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1、第二章 --機器人技術數(shù)學基礎 2.1 位置和姿態(tài)的表示 2.2 坐標變換 2.3 齊次坐標變換 2.4 物體的變換 機器人位置和姿態(tài)的描述 機器人可以用一個開環(huán)關節(jié)鏈來建模 由數(shù)個驅(qū)動器驅(qū)動的轉動或移動關節(jié)串聯(lián)而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具，用以 操縱物體 i n o a 人們感興趣的是操作機末端執(zhí)行 器相對于固定參考坐標數(shù)的空間 幾何描述，也就是機器人的運動 學問題 機器人的運動學即是研究機器人 手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關 節(jié)變量空間之間的關系 機器人技術數(shù)學基礎 機器人技術數(shù)學基礎 2.1 位置和姿態(tài)的表示 1.位置描述

2、 在直角坐標系 A中 ,空間任意一點 p的位置 (Position)可用 3x1列向量 (位置矢量 )表示 : T zyx A pppP 2.方位描述 空間物體 B的方位 (Orientation) 可由某個固接于此物體的坐標系 B 的三個單位主矢量 xB,yB,zB相對于 參考坐標系 A的方向余弦組成的 3x3 矩陣描述 . 2.1 位置和姿態(tài)的表示 機器人技術數(shù)學基礎 2.1 位置和姿態(tài)的表示 上述矩陣稱為旋轉矩陣 ,它是正交 的 .即 11 RRR ABTABAB 機器人技術數(shù)學基礎 P y z x 11 12 13 2

3、1 22 23 31 32 33 c os c os c os c os c os c os c os c os c os x y z A B x y z x y z r r r r r r r r r R 222 222 222 c os c os c os xx x y z yy x y z zz x y z aa aaa aa aaa aa aaa a a a 2 2 2c o s c o s c o s 1 2.1 位置和姿態(tài)的表示 重合時： 100

4、 0 0 ),( 0 010 0 ),( 0 0 001 ),( cs sc z cs sc y cs scx RRR 機器人技術數(shù)學基礎 P y z x 若坐標系 B可由坐標系 A,通過繞 A的某一坐標軸獲得 ,則繞 x,y,z三軸的旋轉 矩陣分別為 100 010 001 R 機器人技術數(shù)學基礎 2.1 位置和姿態(tài)的表示 這些旋轉變換可以通過右圖推導 這是繞 Z軸的旋轉 . 其它兩軸只要把坐標次序調(diào)換可 得上頁結果 . p B p A p B p B p A p B p B p A zz yxy yxx

5、c o ss i n s i nc o s p B p B p B p A p A p A z y x z y x 100 0c o ss i n 0s i nc o s 機器人技術數(shù)學基礎 2.1 位置和姿態(tài)的表示 旋轉矩陣的幾何意義 : 1) 可以表示固定于剛體上的坐標系 B對參考坐標 系的姿態(tài)矩陣 . 2) 可作為坐標變換矩陣 .它使得坐標系 B中的點 的坐標 變換成 A中點的坐標 . 3) 可作為算子 ,將 B中的矢量或物體變換到 A中 . RAB RAB pB pA RAB 機器人技術數(shù)學基礎 2.1

6、 位置和姿態(tài)的表示 3.位姿描述 剛體位姿 (即位置和姿態(tài) ),用剛體的方位矩陣 和方位參考坐標的原點位置矢量表示，即 0B AA B pRB 機器人技術數(shù)學基礎 2.2 坐標變換 1. 平移坐標變換 坐標系 A和 B 具有相同的方位 ,但 原點不重合 .則點 P在 兩個坐標系中的位置 矢 量 滿 足 下 式 : 0B ABA PPP 機器人技術數(shù)學基礎 2.2 坐標變換 2.旋轉變換 坐標系 A和 B有 相同的原點但方位不同 , 則點 P的在兩個坐標系 中的位置矢量有如下關 系 : PRP BABA TABAB RR 1 機器人技術

7、數(shù)學基礎 2.2 坐標變換 3.復合變換 一般情況原點既 不重和 ,方位也不同 . 這時有 : 0BABABA PPRP 機器人技術數(shù)學基礎 2.2 坐標變換 例 2.1 已知坐標系 B的初始位姿與 A重合 ,首先 B 相對于 A的 ZA軸轉 30 ,再沿 A的 XA軸移動 12單位 , 并沿 A的 YA軸移動 6單位 .求位置矢量 APB0和旋轉矩陣 BAR.設點 p在 B坐標系中的位置為 BP=3,7,0,求它在 坐標系 A中的位置 . 0 0 0 0 .8 6 6 0 .5 0 1 2 ( , 3 0 ) 0 0 .5 0 .8 6 6 0 ;

8、6 0 0 1 0 0 1 0 AA BB cs R z s c Rp 0 0 .8 6 6 0 .5 0 3 0 .9 0 2 1 2 1 1 .9 0 8 0 .5 0 .8 6 6 0 7 7 .5 6 2 6 1 3 .5 6 2 0 0 1 0 0 0 0 A A B A BB p R p p 如用四個數(shù)組成的 (4 1)列陣 表示三維空間直角坐標系 A中點 p,則列陣 Px Py Pz 1T稱為 三維空間

