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第七章 微分方程 教學(xué)目的： 1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。 2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。 4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：， 和 5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。 6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。 7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。 8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。 9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法 2、 可降階的高階微分方程， 和 3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程； 4、 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。 4、歐拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映, 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究. 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 在實(shí)踐中具有重要意義. 在許多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對(duì)它進(jìn)行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程. 例1 一曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 設(shè)所求曲線的方程為y=y(x). 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)y=y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程) . (1) 此外, 未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件: x=1時(shí), y=2, 簡(jiǎn)記為y|x=1=2. (2) 把(1)式兩端積分, 得(稱為微分方程的通解) , 即y=x2+C, (3) 其中C是任意常數(shù). 把條件“x=1時(shí), y=2”代入(3)式, 得 2=12+C, 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛; 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住, 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程? 解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米. 根據(jù)題意, 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 . (4) 此外, 未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件: t=0時(shí), s=0, . 簡(jiǎn)記為s|t=0=0, s￠|t=0=20. (5) 把(4)式兩端積分一次, 得 ; (6) 再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (7) 這里C1, C2都是任意常數(shù). 把條件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把條件s|t=0=0代入(7)得0=C2. 把C1, C2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9) 在(8)式中令v=0, 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間 (s). 再把t=50代入(9), 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程 s=-0.2′502+20′50=500(m). 解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米, s￠￠=-0.4, 并且s|t=0=0, s￠|t=0=20. 把等式s￠￠=-0.4兩端積分一次, 得 s￠=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是任意常數(shù)), 再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2 (C1, C2都C1是任意常數(shù)). 由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t +20; 由s|t=0=0得0=C2, 于是s=-0.2t2+20t. 令v=0, 得t=50(s). 于是列車在制動(dòng)階段行駛的路程 s=-0.2′502+20′50=500(m). 幾個(gè)概念: 微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的階: 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. x3 y￠￠￠+x2 y￠￠-4xy￠=3x2 , y(4) -4y￠￠￠+10y￠￠-12y￠+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階微分方程: F(x, y, y￠, × × × , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y￠, × × × , y(n-1) ) . 微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果在區(qū)間I上, F[x, j(x), j￠(x), × × ×, j(n) (x)]=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y￠, × × ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解. 通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如 x=x0 時(shí), y=y0 , y￠= y￠0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y￠=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為 . 積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線. 例3 驗(yàn)證: 函數(shù) x=C1cos kt+C2 sin kt 是微分方程 的解. 解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù): , . 將及x的表達(dá)式代入所給方程, 得 -k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)o0. 這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt 滿足方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解. 例4 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k10)是微分方程的通解, 求滿足初始條件 x| t=0 =A, x￠| t=0 =0 的特解. 解 由條件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt, 得 C1=A. 再由條件x￠| t=0 =0, 及x￠(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt, 得 C2=0. 把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中, 得 x=Acos kt. §12. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y￠=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得 y=x2+C. 一般地, 方程y￠=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y￠=2xy2 的通解. 因?yàn)閥是未知的, 所以積分無法進(jìn)行, 方程兩邊直 接積分不能求出通解. 為求通解可將方程變?yōu)? 兩邊積分, 得 , 或, 可以驗(yàn)證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y￠=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx 形式, 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對(duì)稱形式的一階微分方程: 一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 在這種方程中, 變量x與y 是對(duì)稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當(dāng)Q(x,y)10時(shí), 有 . 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當(dāng)P(x,y)10時(shí), 有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個(gè)一階微分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎￠=j(x)y(y)) 的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？ (1) y￠=2xy, 是. Ty-1dy=2xdx . (2)3x2+5x-y￠=0, 是. Tdy=(3x2+5x)dx. (3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是. (4)y￠=1+x+y2+xy2, 是. Ty￠=(1+x)(1+y2). (5)y￠=10x+y, 是. T10-ydy=10xdx. (6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y) G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+C1, 從而 . 因?yàn)槿允侨我獬?shù), 把它記作C, 便得所給方程的通解 . 