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2016-2017學年河北省秦皇島市撫寧學區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷 　 一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．a(chǎn)x2+bx+c=0 2．如圖，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD的長為（　?。? A． B．8 C．10 D．16 3．已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB和CD的距離為（　?。? A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 4．糧倉頂部是圓錐形，這個圓錐的底面直徑為4m，母線長為3m，為防雨需在倉頂部鋪上油氈，這塊油氈面積是（　?。? A．6m2 B．6πm2 C．12m2 D．12πm2 5．若反比例函數(shù)y=（2m﹣1）的圖象在第二，四象限，則m的值是（　?。? A．﹣1或1 B．小于的任意實數(shù) C．﹣1 D．不能確定 6．在李詠主持的“幸運52”欄目中，曾有一種競猜游戲，游戲規(guī)則是：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明了一定的獎金，其余商標牌的背面是一張“哭臉”，若翻到“哭臉”就不獲獎，參與這個游戲的觀眾有三次翻牌的機會，且翻過的牌不能再翻．有一位觀眾已翻牌兩次，一次獲獎，一次不獲獎，那么這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是（　?。? A． B． C． D． 7．拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　?。? A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2 8．如圖，鐵路道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m．當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高（桿的寬度忽略不計）（　?。? A．4m B．6m C．8m D．12m 9．已知反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則關于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情況是（　?。? A．有兩個正根 B．有兩個負根 C．有一個正根一個負根 D．沒有實數(shù)根 10．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，則AC的長為（　?。? A．1 B． C．3 D． 11．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則△PCD的周長為（　?。? A．5 B．7 C．8 D．10 12．如圖，兩個半徑都是4cm的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A這8段路徑上不斷爬行，直到行走2006πcm后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（　?。? A．D點 B．E點 C．F點 D．G點 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分） 13．某農(nóng)戶2010年的年收入為4萬元，由于“惠農(nóng)政策”的落實，2012年年收入增加到5.8萬元．設每年的年增長率x相同，則可列出方程為　?。? 14．反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點M是圖象上一點MP垂直x軸于點P，如果△MOP的面積為1，那么k的值是　?。? 15．已知：如圖，矩形ABCD的長和寬分別為2和1，以D為圓心，AD為半徑作AE弧，再以AB的中點F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作BE弧，則陰影部分的面積為　?。? 16．如圖所示，⊙M與x軸相交于點A（2，0），B（8，0），與y軸相切于點C，則圓心M的坐標是　?。? 17．如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME=EF且EF∥MN，則cos∠E=　?。? 18．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=　　． 　 三、解答題（本大題共8個小題，共66分） 19．已知a是銳角，且sin（a+15°）=，計算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值． 20．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若一次函數(shù)y=x+1的圖象平移后經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點B（2，m），求平移后的一次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標． 21．某商場將進價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個． （1）為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，商場決定采取調(diào)控價格的措施，擴大銷售量，減少庫存，這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈多少個？ （2）如果商場要想每月的銷售利潤最多，這種臺燈的售價又將定為多少？這時應進臺燈多少個？ 22．甲轉(zhuǎn)盤的三個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字1、2、3，乙轉(zhuǎn)盤的四個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字4、5、6、7．現(xiàn)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，通過畫樹形圖或者列表法求指針所指數(shù)字之和為偶數(shù)的概率． 23．如圖，花叢中有一路燈桿AB．在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米．如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）． 24．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連結DE． （1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由； （2）若AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長． 25．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D． （1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標． （2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由． （3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學年河北省秦皇島市撫寧學區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　?。? A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．a(chǎn)x2+bx+c=0 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)是2次得整式方程，即可判斷答案． 【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義：A、是二元二次方程，故本選項錯誤； B、是分式方程，不是整式方程，故本選項錯誤； C、是一元二次方程，故本選項正確； D、當a b c是常數(shù)，a≠0時，方程才是一元二次方程，故本選項錯誤； 故選C． 　 2．