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1、1 . 矩陣的初步概念 與線性變換 矩陣概念的引入 線性變換與矩陣的關(guān)系 矩陣的乘法 2 一、矩陣概念的引入 幾個引例 （）考察三位同學(xué)上學(xué)期無機(jī)、高數(shù)兩門課程 的成績： 857867 927688無機(jī) 高數(shù) 甲 乙 丙 上面的數(shù)表完全刻畫了三位同學(xué)的考試情況 3 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 ,,,2,1, njia ij 系數(shù) n,,,ib i 21常數(shù)項 （）線性方程組 解的情況完全取決于

2、 nnnnn n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 對線性方程組的 研究可轉(zhuǎn)化為對 這張表的研究 . 線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項按原相對位置可排為 4 （）四種食品 (Food)在三家商店 (Shop)中 ,單位 量的售價 (以某種貨幣單位計 )可用以下數(shù)表給出 1915818 1913915 2111717 1F 2F 3F 4F 1S 2S 3S 在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和生活實踐中，許多對象都可 以采用上邊的數(shù)表形式表示，進(jìn)而進(jìn)行研究 5 矩陣的定義 mnmm n n aaa

3、aaa aaa A 21 22221 11211 記作 ),,2,1;,,2,1( njmianm ij 個數(shù)由 列的數(shù)表，行排成的 nm .列矩陣行稱為 nm .矩陣簡稱 nm 簡記為 .ijnmijnm aaAA 橫排稱行，縱排稱列； ija 稱為第 行第 列的 i j 元素 6 1915818 1913915 2111717 nnnnn n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 83 89 74 54 78 67 927688 例如： 是一個 矩陣； 是

4、一個 n (n+ )矩陣； 是一個 3矩陣； 7 一些特殊矩陣 : 實矩陣 : 元素都是實數(shù) . 復(fù)矩陣 : 有些元素是復(fù)數(shù) . 同型矩陣： 行數(shù)相同，列數(shù)相同的幾個矩陣 例如： 3469 5301 是一個 實矩陣 , 42 222 222 2613 i 是一個 復(fù)矩陣 , 33 93 48 314 73 65 21 與 為 同型矩陣 . 8 n階（級）矩陣： 行矩陣（向量）： n矩陣 列矩陣（向量）： n 矩陣 n n矩陣，記作 nA 零矩陣： 元素全為的矩陣，記作 nmO 或 O

5、 83 89 74 54 78 67 927688 是一個三階方（矩）陣； ,,,, 21 naaaA , 2 1 n a a a B 注意： .0000 0000 0000 0000 0000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的 . 例如： 9 對角矩陣： 除主對角線上有非零元素外，其余的非 主對角線上的元素都是的方陣 數(shù)量矩陣： 主對角線上元素都相等的對角矩陣 n n a a a aaad i a gA 2 1 21 ),,( nn k k k 10 單位

6、矩陣： 主對角線上元素全為的對角矩陣 對稱矩陣： jiij aa 的方陣 反對稱矩陣： jiij aa 的方陣 nn nE 1 1 1 記作或 . 601 086 1612 為對稱陣?yán)? A 058 502 820 注意： 反對稱矩陣的對角 線上的元素一定是 11 相等矩陣： 兩個 同型矩陣 的對應(yīng)行對應(yīng)列的元素相等 例 設(shè) , 1 31, 213 321 zy xBA .,,, zyxBA 求已知 解 ,BA .2,3,2 zyx 行列式與矩陣的區(qū)別 : 1. 一個是算式 ，一個

7、是數(shù)表 2. 一個行、列數(shù)相同 , 一個行、列數(shù)可不同 . 3. 對 n 階方陣可求它的行列式 .記為 : A 12 二、線性變換及其矩陣 定義 n個變量 nxxx ,,, 21 與 m個變量 myyy ,,, 21 之間的關(guān)系 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 的到變量表示一個從變量 mn yyyxxx ,,,,,, 2121 線性變換 . .為常數(shù)其中 ija 一般來說 , mn 13 對線性變換來說，與矩陣有密切的關(guān)系 . , ,

8、 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間是相互唯一確定的 稱之為線性 變換的矩陣 14 這樣對線性變換的討論就可轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)矩陣的討論 下面我們看幾個簡單的卻是重要的線性變換 （） c o ss i n s i nc o s yxy yxx 表示平面上繞坐標(biāo)原 點的一個旋轉(zhuǎn)變換 O x y ),( yxP ),( yxP ),( 111 y

9、xP yy xx 1 1 c o ss i n s i nc o s 是變換 的矩陣 表示關(guān)于 x軸的反射（反映） ),( 222 yxP yy xx 2 2 表示關(guān)于原點的中心反射（反映） 15 （） zz yxy yxx c o ss i n s i nc o s x O y z ),,( zyxP ),,( zyxP 表示空間一點繞 z軸的 一個旋轉(zhuǎn)變換 zz yy xx 是關(guān)于 xoy面的 (鏡面 )反射變換 zz yy xx 是關(guān)于 ox軸的反映 . 自己寫出這些變換的

10、矩陣 . 16 關(guān)于線性變換的進(jìn)一步的話題 : 新變量與舊變量的個數(shù)相同時的線性變換是我們用的 最多的 ,比如剛才的幾個例子 .一般 n個變量的線性變換 的形式為 . , , 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 其矩陣為 n階方陣 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 以這些元素為元素的行列式稱為變換的行列式 . 17 如果變換的行列式 ,0A 稱相應(yīng)的線性變換是非奇異 的 ,或非退化的 ,或是一一變換 .

