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2015-2016學年安徽省馬鞍山市和縣八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分） 1．下列圖形中是軸對稱圖形的是( ) A． B． C． D． 2．如圖，在△ABC中，D是AB上的一點，E是AC上一點，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，則∠CFE的度數(shù)為( ) A．62° B．68° C．78° D．90° 3．在下列條件中：①∠A=∠C﹣∠B，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°﹣∠B，④∠B﹣∠C=90°中，能確定△ABC是直角三角形的條件有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個 （1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 5．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個等邊三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=45°，則∠ABC的度數(shù)為( ) A．75° B．80° C．70° D．85° 6．下列計算正確的是( ) A．（x3）3=x6 B．a(chǎn)6?a4=a24 C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a2 7．如圖，陰影部分的面積是( ) A．xy B．xy C．4xy D．2xy 8．下列分式是最簡分式的是( ) A． B． C． D． 9．某廠接受為四川災區(qū)生產(chǎn)活動板房的任務，計劃在30天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)6套，則25天完成且還多生產(chǎn)10套，問原計劃每天生產(chǎn)多少套板房？設原計劃每天生產(chǎn)x套，列方程式是( ) A． B． C． D． 10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．∠BAD=45° B．△ABD≌△ACD C．AD=BC D．AD=AB 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 11．計算：=__________． 12．若分式的值為0，則a=__________． 13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=18°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠A的度數(shù)是__________． 14．如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有__________． 三、解答題（共3小題，滿分24分） 15．先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=3，y=1． 16．（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） （2）化簡：÷（2+） 17．解關于的方程：． 四、解答題（共2小題，滿分20分） 18．列方程解應用題 為了迎接春運高峰，鐵路部門日前開始調(diào)整列車運行圖，2015年春運將迎來“高鐵時代”．甲、乙兩個城市的火車站相距1280千米，加開高鐵后，從甲站到乙站的運行時間縮短了11小時，大大方便了人們出行．已知高鐵行使速度是原來火車速度的3.2倍，求高鐵的行駛速度． 19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）請在線段BC上作一點D，使點D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請求出CD的長度． 五、作圖解答題（共1小題，滿分10分） 20．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，已知格點三角形ABC（三角形的三個頂點都在小正方形上） （1）畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標． （2）在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為__________． 提示：直線x=﹣l是過點（﹣1，0）且垂直于x軸的直線． 六、證明題（共1小題，滿分12分） 21．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 七、（共1小題，滿分10分） 22．下面是某同學對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的__________． A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學因式分解的結(jié)果是否徹底__________．（填“徹底”或“不徹底”） 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果__________． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解． 八、（共1小題，滿分14分） 23．（14分）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s， （1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； （2）何時△PBQ是直角三角形？ （3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．  2015-2016學年安徽省馬鞍山市和縣八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分） 1．下列圖形中是軸對稱圖形的是( ) A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故錯誤； B、不是軸對稱圖形，故錯誤； C、是軸對稱圖形，故正確； D、不是軸對稱圖形，故錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 2．如圖，在△ABC中，D是AB上的一點，E是AC上一點，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，則∠CFE的度數(shù)為( ) A．62° B．68° C．78° D．90° 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BDF=∠A+∠ACD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD，然后根據(jù)對頂角相等解答． 【解答】解：∵∠A=70°，∠ACD=20°， ∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°， 在△BDF中，∠BFD=180°﹣∠BDF﹣∠ABE=180°﹣90°﹣28°=62°， ∴∠CFE=∠BFD=62°． 故選A． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵． 3．在下列條件中：①∠A=∠C﹣∠B，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°﹣∠B，④∠B﹣∠C=90°中，能確定△ABC是直角三角形的條件有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案 【解答】解：①因為∠A+∠B=∠C，則2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ②因為∠A：∠B：∠C=2：3：5，設∠A=2x，則2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC是直角三角形； ③因為∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，則∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形； ④因為∠B﹣∠C=90°，則∠B=90°+∠C，所以三角形為鈍角三角形． 