如圖，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD的長為（　?。? A． B．8 C．10 D．16 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由DE：EA=2：3得DE：DA=2：5，根據(jù)EF∥AB，可證△DEF∽△DAB，已知EF=4，利用相似比可求AB，由平行四邊形的性質(zhì)CD=AB求解． 【解答】解：∵DE：EA=2：3， ∴DE：DA=2：5， 又∵EF∥AB， ∴△DEF∽△DAB， ∴=，即=，解得AB=10， 由平行四邊形的性質(zhì)，得CD=AB=10． 故選C． 　 3．已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB和CD的距離為（　?。? A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】本題要分類討論： （1）AB，CD在圓心的同側如圖（一）； （2）AB，CD在圓心的異側如圖（二）． 根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解． 【解答】解：（1）AB，CD在圓心的同側如圖（一），連接OD，OB，過O作AB的垂線交CD、AB于E，F(xiàn)， 根據(jù)垂徑定理得ED=CD=×16=8cm，F(xiàn)B=AB=×12=6cm， 在Rt△OED中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得OE===6（cm）， 在Rt△OFB中，OB=10cm，F(xiàn)B=6cm，則OF===8（cm）， AB和CD的距離是OF﹣OE=8﹣6=2（cm）； （2）AB，CD在圓心的異側如圖（二），連接OD，OB，過O作AB的垂線交CD、AB于E，F(xiàn)， 根據(jù)垂徑定理得ED=CD=×16=8cm，F(xiàn)B=AB=×12=6cm， 在Rt△OED中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得OE===6（cm）， 在Rt△OFB中，OB=10cm，F(xiàn)B=6cm，則OF===8（cm）， AB和CD的距離是OF+OE=6+8=14（cm）， AB和CD的距離是2cm或14cm． 故選C． 　 4．糧倉頂部是圓錐形，這個圓錐的底面直徑為4m，母線長為3m，為防雨需在倉頂部鋪上油氈，這塊油氈面積是（　?。? A．6m2 B．6πm2 C．12m2 D．12πm2 【考點】圓錐的計算． 【分析】圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2． 【解答】解：底面直徑為4m，則底面周長=4π，油氈面積=×4π×3=6πm2，故選B． 　 5．若反比例函數(shù)y=（2m﹣1）的圖象在第二，四象限，則m的值是（　?。? A．﹣1或1 B．小于的任意實數(shù) C．﹣1 D．不能確定 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出方程求解，再根據(jù)它的性質(zhì)決定解的取舍． 【解答】解：∵y=（2m﹣1）是反比例函數(shù)， ∴， 解之得m=±1． 又因為圖象在第二，四象限， 所以2m﹣1＜0， 解得m＜，即m的值是﹣1． 故選C． 　 6．在李詠主持的“幸運52”欄目中，曾有一種競猜游戲，游戲規(guī)則是：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明了一定的獎金，其余商標牌的背面是一張“哭臉”，若翻到“哭臉”就不獲獎，參與這個游戲的觀眾有三次翻牌的機會，且翻過的牌不能再翻．有一位觀眾已翻牌兩次，一次獲獎，一次不獲獎，那么這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是（　　） A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】只需找到第三次翻牌時的所有情況和獲獎的情況，即可求得概率． 【解答】解：根據(jù)題意，得 全部還有18個商標牌，其中還有4個中獎，所以第三次翻牌獲獎的概率是． 故選B． 　 7．拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得的拋物線為（　?。? A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】先得到拋物線y=3x2的頂點坐標為（0，0），然后分別確定每次平移后得頂點坐標，再根據(jù)頂點式寫出最后拋物線的解析式． 【解答】解：拋物線y=3x2的頂點坐標為（0，0），拋物線y=3x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位后頂點坐標為（3，2），此時解析式為y=3（x﹣3）2+2． 故選：D． 　 8．如圖，鐵路道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m．當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高（桿的寬度忽略不計）（　?。? A．4m B．6m C．8m D．12m 【考點】相似三角形的應用． 【分析】欄桿長短臂在升降過程中，將形成兩個相似三角形，利用對應變成比例解題． 【解答】解：設長臂端點升高x米， 則=， ∴解得：x=8． 故選；C． 　 9．已知反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則關于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情況是（　　） A．有兩個正根 B．有兩個負根 C．有一個正根一個負根 D．沒有實數(shù)根 【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式；反比例函數(shù)的圖象． 【分析】本題是對反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式以及根與系數(shù)的關系的綜合考查，可以根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷出ab的符號，從而得出解的個數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關系求出兩個根的符號關系． 【解答】解：因為反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y隨x的增大而增大， 所以ab＜0， 所以△=4﹣4ab＞0， 所以方程有兩個實數(shù)根， 再根據(jù)x1x2=＜0， 故方程有一個正根和一個負根． 故選C． 　 10．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，則AC的長為（　?。? A．1 B． C．3 D． 【考點】圓周角定理；解直角三角形． 【分析】由以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案． 【解答】解：∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B=， ∴=， ∴AC=． 故選：D． 　 11．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則△PCD的周長為（　?。? A．5 B．7 C．8 D．10 【考點】切線長定理． 【分析】由切線長定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周長=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周長． 【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線， ∴PA=PB， 同理可得：CA=CE，DE=DB． ∵△PCD的周長=PC+CE+ED+PD， ∴△PCD的周長=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA， ∴△PCD的周長=10， 故選D． 　 12．如圖，兩個半徑都是4cm的圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A這8段路徑上不斷爬行，直到行走2006πcm后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（　?。? A．D點 B．E點 C．F點 D．G點 【考點】相切兩圓的性質(zhì)． 