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+lnC, 從而 . 例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時(shí)鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程 , 其中l(wèi)(l>0)是常數(shù), l前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為 M|t=0=M0. 將方程分離變量得 . 兩邊積分, 得, 即 lnM=-lt+lnC, 也即M=Ce-lt. 由初始條件, 得M0=Ce0=C, 所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M=M0e-lt . 例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零. 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t). 降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)). 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F=ma, 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 , 初始條件為 v|t=0=0. 方程分離變量, 得 , 兩邊積分, 得, , 即 (), 將初始條件v|t=0=0代入通解得, 于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化為 , 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即. 于是原方程的通解為. 例4 有高為1m的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面面積為1cm2. 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律. 解 由水力學(xué)知道, 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算: , 其中0. 62為流量系數(shù), S為孔口橫截面面積, g為重力加速度. 現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm2, 故 , 或. 另一方面, 設(shè)在微小時(shí)間間隔[t, t+dt]內(nèi), 水面高度由h降至h+dh(dh<0), 則又可得到 dV=-pr2dh, 其中r是時(shí)刻t的水面半徑, 右端置負(fù)號(hào)是由于dh<0而dV>0的緣故. 又因 , 所以 dV=-p(200h-h2)dh. 通過比較得到 , 這就是未知函數(shù)h=h(t)應(yīng)滿足的微分方程. 此外, 開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的, 所以未知函數(shù)h=h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件: h|t=0=100. 將方程分離變量后得 . 兩端積分, 得 , 即 , 其中C是任意常數(shù). 由初始條件得 , . 因此 . 上式表達(dá)了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系. §12. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成 的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程.. (2)不是齊次方程.. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程.. (5)是齊次方程. 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y=ux, 有 , 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 解 原方程可寫成 , 因此原方程是齊次方程. 令, 則 y=ux, , 于是原方程變?yōu)? , 即 . 分離變量, 得 . 兩邊積分, 得u-ln|u|+C=ln|x|, 或?qū)懗蒷n|xu|=u+C. 以代上式中的u, 便得所給方程的通解 . 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點(diǎn). 在L上任取一點(diǎn)M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM, 因?yàn)? , 而 . 于是得微分方程, 整理得. 這是齊次方程. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , , , , 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . 這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A, 河寬OA=h, 兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O, 設(shè)鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn) O. 求鴨子游過的跡線的方程. 例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O, 設(shè)鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O, 已知OA=h, 求鴨子游過的跡線的方程. 解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn), 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸, y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y), 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過的軌跡方程為 , 0￡y￡h. 將代入后的整理過程: . §12.4 線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果Q(x)o0 , 則方程稱為齊次線性方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)T是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y￠=0Ty￠=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y￠+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)T或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得 , 兩邊積分, 得 , 或 , 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 例1 求方程的通解. 解 這是齊次線性方程, 分離變量得 , 兩邊積分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC, 方程的通解為 y=C(x-2). 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設(shè)想成非齊次線性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化簡(jiǎn)得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和. 例2 求方程的通解. 解 這是一個(gè)非齊次線性方程. 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解. 分離變量得 , 兩邊積分得 ln y=2ln (x+1)+ln C, 齊次線性方程的通解為 y=C(x+1)2. 用常數(shù)變易法. 把C換成u, 即令y=u×(x+1)2, 代入所給非齊次線性方程, 得 , 兩邊積分, 得 . 再把上式代入y=u(x+1)2中, 即得所求方程的通解為 . 解: 這里, . 因?yàn)? , , , 所以通解為 . 例3 有一個(gè)電路如圖所示, 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E=Emsinwt(Em、w都是常數(shù)), 電阻R和電感L都是常量. 求電流i(t). 解 由電學(xué)知道, 當(dāng)電流變化時(shí), L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì). 由回路電壓定律得出 , 即 . 把E=Emsinw t代入上式, 得 . 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中 , . 由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n10, 1) 叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), T, 是伯努利方程. (3), T, 是伯努利方程. (4), 是線性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以yn除方程的兩邊, 得 令z =y1-n , 得線性方程 . 例4 求方程的通解. 解 以y2除方程的兩端, 得 , 即 , 令z=y-1, 則上述方程成為 . 這是一個(gè)線性方程, 它的通解為 . 以y-1代z , 得所求方程的通解為 . 經(jīng)過變量代換, 某些方程可以化為變量可分離的方程, 或化為已知其求解方法的方程. 例5 解方程. 解 若把所給方程變形為 , 即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里用變量代換來解所給方程. 令x+y=u, 則原方程化為 , 即. 分離變量, 得 , 兩端積分得 u-ln|u+1|=x-ln|C|. 以u(píng)=x+y代入上式, 得 y-ln|x+y+1|=-ln|C|, 或x=Cey-y-1. §12. 5 全微分方程 全微分方程: 一個(gè)一階微分方程寫成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 形式后, 如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程. 這里 , , 而方程可寫為 du(x, y)=0. 全微分方程的判定: 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且 , 則方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 全微分方程的通解: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 且 du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy 則 u(x, y)=C, 即 . 