所以能確定△ABC是直角三角形的有①②③． 故選：C． 【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°；理解三角形內(nèi)若有一個內(nèi)角為90°，則△ABC是直角三角形． 4．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個 （1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】在等腰三角形中，頂角的平分線即底邊上的中線，垂線．利用三線合一的性質(zhì)，進而可求解，得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，∵AB=AC，BE=CF， ∴AE=AF． 又∵AD是角平分線， ∴∠1=∠2， ∴在△AED和△AFD中，， ∴△AED≌△AFD（SAS）， ∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正確； ∵如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線， ∴△ABD≌△ACD． 又由（1）知，△AED≌△AFD， ∴△EBD≌△FCD．故（2）正確； （3）由（1）知，△AED≌△AFD．故（3）正確； （4）∵如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線， ∴AD⊥BC，即AD垂直BC． 故（4）正確． 綜上所述，正確的結(jié)論有4個． 故選：D． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形中線，角平分線，垂線等線段之間的區(qū)別與聯(lián)系，會求一些簡單的全等三角形．做題時，要結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項逐一驗證． 5．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個等邊三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=45°，則∠ABC的度數(shù)為( ) A．75° B．80° C．70° D．85° 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】首先利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出各角度數(shù)，進而利用四邊形內(nèi)角和定理得出即可． 【解答】解：∵AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個等邊三角形△ABE和△ACD， ∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°， ∵∠EDC=45° ∴∠1=∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°， ∴2∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣60°﹣60°=150°， ∴∠ABC的度數(shù)為75°． 故選：A． 【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出∠1=∠2=45°是解題關鍵． 6．下列計算正確的是( ) A．（x3）3=x6 B．a(chǎn)6?a4=a24 C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a2 【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；單項式的除法，合并同類項法則對各選項分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：A、（x3）3=x3×3=x9，故本選項錯誤； B、a6?a4=a6+4=a10，故本選項錯誤； C、（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2，故本選項正確； D、3a+2a=5a，故本選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的性質(zhì)，合并同類項法則，熟記各性質(zhì)并理清指數(shù)的變化情況是解題的關鍵． 7．如圖，陰影部分的面積是( ) A．xy B．xy C．4xy D．2xy 【考點】整式的混合運算． 【專題】應用題． 【分析】如果延長AF、CD，設它們交于點G．那么陰影部分的面積可以表示為大長方形ABCG的面積減去小長方形DEFG的面積．大長方形的面積為2x×2y，小長方形的面積為0.5x（2y﹣y），然后利用單項式乘多項式的法則計算． 【解答】解：陰影部分面積為： 2x×2y﹣0.5x（2y﹣y）， =4xy﹣xy， =xy． 故選A． 【點評】本題考查了單項式的乘法，單項式乘多項式，是整式在生活的應用，用代數(shù)式表示出陰影部分的面積是求解的關鍵． 8．下列分式是最簡分式的是( ) A． B． C． D． 【考點】最簡分式． 【分析】要判斷分式是否是最簡分式，只需判斷它能否化簡，不能化簡的即為最簡分式． 【解答】解：A、=﹣1； B、=； C、分子、分母中不含公因式，不能化簡，故為最簡分式； D、=． 故選：C． 【點評】本題考查最簡分式，是簡單的基礎題． 9．某廠接受為四川災區(qū)生產(chǎn)活動板房的任務，計劃在30天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)6套，則25天完成且還多生產(chǎn)10套，問原計劃每天生產(chǎn)多少套板房？設原計劃每天生產(chǎn)x套，列方程式是( ) A． B． C． D． 【考點】由實際問題抽象出分式方程． 【分析】設原計劃每天生產(chǎn)x套，先求出實際25天完成的套數(shù)，再求出實際的工作效率=，最后依據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率解答． 【解答】解：由分析可得列方程式是：=25． 故選B． 【點評】此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時要注意從問題出發(fā)，找出已知條件與所求問題之間的關系，再已知條件回到問題即可解決問題． 10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．∠BAD=45° B．△ABD≌△ACD C．AD=BC D．AD=AB 【考點】等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD平分∠BAC，從而判斷A正確； 根據(jù)SAS得出△ABD≌△ACD，從而判斷B正確； 由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷C正確； 根據(jù)已知條件不能判斷D正確． 【解答】解：∵RT△ABC中，AB=AC，D是BC中點， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，AD=BC 故A、C兩項正確； 在△ABD與△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS），故B正確； 當△ABC是直角三角形時，AD=AB，故D錯誤． 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生的推理能力．其中靈活運用所給的已知條件，從而對各個選項進行逐一驗證進而確定答案是解題的關鍵． 