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1、納什討價(jià)還價(jià)問題 約翰福布斯納什 在經(jīng)濟(jì)問題中出現(xiàn)了一種新的處理方式。它可以以很多形式出現(xiàn)，例如討價(jià)還價(jià)，雙邊壟斷等等。它也可以被看作是一種非零和博弈。在這種處理方式中，一般的假設(shè)是，在特定的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中關(guān)于單個(gè)的個(gè)人的和一個(gè)兩個(gè)人的群體的行為。從這些假設(shè)出發(fā)，我們可以得到這個(gè)經(jīng)典問題的解。這篇文章對博弈論來說也是有價(jià)值的。 引言 一個(gè)兩人博弈討價(jià)還價(jià)的解涉及到兩個(gè)個(gè)人，他們?yōu)榱穗p方共同的利益都有合作的機(jī)會(huì)，而且合作還不止一種方式。在更簡單的情況下，正如本文所考慮的，在沒有另一個(gè)人同意情況下，一個(gè)人不能采取任

2、何行動(dòng)來影響另一個(gè)人的福利。 賣方壟斷與買方壟斷的經(jīng)濟(jì)情況，兩國之間的國際貿(mào)易，還有雇主和勞動(dòng)聯(lián)盟之間的談判都可以被看成是討價(jià)還價(jià)問題。本文的目的是為這些問題提供一個(gè)理論上的探討，并且獲得一個(gè)確定的“解”——當(dāng)然，為此我們做了一些理想化的的假設(shè)。這里的“解”的意思是：每一個(gè)個(gè)人期望從這種情況中獲得的滿意的數(shù)量的決定?；蛘?，甚至是，對于每一個(gè)個(gè)人來說，擁有討價(jià)還價(jià)的機(jī)會(huì)應(yīng)該價(jià)值多少的決定。 這就是經(jīng)典的交換問題，更確切地說，古諾等人所說的雙邊壟斷。馮諾依曼和摩根斯坦在《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》一書中介紹了另一種方法。書中用兩人非零和博弈來證明這種經(jīng)典交換情形。 總的來說，通過設(shè)定一些假設(shè)，我們將

3、討價(jià)還價(jià)問題理想化了。這些假設(shè)包括：兩個(gè)個(gè)體都是高度理性的；每一個(gè)人都能精確地將他自己的意愿和不同的東西相比較；他們在討價(jià)還價(jià)的能力上是相等的；并且每一個(gè)人都完全了解對方品位和偏好。 為了給出討價(jià)還價(jià)情形的理論解釋，我們提取出這種情形來建立一個(gè)明確的數(shù)學(xué)模型。 在尋找討價(jià)還價(jià)解的過程中，我們采用基數(shù)效用來表示討價(jià)還價(jià)中個(gè)人的偏好或者品位。通過這個(gè)方法，我們將個(gè)人的意愿加入到數(shù)學(xué)模型中，以此來最大化他在討價(jià)還價(jià)中的收益。我們將簡略地回顧一下這篇論文中所用的專業(yè)術(shù)語的理論。 個(gè)人的效用理論 預(yù)期這個(gè)概念在這個(gè)理論中是很重要的。我們將會(huì)部分地解釋一下這個(gè)概念。假設(shè)斯密思先生知道他明天

4、將會(huì)獲得一輛新的別克汽車。我們就說他有一個(gè)別克汽車的預(yù)期。同樣地，他也可能有凱德拉克汽車的預(yù)期。假如他知道明天用擲硬幣的方式來決定他到底是擁有別克汽車還是凱迪拉克汽車，我們就說，他有二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預(yù)期。因此，個(gè)人的預(yù)期是一種期待的狀態(tài)。這種期待也許涉及到一些可能事件的必然性，或者是其他可能事件的不同概率。另一個(gè)例子，斯密思先生可能知道他明天將會(huì)得到一輛別克汽車并且認(rèn)為他也有二分之一的概率獲得一輛凱迪拉克汽車。上文提到的二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預(yù)期闡釋了下面預(yù)期的重要性質(zhì)：假如0≤p≤1，A和B代表兩個(gè)不同的預(yù)期，這就會(huì)有一個(gè)預(yù)期pA+（1-p）