11、 否則就是奇異的或退化的 . 如果線性變換的矩陣是單位矩陣 ,則稱為恒等變換 . 你能寫出 n個變量的恒等變換的表達(dá)式嗎 ? 下面談?wù)勥B續(xù)施行兩個變換的問題 假如對空間的任意點 ),,( zyxP 先繞 z軸旋轉(zhuǎn)角度 , 變?yōu)辄c ),,,( zyxP 再作對 xoy面的鏡面反射 (反映 )， 變?yōu)辄c ),,,( zyxP 則 ),,( zyxP ),,( zyxP ),,( zyxP ),,,( zyx我們要求的是 ),,( zyx 間的關(guān)系 18 繞 z軸的旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式 zz yxy yxx c o ss i n s i nc o s

12、 100 0c o ss i n 0s i nc o s :),( zR ),,( zyxP ),,( zyxP 的反映可表為 zz yy xx :xy 100 010 001 把前一式代入后一式，得 zz yxy yxx c o ss i n s i nc o s 100 0c o ss i n 0s i nc o s 19 100 0c o ss i n 0s i nc o s 100 010 001

13、 100 0c o ss i n 0s i nc o s 其中 可由下列方法得到： 00s i n0c o s1c o s 00c o s0)s i n(1s i n 1000010 00c o s1)s i n(0c o s 1)1(00001 20 一般地， 的線性變換為 nxxx ,,, 21 myyy ,,, 21 到 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay pzzz ,,, 21 myyy ,,, 21 到 的線性變換為

14、 mpmppp mm mm ybybybz ybybybz ybybybz 2211 22221212 12121111 把第一個式子中的變量 y代入第二個式子，得到的是 變量 x與 z的關(guān)系，具有形式 :1T :2T A B 21 npnppp nn nn xcxcxcz xcxcxcz xcxcxcz 2211 22221212 12121111 :T 變換 是連續(xù)施行變換 和 的結(jié)果，稱為 T 1T 2T ,1T 2T 的乘積，記作 12TTT 其中 mjkmjkjkkj abababc 2211 （注意書寫順序?。。。? 即矩陣 C的第

15、k行第 j列的元素等于矩陣 B的第 k 行與矩陣 A的第 j列的對應(yīng)元素的乘積之和 C 對應(yīng)于線性變換的乘積，我們把矩陣稱為矩陣 與矩陣的乘積，記作 22 例 如 100 0c o ss i n 0s i nc o s 100 010 001 100 0c o ss i n 0s i nc o s 例 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 8 16 4150 0311 2101 A 121 113 121

16、 430 B 例 ? 求 AB 23 解 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 5 6 7 10 2 6 2 17 10 注意 :只有當(dāng) 第一個矩陣的列數(shù) 等于 第二個矩陣的 行數(shù) 時，兩個矩陣才能相乘 . 一個 p m矩陣與一個 m n矩陣的乘積是 一個 p n矩陣 24 1 2 3 321 132231 .10 106 861 985 123 321 例如 是不能相乘的 而 一階 矩陣

17、 )321( 1 2 3 321 642 963 此例說明矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地 !!!BAAB 例 )10( 25 矩陣乘法滿足的運算規(guī)律： ; 1 BC A C AB 結(jié)合律 , :2 ACABCBA 分配律 ;CABAACB BABAAB 3 （其中 為數(shù)） ; ;4 AEAAE 矩陣乘法不滿足交換律 ,BAAB 即：特別 注意： 矩陣乘法不滿足消去律，即 CBAACAB 0, 不能推出 0 0 0 BAAB 或不能推出 26 若 A是 n 階方陣， 則 為

18、A的 次冪，即 kA k 個k k AAAA ,kmkm AAA .mkkm AA 為正整數(shù)km , 方陣 的冪： 并且 , 時當(dāng) BAAB .BAAB kkk 11 11A 11 11B ,00 00 AB ,22 22 C例如： ,00 00 AC有 CB 但是 ACAB 同時 OBOA , 27 思考： ?))(( BABA ?)( 2 BA 在什么條件下，有下列式子成立？ 22))(( BABABA 222 2)( BABABA 28 線性變換的矩陣表示 對于線性變換 . , , 2211 2

19、2221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay A 如果令 m y y y y 2 1 n x x x x 2 1 則線性變換 可表為 Axy 兩個線性變換 ,Axy Byz 的乘積就可表示為 B A xz 多么簡潔??！ 29 例 求變換 323 312 211 1 2 2 3 : xxy xxy xxy T 312 3211 2 2 35: yyz yyyzT 的乘積 解 變換 21,TT 的矩陣分別為

20、 210 102 031 A 102 315B 252 5183BA 3212 3211 252 5183 xxxz xxxz .12TT .12TT 30 最后我們給出 n階方陣的行列式的定理結(jié)束本節(jié) 定理 兩個 n階方陣的乘積的行列式等于 這兩個方陣的行列式的乘積 即 BAAB 方 陣 例 311 021 211 A 511 321 011 B AB 311 021 211 511 321 011 1863 633 1352 易知 ,3A ,15B 45AB 故 BAAB 31 剛才我們已經(jīng)知道，對兩個 n階方陣來說 BAAB 那么，請問 |||| BAAB 嗎？