9、點 P的齊次坐標。 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 式中： a =w px; b=w py; c=w pz w為比例系數(shù) 顯然，齊次坐標表達并不是唯一的，隨 w值的不同而不同。在機器人的運動 分析中，總是取 w=1 。 P = 3 4 5 1 T = 6 8 10 2 T = -3 -4 -5 -1T 齊次點（ a,b,c,w）被投射回復到三維時簡單地就是（ a/w,b/w,c/w） , 將比例因子 w去除。 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 幾個特定意義的齊次坐標： 0, 0, 0, nT 坐標

10、原點矢量的齊次坐標， n為任意非零比例系數(shù) 1 0 0 0T 指向無窮遠處的 OX軸 0 1 0 0T 指向無窮遠處的 OY軸 0 0 1 0T 指向無窮遠處的 OZ軸 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 1.齊次變換 可以寫為 : P點在 A和 B中的位置矢量分別增廣為 : 而齊次變換公式和變換矩陣變?yōu)?: 1101 0 PPRP B B AA B A TBBBB

11、TAAAA zyxzyx 1,1 PP 10 , 0B AA BA B BA B A PRTPTP 0BABABA PPRP 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 2.平移齊次坐標變換 A分別沿 B的 X、 Y、 Z坐標軸平移 a、 b、 c距 離的平移齊次變換矩陣寫為： 用非零常數(shù)乘以變換矩陣的每個元素，不改變特性。 例 2-3:求矢量 2i+3j+2k被矢量 4i-3j+7k平移得到的新 矢量 . 1000 100 010 001 ),,( c b a cbaT r a n s

12、 1 9 0 6 1 2 3 2 1000 7100 3010 4001 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 3.旋轉齊次坐標變換 將上式增廣為齊次式： 100 0 0 ),( 0 010 0 ),( 0 0 001 ),( cs sc z cs sc y cs scx RRR 1000 0100 00 00 ),( 1000 00 0010 00 ),( 1000 00 00

13、 0001 ),( cs sc z cs sc y cs sc x RRR 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 引入齊次變換后， 連續(xù)的變換可以變成 矩陣的連乘形式。計 算簡化。 例 2-4 ： U=7i+3j+2k,繞 Z軸轉 90度后，再繞 Y 軸轉 90度。 例 2-5：在上述基礎上再 平移（ 4， -3， 7）。 1 2 7 3 1 2 3 7 1000 0100 0001 0010 )90,( zR 0 0 1 0 3 2 0 1 0 0 7 7 ( , 90

14、) 1 0 1 0 2 3 0 0 0 1 1 1 Ry 1 0 0 4 0 1 0 3 ( 4 , 3 , 7 ) 0 0 1 7 0 0 0 1 T rans 1 0 0 4 2 6 0 1 0 3 7 4 ( 4 , 3 , 7 ) ( , 90) ( , 90) 0 0 1 7 3 10 0 0 0 1 1 1 t T rans R y R z 機器人技術數(shù)學基礎 2.3 齊次坐標變換 由矩陣乘法沒有交 換性，可知變換

15、次序?qū)?結果影響很大。 機器人技術數(shù)學基礎 2.4 物體的變換 1.物體位置描述 物體 可以由固定于 其自身坐標系上的若干 特征點描述。 物體的變 換 也可通過這些特征點 的變換獲得。 機器人技術數(shù)學基礎 2.4 物體的變換及逆變換 1.物體位置描述 111111 440000 111111 446644 111111 002200 440000 111111 1000 0010 0001 4100 1000 0010 0001 4100 )90,()90,()0

16、,0,4( zR o tyR o tT r a n sT 機器人技術數(shù)學基礎 2.4 物體的變換 2.齊次坐標的復合變換 B相對于 A: ABT; C相對于 B: BCT; 則 C相對于 A: 10 1010 00 00 B A C BA B B C A B C BB CB AA B B C A B A C ppRRR pRpT TTT 機器人技術數(shù)學基礎 2.4 物體的變換 3.變換方程初步 B:基坐標系 T:工具坐標系 S:工作臺坐標系 G:目標坐標系 或工件坐標系 滿足方程 TTTT GTSGBSBT 習題 1：

17、 O與 O初始重合， O作如下運動：繞 Z軸轉動 30 ； 繞 X軸轉動 60 ；繞 Y軸轉動 90 。求 T。 1000 0100 0030c o s30s i n 0030s i n30c o s R 1 1000 060c o s60s i n0 060s i n60c o s0 0001 2 R 1000 090c o s090s i n 0010 090s i n090c o s 3 R 1000 002/12/3 02/34/34/1 02/14/34/3 123 RRRT 機器人技術數(shù)學基礎 習題 2:蔡自興 機器人學 P43, 題 2.3