5、B。它是由概率為A和概率為B的兩個(gè)預(yù)期的概率組合而成。 通過做出如下假設(shè)，我們能夠建立個(gè)人的效用理論： 1. 一個(gè)提供兩種可能的預(yù)期的個(gè)人能夠決定哪一個(gè)是更好的，或者至少它們是一樣好的； 2. 因此而產(chǎn)生的順序是可傳遞的。假如A比B更好，B比C更好，則A比C更好； 3. 任何相同意愿的狀態(tài)的概率的組合，彼此之間是令人滿意的； 4. 假如A,B,C符合假設(shè)2，那么，存在一個(gè)A,C的概率組合使得它和C一樣好。這意味著假設(shè)的連續(xù)性； 5. 假如0≤p≤1，A,B一樣好，那么pA+（1-p）C和pB+（1-p）C一樣好。假如A,B一樣好，那么當(dāng)B滿足任何的意愿順序關(guān)系時(shí)，A可以替代B。

6、這些假設(shè)條件足夠說明存在符合要求的效用函數(shù)。將每一個(gè)個(gè)人的預(yù)期都賦予一個(gè)實(shí)數(shù)。這個(gè)效用函數(shù)并不是唯一的，這是因?yàn)?，假如u是這樣一個(gè)效用函數(shù)，那么au+b也會(huì)是一個(gè)效用函數(shù)（a>0）。令大寫字母代表預(yù)期，小寫字母代表實(shí)數(shù)。這樣的效用函數(shù)將會(huì)滿足一下性質(zhì)： 1. u（A）> u（B）等價(jià)于A比B更好，等等； 2. 假如0≤p≤1，那么u [pA+（1-p）B]=p u（A）+（1-p）u（B）。 這就是效用函數(shù)重要的線性性質(zhì)。 兩人理論 在《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》一書中，作者提出了n個(gè)人博弈的理論。它將兩人討價(jià)還價(jià)問題作為其特殊的情形。但是，那里所發(fā)展的理論沒有試圖找出給定的n個(gè)人博

7、弈的價(jià)值，也就是，對于每一個(gè)參與人來說，決定有機(jī)會(huì)參與到博弈中來有什么價(jià)值。這種決定只有在兩人零和博弈情況下才能達(dá)到。 我們的觀點(diǎn)是：這些n個(gè)人博弈應(yīng)該是有價(jià)值的。那就是，應(yīng)該有一組數(shù)字，它連續(xù)地取決于一組數(shù)量，而這組數(shù)量由博弈的數(shù)學(xué)描述構(gòu)成。并且，這組數(shù)字表示每一個(gè)有機(jī)會(huì)參與到博弈中的個(gè)人的效用。 我們將一個(gè)兩人預(yù)期定義為兩個(gè)一人預(yù)期的組合。這樣，我們就有兩個(gè)個(gè)人，每一個(gè)個(gè)人都有一個(gè)關(guān)于他自己未來環(huán)境的確定的預(yù)期。我們把一人效用函數(shù)看成是可應(yīng)用到兩人預(yù)期的。假如一人預(yù)期（兩人預(yù)期的一個(gè)組成部分）被應(yīng)用到相應(yīng)的兩人預(yù)期中，那么每一個(gè)一人預(yù)期都給出了它將要給出的預(yù)期。兩個(gè)兩人預(yù)期的概率組合的

8、定義為給它們的成分制定相應(yīng)的組合。因此，假如[A，B]是一個(gè)兩人預(yù)期，并且0≤p≤1，則有 p[A，B]+（1-p）[C，D] 將被定義為 [pA+（1-p）C，pB+（1-p）D] 顯然，一人效用函數(shù)和一人情況一樣擁有相同的線性特征。從這一點(diǎn)來看，當(dāng)使用“預(yù)期”這一名詞時(shí)，它表示的意思是兩人預(yù)期。 在一個(gè)討價(jià)還價(jià)情形中，一個(gè)預(yù)期是很容易辨別的。這是一種在討價(jià)還價(jià)者之間的非合作的預(yù)期。因此，對兩個(gè)個(gè)體使用效用函數(shù)很自然的。這兩個(gè)個(gè)體賦予預(yù)期的數(shù)字為0.這依然使得每一個(gè)個(gè)體的效用函數(shù)由只和正的實(shí)數(shù)相乘來決定。從此以后，任何效用函數(shù)的使用都一定