是方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的通解 例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2 )dy=0. 解 這里 , 所以這是全微分方程. 取(x0, y0)=(0, 0), 有 . 于是, 方程的通解為 . 積分因子: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程, 但存在一函數(shù) m=m(x, y) (m(x, y)10), 使方程 m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程, 則函數(shù)m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的積分因子. 例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0; (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0. 解 (1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程. 因?yàn)? , 所以是方程ydx-xdy=0的積分因子, 于是 是全微分方程, 所給方程的通解為. (2)方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0不是全微分方程. 將方程的各項(xiàng)重新合并, 得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0, 再把它改寫成 , 這時(shí)容易看出為積分因子, 乘以該積分因子后, 方程就變?yōu)? , 積分得通解 , 即. 我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y￠+P(x)y=Q(x). 可以驗(yàn)證是一階線性方程y￠+P(x)y=Q(x)的一個(gè)積分因子. 在一階線性方程的兩邊乘以得 , 即 , 亦即 . 兩邊積分, 便得通解 , 或 . 例3用積分因子求的通解. 解 方程的積分因子為 . 方程兩邊乘以得 , 即, 于是 . 因此原方程的通解為. §12. 6 可降階的高階微分方程 一、y(n)=f (x)型的微分方程 解法: 積分n 次 , , × × ×. 例1 求微分方程y￠￠￠=e2x-cos x 的通解. 解 對(duì)所給方程接連積分三次, 得 , , , 這就是所給方程的通解. 或 , , , 這就是所給方程的通解. 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng). 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時(shí)刻t=0時(shí)F(0)=F0, 隨著時(shí)間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時(shí), F(T)=0. 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 且初速度為零, 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解 設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 . 由題設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時(shí), F(0)=F0, 所以F(t)=F0-kt; 又當(dāng)t=T時(shí), F(T)=0, 從而 . 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 , 其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得 . 再積分一次, 得 . 由初始條件x|t=0=0, , 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 , 0￡t￡T. 解 設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 mx￠￠=F(t). 由題設(shè), F(t)是線性函數(shù), 且過點(diǎn)(0, F0)和(T, 0), 故 , 即. 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 . 其初始條件為x|t=0=0, x￠|t=0=0. 把微分方程兩邊積分, 得 , 再積分一次, 得 , 由初始條件x|t=0=0, x￠|t=0=0, 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 , 0￡t￡T. 二、y￠￠= f(x, y￠)型的微分方程 解法: 設(shè)y￠=p則方程化為 p￠=f(x, p). 設(shè)p￠=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則 . 原方程的通解為 . 例3 求微分方程 (1+x2)y￠￠=2xy￠ 滿足初始條件 y|x=0=1, y￠|x=0=3 的特解. 解 所給方程是y￠￠=f(x, y￠)型的. 設(shè)y￠=p, 代入方程并分離變量后, 有 . 兩邊積分, 得 ln|p|=ln(1+x2)+C, 即 p=y￠=C1(1+x2) (C1=±eC). 由條件y￠|x=0=3, 得C1=3, 所以 y￠=3(1+x2). 兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2. 又由條件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解為 y=x3+3x+1. 例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索, 兩端固定, 繩索僅受重力的作用而下垂. 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線? 三、y￠￠=f(y, y￠)型的微分方程 解法: 設(shè)y￠=p,有 . 原方程化為 . 設(shè)方程的通解為y￠=p=j(y, C1), 則原方程的通解為 . 例5 求微分yy￠￠-y￠2=0的通解. 解 設(shè)y￠=p, 則, 代入方程, 得 . 在y10、p10時(shí), 約去p并分離變量, 得 . 兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc, 即 p=Cy或y￠=Cy(C=±c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為 ln|y|=Cx+lnc1, 或 y=C1eCx (C1=±c1). 例5 求微分yy￠￠-y￠2=0的通解. 解 設(shè)y￠=p, 則原方程化為 , 當(dāng)y10、p10時(shí), 有 , 于是 , 即 y￠-C1y=0, 從而原方程的通解為 . 例6 一個(gè)離地面很高的物體,受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落 到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）. §12. 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1 設(shè)有一個(gè)彈簧, 上端固定, 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn). 給物體一個(gè)初始速度v010后, 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng). 在振動(dòng)過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t). 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復(fù)力f=-cx. 又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則 , 由牛頓第二定律得 . 移項(xiàng), 并記, , 則上式化為 , 這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動(dòng)的微分方程. 如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力 F=Hsin pt 的作用, 則有 , 其中. 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程. 例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路, 其中R、L、及C為常數(shù), 電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù): E=Emsinwt, 這里Em及w也是常數(shù). 設(shè)電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動(dòng)勢(shì)為EL . 由電學(xué)知道 , , , 根據(jù)回路電壓定律, 得 , 即 , 或?qū)懗? , 其中, . 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0), 則上述成為 . 二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x), 若方程右端f(x)o0時(shí), 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的. 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0, 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0. 的兩個(gè)解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解, 其中C1、C2是任意常數(shù). 齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理. 證明 [C1y1+C2y2]￠=C1 y1￠+C2 y2￠, [C1y1+C2y2]￠￠=C1 y1￠￠+C2 y2￠￠. 因?yàn)閥1與y2是方程y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0, 所以有 y1￠￠+P(x)y1￠+Q(x)y1=0及y2￠￠+P(x)y2￠+Q(x)y2=0, 從而 [C1y1+C2y2]￠￠+P(x)[ C1y1+C2y2]￠+Q(x)[ C1y1+C2y2] =C1[y1￠￠+P(x)y1￠+Q(x)y1]+C2[y2￠￠+P(x)y2￠+Q(x)y2]=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān): 設(shè)y1(x), y2(x), × × × , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù). 