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 11．計算：=﹣a3b6． 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【專題】計算題． 【分析】利用積的乘方以及冪的乘方法則即可求解． 【解答】解；原式=﹣a3b6． 故答案是：﹣a3b6． 【點評】本題考查了積的乘方，冪的乘方，理清指數(shù)的變化是解題的關鍵． 12．若分式的值為0，則a=﹣2． 【考點】分式的值為零的條件． 【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題． 【解答】解：由分式的值為0，得 |a|﹣2=0且a2+a﹣6≠0， 解得a=﹣2， 故答案為：﹣2． 【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少． 13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=18°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠A的度數(shù)是48°． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】設∠A的度數(shù)為x°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，求出∠DBA，根據(jù)題意列出方程，解方程即可． 【解答】解：設∠A的度數(shù)為x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=90°﹣x°， ∵MN是AB的垂直平分線， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=x°， 則90°﹣x°﹣x°=18°， 解得，x=48， 故答案為：48°． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵． 14．如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有①③④． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】連接DC，證△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再證△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它兩個條件運用假設成立推出答案即可． 【解答】證明：連接DC， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠ACB=60， ∵DB=DA，DC=DC， 在△ACD與△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD （SSS）， ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°， ∵BE=AB， ∴BE=BC， ∵∠DBE=∠DBC，BD=BD， 在△BED與△BCD中， ， ∴△BED≌△BCD （SAS）， ∴∠BED=∠BCD=30°． 由此得出①③正確． ∵EC∥AD， ∴∠DAC=∠ECA， ∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC， ∴設∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1， ∵BE=BA， ∴BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1， 在△BCE中三角和為180°， ∴2∠1+2（60°+∠1）=180° ∴∠1=15°， ∴∠CBE=30，這時BE是AC邊上的中垂線，結(jié)論②才正確． BE邊上的高位BC=1， ∴S△EBC=1，結(jié)論④是正確的． 故答案為：①③④ 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等，對應邊相等． 三、解答題（共3小題，滿分24分） 15．先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=3，y=1． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式對括號內(nèi)的式子進行化簡，然后進行整式的除法計算即可化簡，然后代入求值． 【解答】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x =（2x2﹣2xy）÷2x =x﹣y， 則當x=3，y=1時，原式=3﹣1=2． 【點評】本題主要考查平方差公式的利用，熟記公式并靈活運用是解題的關鍵． 16．（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） （2）化簡：÷（2+） 【考點】分式的混合運算；提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】（1）利用提公因式法和公式法分解因式即可； （2）根據(jù)分式的混合運算的法制和順序化簡即可． 【解答】解： （1）原式=（9a2﹣4b2）（x﹣y）， =（3a+2b）（3a﹣2b）（x﹣y）； （2）原式=， =． 【點評】（1）本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，解題關鍵是熟記因式分解的各種方法． （2）本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的． 17．解關于的方程：． 【考點】解分式方程． 【專題】計算題． 【分析】觀察可得最簡公分母是（x+3）（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． 【解答】解：方程的兩邊同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 檢驗：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解為：x=﹣． 【點評】本題考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根． 四、解答題（共2小題，滿分20分） 18．列方程解應用題 為了迎接春運高峰，鐵路部門日前開始調(diào)整列車運行圖，2015年春運將迎來“高鐵時代”．甲、乙兩個城市的火車站相距1280千米，加開高鐵后，從甲站到乙站的運行時間縮短了11小時，大大方便了人們出行．已知高鐵行使速度是原來火車速度的3.2倍，求高鐵的行駛速度． 【考點】分式方程的應用． 【分析】根據(jù)題意，設原來火車的速度是x千米/時，進而利用從甲站到乙站的運行時間縮短了11小時，得出等式求出即可． 【解答】解：設原來火車的速度是x千米/時，根據(jù)題意得： ﹣=11， 解得：x=80， 經(jīng)檢驗，是原方程的根且符合題意． 故80×3.2=256（km/h）． 答：高鐵的行駛速度是256km/h． 【點評】此題主要考查了分式的方程的應用，根據(jù)題意得出正確等量關系是解題關鍵． 19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）請在線段BC上作一點D，使點D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請求出CD的長度． 【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；作圖—基本作圖． 【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等知作出∠A的平分線即可； （2）設CD的長為x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有關x的方程，解之即可． 