9、要被理解成這樣被選擇。 我們制作一個(gè)圖標(biāo)來表示面對如下兩種情形：給它們選擇效用函數(shù)以及在平面圖形上構(gòu)建所有可用的預(yù)期的效用。 介紹關(guān)于獲得的點(diǎn)集的性質(zhì)的假設(shè)是有必要的。我們希望假設(shè)從數(shù)學(xué)的意義上來說，這個(gè)點(diǎn)集是緊的凸的。它也應(yīng)該是凸的，因?yàn)橥ㄟ^描繪成兩點(diǎn)的兩個(gè)預(yù)期的適當(dāng)?shù)母怕式M合，在點(diǎn)集中的兩點(diǎn)構(gòu)成的線段上，總是能夠找到描繪成任意點(diǎn)的預(yù)期。緊的條件暗示了一件事：點(diǎn)集一定是有界的。這就是說，它們能夠被包圍在一個(gè)足夠大的平面空間。緊還暗示著任何連續(xù)的效用函數(shù)在集合中的某些點(diǎn)具有最大值。 我們應(yīng)該把與具有相同效用的任何效用函數(shù)相對應(yīng)的兩個(gè)個(gè)體的預(yù)期看成是等價(jià)的。因此，這個(gè)圖形變成了這種情形的重

10、要特征的完全描述。當(dāng)然，圖形僅僅由比例的改變所決定，因?yàn)樾в煤瘮?shù)并沒有完全決定。 現(xiàn)在，因?yàn)槲覀兊慕鈶?yīng)該包含兩個(gè)討價(jià)還價(jià)者獲得的理性預(yù)期，所以這些預(yù)期應(yīng)該在這兩個(gè)人之間適當(dāng)?shù)钠跫s是可實(shí)現(xiàn)的。因此，應(yīng)該存在一個(gè)可利用的預(yù)期，這個(gè)預(yù)期給每個(gè)人他所期望獲得的滿足的數(shù)量。有理由假設(shè)：兩個(gè)人是理性的將會(huì)很容易符合那種預(yù)期，或者是一個(gè)等價(jià)的預(yù)期。因此，我們把圖形中的集合的某一點(diǎn)看做是代表“解”。并且它也代表所有的作為公平討價(jià)還價(jià)的兩個(gè)人會(huì)同意預(yù)期。通過給定在這個(gè)解點(diǎn)和集合之間應(yīng)該成立的條件，以及從這些演繹出一個(gè)簡單的決定解點(diǎn)的條件，我們擴(kuò)展了這個(gè)理論。我們應(yīng)該只考慮那些存在一個(gè)雙方都能從這種情形中獲利的

11、例子。（這并沒有排除那些最后只有一個(gè)人獲益的例子，因?yàn)椤肮降慕灰住笨赡馨粋€(gè)契約用以使用某種概率的方法來決定最后誰獲得收益。任何可利用的預(yù)期的概率的組合都是可以利用的預(yù)期） 令u1和u2表示兩個(gè)人的效用函數(shù)。令c（S）表示集合S的解點(diǎn)。S是緊的凸的，還包括原點(diǎn)。我們假設(shè)： 6. 假如是S中的點(diǎn)，在S中存在另一點(diǎn)，若u1（）> u1（），u2（）> u2（），則≠c（S）。 7. 假如集合T包含集合S，并且c（T）在集合S中，那么c（T）= c（S）。 我們說一個(gè)集合S是對稱的假如存在效用算符u1和u2以致于當(dāng)（a，b）包含于集合S 時(shí)，（b，a）也包含于集合S。這就是說，圖形關(guān)于