【分析】螞蟻爬行這8段的距離正好是圓周長的2倍，故根據(jù)圓周長的計算公式，先計算圓的周長C，然后用2006π除以2C，根據(jù)余數(shù)判定停止在哪一個點． 【解答】解：C=π×8=8π， 2C=16π， 2006π=16π×125+6π， 所以停止在D點． 故選A． 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分） 13．某農(nóng)戶2010年的年收入為4萬元，由于“惠農(nóng)政策”的落實，2012年年收入增加到5.8萬元．設每年的年增長率x相同，則可列出方程為　4（1+x）2=5.8?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），參照本題，如果設每年的年增長率為x，根據(jù)“由2010年的年收入4萬元增加到2012年年收入5.8萬元”，即可得出方程． 【解答】解：設每年的年增長率為x，則2011年的年收入為4（1+x）萬元，2012年的年收入為4（1+x）2萬元， 根據(jù)題意得：4（1+x）2=5.8． 故答案為4（1+x）2=5.8． 　 14．反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點M是圖象上一點MP垂直x軸于點P，如果△MOP的面積為1，那么k的值是　2?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|． 【解答】解：由題意得：S△MOP=|k|=1，k=±2， 又因為函數(shù)圖象在一象限，所以k=2． 　 15．已知：如圖，矩形ABCD的長和寬分別為2和1，以D為圓心，AD為半徑作AE弧，再以AB的中點F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作BE弧，則陰影部分的面積為　1?。? 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意扇形DAE的面積與扇形FBE的面積相等，則陰影部分的面積等于矩形面積的一半． 【解答】解：∵AF=BF，AD=1，AB=2， ∴AD=BF=1， ∴扇形DAE的面積=扇形FBE的面積， ∴陰影部分的面積=1×1=1． 故答案為1． 　 16．如圖所示，⊙M與x軸相交于點A（2，0），B（8，0），與y軸相切于點C，則圓心M的坐標是　（5，4）　． 【考點】切線的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理． 【分析】連接AM，作MN⊥x軸于點N，則根據(jù)垂徑定理即可求得AN的長，從而球兒ON的長，即圓的半徑，然后在直角△AMN中，利用勾股定理即可求得MN的長，則M的坐標即可求出． 【解答】解：連接AM，作MN⊥x軸于點N．則AN=BN． ∵點A（2，0），B（8，0）， ∴OA=2，OB=8， ∴AB=OB﹣OA=6． ∴AN=BN=3． ∴ON=OA+AN=2+3=5，則M的橫坐標是5，圓的半徑是5． 在直角△AMN中，MN===4， 則M的縱坐標是4． 故M的坐標是（5，4）． 故答案是：（5，4）． 　 17．如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME=EF且EF∥MN，則cos∠E=　?。? 【考點】切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】連接OM，OM的反向延長線交EF于點C，由直線MN與⊙O相切于點M，根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥MN，而EF∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到MC⊥EF，于是根據(jù)垂徑定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易證得△MEF為等邊三角形，所以∠E=60°，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解． 【解答】解：連接OM，OM的反向延長線交EF于點C，如圖， ∵直線MN與⊙O相切于點M， ∴OM⊥MN， ∵EF∥MN， ∴MC⊥EF， ∴CE=CF， ∴ME=MF， 而ME=EF， ∴ME=EF=MF， ∴△MEF為等邊三角形， ∴∠E=60°， ∴cos∠E=cos60°=． 故答案為：． 　 18．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=　3?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠AB=AC，∠BAC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=90°，則△APP′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠AB=AC，∠BAC=90°， ∵△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合， ∴AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=90°， ∴△APP′為等腰直角三角形， ∴PP′=AP=3． 故答案為3． 　 三、解答題（本大題共8個小題，共66分） 19．已知a是銳角，且sin（a+15°）=，計算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡，根據(jù)實數(shù)運算法則即可計算出結果． 【解答】解：∵sin60°=， ∴α+15°=60°， ∴α=45°， ∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3． 　 20．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若一次函數(shù)y=x+1的圖象平移后經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點B（2，m），求平移后的一次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標． 【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式． 【分析】根據(jù)點，點B（2，m）都在反比例函數(shù)上可得到m的值．根據(jù)新函數(shù)是由平移得到的可得到新函數(shù)k的值，把點B的坐標代入即可求得新函數(shù)解析式，進而求得與x軸的交點坐標． 【解答】解：由于反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點， 則． 解得k=2， 故反比例函數(shù)為． 又∵點B（2，m）在的圖象上， ∴． ∴B（2，1）． 設由y=x+1的圖象平移后得到的函數(shù)解析式為y=x+b， 由題意知y=x+b的圖象經(jīng)過點B（2，1）， 則1=2+b． 解得b=﹣1． 故平移后的一次函數(shù)解析式為y=x﹣1． 令y=0，則0=x﹣1． 解得x=1． 故平移后的一次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（1，0）． 　 21．某商場將進價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個． （1）為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，商場決定采取調(diào)控價格的措施，擴大銷售量，減少庫存，這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈多少個？ （2）如果商場要想每月的銷售利潤最多，這種臺燈的售價又將定為多少？這時應進臺燈多少個？ 【考點】二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用． 【分析】（1）設售價為x元，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量列方程求解，結合“擴大銷售量，減少庫存”取舍后可得； （2）根據(jù)（1）中相等關系列出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式后即可得最值情況． 