【解答】解：（1）如圖所示：所以點D為所求； （2）過點D做DE⊥AB于E，設DC=x，則BD=8﹣x ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8 ∴由勾股定理得AB==10… ∵點D到邊AC、AB的距離相等 ∴AD是∠BAC的平分線 又∵∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=DC=x， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=6， ∴BE=4， Rt△DEB中，∠DEB=90°， ∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2， 即x2+42=（8﹣x）2， 解得x=3． 答：CD的長度為3． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，通過本題使同學們明白勾股定理不但可以在直角三角形中求線段的長，而且可以根據(jù)其列出等量關系． 五、作圖解答題（共1小題，滿分10分） 20．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，已知格點三角形ABC（三角形的三個頂點都在小正方形上） （1）畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標． （2）在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為（﹣1，1）． 提示：直線x=﹣l是過點（﹣1，0）且垂直于x軸的直線． 【考點】作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題． 【分析】（1）分別作出點A、B、C關于直線l：x=﹣1的對稱的點，然后順次連接，并寫出A1、B1、C1的坐標； （2）作出點B關于x=﹣1對稱的點B1，連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，此時BD+CD最小，寫出點D的坐標． 【解答】解：（1）所作圖形如圖所示： A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）； （2）作出點B關于x=﹣1對稱的點B1， 連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D， 此時BD+CD最小， 點D坐標為（﹣1，1）． 故答案為：（﹣1，1）． 【點評】本題考查了根據(jù)軸對稱變換作圖，解答本題的關鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構作出對應點的位置，并順次連接． 六、證明題（共1小題，滿分12分） 21．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點． （1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG， （2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM． 【解答】（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC， ∠ACB=90°， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CAD=∠CBD=45°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE， ∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中， ∴△AEC≌△CGB（ASA）， ∴AE=CG， （2）解：BE=CM． 證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°， ∴∠CMA=∠BEC， 又∵∠ACM=∠CBE=45°， 在△BCE和△CAM中，， ∴△BCE≌△CAM（AAS）， ∴BE=CM． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，難度適中． 七、（共1小題，滿分10分） 22．下面是某同學對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的C． A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學因式分解的結(jié)果是否徹底不徹底．（填“徹底”或“不徹底”） 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果（x﹣2）4． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【專題】閱讀型． 【分析】（1）完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)積的兩倍的和或差； （2）x2﹣4x+4還可以分解，所以是不徹底． （3）按照例題的分解方法進行分解即可． 【解答】解：（1）運用了C，兩數(shù)和的完全平方公式； （2）x2﹣4x+4還可以分解，分解不徹底； （3）設x2﹣2x=y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， =y（y+2）+1， =y2+2y+1， =（y+1）2， =（x2﹣2x+1）2， =（x﹣1）4． 【點評】本題考查了運用公式法分解因式和學生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等． 八、（共1小題，滿分14分） 23．（14分）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s， （1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； （2）何時△PBQ是直角三角形？ （3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)． 【專題】動點型． 【分析】（1）因為點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)． （2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t．分別就①當∠PQB=90°時；②當∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值． （3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC．再運用三角形角間的關系求得∠CMQ的度數(shù)． 【解答】解：（1）∠CMQ=60°不變． ∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60° 又由條件得AP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°． （2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t ①當∠PQB=90°時， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=； ②當∠BPQ=90°時， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=； ∴當?shù)诿牖虻诿霑r，△PBQ為直角三角形． （3）∠CMQ=120°不變． ∵在等邊三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60° ∴∠PBC=∠ACQ=120°， 又由條件得BP=CQ， ∴△PBC≌△QCA（SAS） ∴∠BPC=∠MQC 又∵∠PCB=∠MCQ， ∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120° 【點評】此題是一個綜合性很強的題目．本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．難度很大，有利于培養(yǎng)同學們鉆研和探索問題的精神．