12、直線u1=u2對稱。 8. 假如S是對稱的，并且u1和u2顯示出這樣的性質(zhì)，那么c（S）是一個(gè)形式為（a，a）的點(diǎn)。這就是，在直線u1=u2上的一點(diǎn)。 上文第一個(gè)假設(shè)表達(dá)的意思是：每一個(gè)個(gè)人希望在最終的交易中最大化他自己的效用。第三個(gè)假設(shè)表達(dá)討價(jià)還價(jià)技巧的質(zhì)量。第二個(gè)假設(shè)有點(diǎn)復(fù)雜。以下的描述或許有利于揭示這條假設(shè)的性質(zhì)：假如兩個(gè)理性的個(gè)人同意c（T）是一個(gè)公平的交易，假如T是可能的交易的集合，那么他們應(yīng)該愿意簽訂一個(gè)限制更少的契約，并且如果S包含c（T），沒有試圖到達(dá)任何集合S以外的點(diǎn)的交易。假如S包含于T，這將會(huì)減少有S的概率集合的情形。因此c（T）= c（S）。 現(xiàn)在，我們展示這些條

13、件要求解在點(diǎn)集的u1和u2 取最小值的第一象限。我們知道一些這樣的點(diǎn)存在于緊空間。凸性使它獨(dú)特。 現(xiàn)在讓我們選擇效用函數(shù)，這樣以上提到的點(diǎn)就轉(zhuǎn)換成點(diǎn)（1，1）。因?yàn)檫@涉及到效用乘以常數(shù)，點(diǎn)（1，1）現(xiàn)在將是u1，u2最佳的點(diǎn)。集合中沒有哪一點(diǎn)使得u1+u2>2，現(xiàn)在，因?yàn)榧偃缂现写嬖谝稽c(diǎn)使得u1+u2>2，這一點(diǎn)位于點(diǎn)（1，1）和該點(diǎn)的線段上。那么存在一個(gè)u1，u2 的值大于1（見表1）。 我們在區(qū)域u1+u2≤2建立一個(gè)空間：它關(guān)于直線u1=u2對稱；有一邊位于直線u1+u2=2；完全包含選擇集。把這個(gè)空間當(dāng)做是選擇集而他不是原先的那個(gè)集合，很清晰的是點(diǎn)（1，1）是唯一滿足假設(shè)（8）的

14、點(diǎn)?，F(xiàn)在使用假設(shè)（7），我們可以總結(jié)道當(dāng)我們原始的集合是選擇集時(shí)，點(diǎn)（1，1）也是解點(diǎn)。這證明了這個(gè)斷言。 我們現(xiàn)在給出以下這個(gè)理論的應(yīng)用的例子。 假設(shè)兩個(gè)聰明人比爾和杰克，他們以物作為交換卻沒有錢來促進(jìn)交換。進(jìn)一步講，讓我們假設(shè)每一個(gè)人涉及到的物品總數(shù)目的某一部分的效用是他那一部分物品的效用的總和。如下的表格表示每一個(gè)個(gè)人所擁有的物品的效用。當(dāng)然，每個(gè)個(gè)人的效用函數(shù)都是任意的。 Billgoods Utility to Bill Utility to Jack book 2 4 whip 2 2 ball 2 1 bat 2 2 box

15、 4 1 Jackgoods 　 　 pen 10 1 toy 4 1 knife 6 2 hat 2 2 討價(jià)還價(jià)情形的圖表包含在圖2的詳細(xì)解釋之中。它的結(jié)果是一個(gè)凸的多邊形，獲得產(chǎn)品效用最大的點(diǎn)是頂點(diǎn)且在多邊形內(nèi)，并且只有一個(gè)相應(yīng)的預(yù)期。那就是： Bill給Jack:書、奶油甜點(diǎn)、球、球拍； Jack給Bill筆、玩具、小刀。 當(dāng)交易者有一個(gè)共同的交換媒介時(shí)，問題將會(huì)變得非常的簡單。在很多情況下，與貨幣相等的某一物品可以用作滿意的大概的效用函數(shù)（貨幣相等的意思是與我們所關(guān)心的個(gè)人的物品一樣好的貨幣的數(shù)量）。當(dāng)貨幣的某一數(shù)量的效用大概等于一個(gè)線性數(shù)量函數(shù)（在這種情形考慮的數(shù)量范圍之內(nèi)）時(shí)，這是會(huì)發(fā)生的。當(dāng)我們將共同的交換媒介使用到每一個(gè)人的效用函數(shù)上時(shí)，圖中點(diǎn)集是圖中那一部分在第一象限形成了一個(gè)等腰直角三角形。因此，解是每一個(gè)人都獲得相同的貨幣收益（見圖3）。 普林斯頓大學(xué)