上面時(shí)當(dāng) ;2131 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把上面 ;3142 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把第 .3233 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把上面 .15,23 1312233121231312 323112231312 次共移動(dòng)了 用符號(hào)表示為 .15,7,3,1 4,3,2,1, 構(gòu)成的數(shù)列 個(gè)金屬片所需次數(shù)我們得到依次移動(dòng)至此 .1215,127,123,121 :, 4321 下規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著

20、如觀察這個(gè)數(shù)列 .Nn12a a,a, 31n: n n nn 的通項(xiàng)公式為則數(shù)列次最少需要移動(dòng)針 號(hào)號(hào)針移到個(gè)金屬片從若把由此我們猜想 ? ,31n 數(shù)呢才能達(dá)到最少的移動(dòng)次 怎樣移動(dòng)號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從把探究 ;211n1 號(hào)針號(hào)針移到兩個(gè)金屬片從將上面 :, n.n ,4,3,2,1n 可分為下列三個(gè)步驟個(gè)金屬片時(shí) 當(dāng)移動(dòng)方法個(gè)金屬片都適用的移動(dòng)歸納出對(duì) 我們可以時(shí)的移動(dòng)方法通過探究上述 ;31n2 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從將第 .321n3 號(hào)針號(hào)針移到個(gè)金屬片從將上面 .n1n ,n 個(gè)金屬片的任務(wù)個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第 轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次個(gè)金屬片的任

21、務(wù)這樣就把移動(dòng) 個(gè)金移動(dòng)個(gè)金屬片片和移動(dòng)一次第 個(gè)金屬個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次而移動(dòng) 2n,1n 2n1n 可得遞推公式根據(jù)這個(gè)過程的情形 個(gè)金屬片直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)如此繼續(xù)個(gè)金屬片 個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第需要移動(dòng)兩次 ,. 1, 2nn 3 .1n1a2a ,1a 1nn 1 . , 正確的 是可以證明上述通項(xiàng)公式從這個(gè)遞推公式出發(fā) ., ,, 未必可靠猜想 僅僅是一種論由合情推理所獲得的結(jié)一般來說 波利亞 爭(zhēng)議的和暫時(shí)的合情推理是冒險(xiǎn)的、有 . . ,41770066412979672944 12F 5,E u l e r ,.. Nn12: ,53765 12,25712,1712,512 , 5 n 4321 2 5 2 2222 從而推翻了費(fèi)馬的猜想 不是質(zhì)數(shù) 個(gè)費(fèi)馬數(shù)第發(fā)現(xiàn)善于計(jì)算的歐拉 之后半個(gè)世紀(jì)這就是著名的費(fèi)馬猜想數(shù) 的數(shù)都是質(zhì)任何形如猜想 于是他用歸納推理提出都是質(zhì)數(shù) 法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到例如 .F, n記作通常稱為費(fèi)馬數(shù)