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1, k2, × × × , kn, 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+ × × × + knyn(x)o0 成立, 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān); 否則稱為線性無關(guān). 判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法: 對(duì)于兩個(gè)函數(shù), 它們線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān). 例如, 1, cos2x , sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù)) 是方程的通解. 例3 驗(yàn)證y1=cos x與y2=sin x是方程y￠￠+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因?yàn)? y1￠￠+y1=-cos x+cos x=0, y2￠￠+y2=-sin x+sin x=0, 所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2, 要使 k1cos x+k2sin xo0, 只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(-￥, +￥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y￠￠+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1cos x+C2sin x. 例4 驗(yàn)證y1=x與y2=ex是方程(x-1)y￠￠-xy￠+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因?yàn)? (x-1)y1￠￠-xy1￠+y1=0-x+x=0, (x-1)y2￠￠-xy2￠+y2=(x-1)ex-xex+ex=0, 所以y1=x與y2=ex都是方程的解, 因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù), 所以y1=x與y2=ex在(-￥, +￥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=x 與y2=ex是方程(x-1)y￠￠-xy￠+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1x+C2e x. 推論 如果y1(x), y2(x), × × ×, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n-1)+ × × × +an-1(x)y￠+ an(x)y=0 的n個(gè)線性無關(guān)的解, 那么, 此方程的通解為 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ × × × + Cnyn(x), 其中C1, C2, × × ×, Cn為任意常數(shù). 二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): 我們把方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0 叫做與非齊次方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x) 對(duì)應(yīng)的齊次方程. 定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x) 的一個(gè)特解, Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二階非齊次線性微分方程的通解. 證明提示: [Y(x)+y*(x)]￠￠+P(x)[ Y(x)+y*(x)]￠+Q(x)[ Y(x)+y*(x)] = [Y ￠￠+P(x)Y ￠+Q(x)Y ]+[ y* ￠￠+P(x)y* ￠+Q(x)y*] =0+ f(x)= f(x). 例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齊次方程y￠￠+y=0的通解, y*=x2-2是y￠￠+y=x2?的一個(gè)特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是方程y￠￠+y=x2的通解. 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和, 如 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f1(x)+ f2(x), 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f1(x)與y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f2(x) 的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解. 證明提示: [y1+y2*]￠￠+P(x)[ y1*+y2*]￠+Q(x)[ y1*+y2*] =[ y1*￠￠+P(x) y1*￠+Q(x) y1*]+[ y2*￠￠+P(x) y2*￠+Q(x) y2*] =f1(x)+f2(x). §12. 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y￠￠+py￠+qy=0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我們看看, 能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程 y￠￠+py￠+qy=0 得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y￠￠+py￠+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式 求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí), 函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2時(shí), 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 是方程的解, 又 , 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時(shí), 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以驗(yàn)證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y￠￠+py￠+qy=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y￠￠-2y￠-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為 r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根, 因此所求通解為 y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y￠￠+2y￠+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y￠| x=0=-2的特解. 解 所給方程的特征方程為 r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=-1是兩個(gè)相等的實(shí)根, 因此所給微分方程的通解為 y=(C1+C2x)e-x. 將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而 y=(4+C2x)e-x. 將上式對(duì)x求導(dǎo), 得 y￠=(C2-4-C2x)e-x. 再把條件y￠|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為 x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y￠￠-2y￠+5y= 0的通解. 解 所給方程的特征方程為 r2-2r+5=0. 特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對(duì)共軛復(fù)根, 因此所求通解為 y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n 階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y￠+pny=0, 稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. 引入微分算子D, 及微分算子的n次多項(xiàng)式: L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn, 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0. 注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y￠, D2y=y￠￠, D3y=y￠￠￠, × × ×,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 則 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx. 因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程: L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0 稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng): 單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng): Cerx ; 一對(duì)單復(fù)根r1, 2=a ±ib 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng): eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng): erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1); 一對(duì)k 重復(fù)根r1, 2=a ±ib 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng): eax[(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx]. 例4 求方程y(4)-2y￠￠￠+5y￠￠=0 的通解. 解 這里的特征方程為 r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0, 它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所給微分方程的通解為 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0. 解 這里的特征方程為 r4+b 4=0.