【解答】解：（1）設售價為x元， 根據(jù)題意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=1000， 解得：x=50或x=80， 因擴大銷售量，減少庫存， 所以x=80舍去， 當x=50時，600﹣10（x﹣40）=500， 答：這種臺燈的售價應定為50元，這時應進臺燈500個； （2）設每月的銷售利潤為y元，則 y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250， ∴當x=65時，y最大=12250， 此時600﹣10（x﹣40）=350個， 答：這種臺燈的售價定為65元時，應進臺燈350個． 　 22．甲轉(zhuǎn)盤的三個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字1、2、3，乙轉(zhuǎn)盤的四個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字4、5、6、7．現(xiàn)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，通過畫樹形圖或者列表法求指針所指數(shù)字之和為偶數(shù)的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，再找出指針所指數(shù)字之和為偶數(shù)的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解． 【解答】解：畫樹狀圖為： 共有12種等可能的結果數(shù)，其中指針所指數(shù)字之和為偶數(shù)的結果數(shù)為6， 所以指針所指數(shù)字之和為偶數(shù)的概率==． 　 23．如圖，花叢中有一路燈桿AB．在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米．如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）． 【考點】相似三角形的應用． 【分析】根據(jù)AB⊥BH，CD⊥BH，F(xiàn)G⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，則有=和=，而=，即=，從而求出BD的長，再代入前面任意一個等式中，即可求出AB． 【解答】解：根據(jù)題意得：AB⊥BH，CD⊥BH，F(xiàn)G⊥BH， 在Rt△ABE和Rt△CDE中， ∵AB⊥BH，CD⊥BH， ∴CD∥AB， 可證得： △CDE∽△ABE ∴①， 同理：②， 又CD=FG=1.7m， 由①、②可得： ， 即， 解之得：BD=7.5m， 將BD=7.5代入①得： AB=5.95m≈6.0m． 答：路燈桿AB的高度約為6.0m． （注：不取近似數(shù)的，與答一起合計扣1分） 　 24．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連結DE． （1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由； （2）若AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長． 【考點】切線的判定；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）DE與半圓O相切，理由為：連接OD，BD，由AB為半圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到一個角為直角，可得出三角形BDC為直角三角形，又E為斜邊BC的中點，利用中點的定義及斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到ED=EB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，根據(jù)∠EBO為直角，得到∠EBD與∠OBD和為90°，等量代換可得出∠ODE為直角，即DE與OD垂直，可得出DE為圓O的切線，得證； （2）利用因式分解法求出x2﹣10x+24=0的解，再根據(jù)AB大于AD，且AD和AB為方程的解，確定出AB及AD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的長，然后根據(jù)三角形相似即可求得BC的長． 【解答】（1）證明：DE與半圓O相切，理由為： 連接OD，BD，如圖所示： ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E為BC的中點， ∴DE=BE=BC， ∴∠EBD=∠EDB， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 又∵∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°， ∴DE為圓O的切線； （2）解：方程x2﹣10x+24=0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）=0， 解得：x1=4，x2=6， ∵AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根，且AB＞AD， ∴AD=4，AB=6， ∵AB是直徑， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD==2， ∵△ABD∽△ACB， ∴=，即=， ∴BC=3． 　 25．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D． （1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標． （2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由． （3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷； （3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解． 【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c 由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3． 把點A（1，0）、點B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2 ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4 ∴頂點D的坐標為（﹣1，4）； （2）△BCD是直角三角形． 理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC2=OB2+OC2=18 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1， ∴CD2=DF2+CF2=2 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2， ∴BD2=DE2+BE2=20 ∴BC2+CD2=BD2 ∴△BCD為直角三角形． 解法二：過點D作DF⊥y軸于點F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45° ∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45° ∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90° ∴△BCD為直角三角形． （3）①△BCD的三邊， ==，又=，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC； ②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3﹣a， =，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立； ③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時，則△ACP∽△CBD一定成立； ④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）． 則AP=1﹣d，當AC與CD是對應邊時， =，即=，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似； ⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）． 則AP=1﹣e，當AC與DC是對應邊時， =，即=，解得：e=﹣9，符合條件． 總之，符合條件的點P的坐標為：． 　  2017年2月19日 第28頁（共28頁）